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文檔簡介
1、 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論青島大學(xué)師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 李明蘭 第七講 中學(xué)數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)概念判斷推理與證明7.1 概念一、概念的含義 概念是反映事物的本質(zhì)屬性和特征的思維形式。它反映的是一類具有共同屬性的事物的全體。如:圓,三角形,偶數(shù)等等。注:(1)正確的概念是經(jīng)過科學(xué)抽象得到的。(2)概念是發(fā)展、變化的;如,函數(shù),切線等。定義1 (1718年,Johann Bernoulli ,1667-1784)由變量和常量所組成的式子叫做函數(shù)定義2 ( Leonhard Euler )解析表達(dá)式叫做函數(shù)定義3 (1755年,歐拉又給出了下列定義)如果某些變量以這樣一種方式依賴于另一些變量, 即當(dāng)后面這些變量變化時(shí),前
2、面一些變量也跟著發(fā)生變化,則稱前面的那些變量是后面這些變量的函數(shù).定義4 (19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家A.L.Cauchy給出的)有兩個(gè)互相聯(lián)系的變量,一個(gè)變量的數(shù)值可以在某個(gè)范圍內(nèi)任意變化,這樣的變量叫做自變量. 另一個(gè)變量的數(shù)值隨著自變量的數(shù)值而變化,這個(gè)變量叫做因變量,并且稱因變量為自變量的函數(shù). 定義5 (19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家G.F.B.Riemann,L.P.G.Dirichlet給出的)在某變化過程中,有兩個(gè)變量x和y,如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值,按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系,y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng),那么就把y稱為x 的函數(shù):x稱為自變量.定義6( 19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家G.Cantor給出
3、的)A 和B是兩個(gè)集合,如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系,使A的任何一個(gè)元素在B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng),這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為從集合A到集合B的函數(shù). 定義7 從集合A到集合B的映射f:A B稱為從集合A到集合B的函數(shù).簡稱為函數(shù)f.(3)概念是用語詞表達(dá)的。但二者并非一一對(duì)應(yīng)。語詞是概念的語言形式,概念是語詞的思想內(nèi)容。同一個(gè)概念可以用不同的語詞表達(dá)。如“非負(fù)整數(shù)”“自然數(shù)”;“矩形”、“長方形”;“等邊三角形”、“等角三角形”、“正三角形”。二、概念的內(nèi)涵和外延概念的內(nèi)涵是指概念所反映對(duì)象的本質(zhì)屬性。(質(zhì)) 概念的外延是指具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對(duì)象的全體。(量)舉例:偶數(shù),平行四邊形,等腰三角形等三
4、、概念間的關(guān)系(是指外延間的關(guān)系)根據(jù)概念的外延集合是否有公共元素,將概念間的關(guān)系分為相容關(guān)系和不相容關(guān)系。1、相容關(guān)系兩個(gè)概念的外延集合有公共元素.(1)同一關(guān)系兩個(gè)概念的外延完全重合。如“矩形與長方形“;“等邊三角形與正三角形“;“等腰三角形底邊上的高”與“等腰三角形頂角平分線”。(2)屬種關(guān)系若概念甲的外延完全包含在概念乙的外延之中,則甲與乙的關(guān)系是屬種關(guān)系。外延大的概念稱為屬概念,外延小的概念稱為種概念.如四邊形、平行四邊形、矩形、正方形注:1)屬概念與種概念是相對(duì)而言的. 2)具有屬種關(guān)系的兩個(gè)概念具有反變關(guān)系.概念的內(nèi)涵和外延間的關(guān)系(反變關(guān)系):當(dāng)內(nèi)涵增多時(shí),外延就減少,內(nèi)涵減少
5、時(shí),外延就增多。例如:在“平行四邊形”概念的內(nèi)涵中增加“兩鄰邊相等“的屬性,就得到了外延小的“菱形”概念;在“平行四邊形”概念的內(nèi)涵中減少“兩組對(duì)邊分別平行”的屬性,就得到了外延大的“四邊形?!?(3)交叉關(guān)系兩個(gè)概念的外延有且只有一部分重合。如菱形和矩形,等腰三角形和直角三角形,正數(shù)和整數(shù)2、不相容關(guān)系兩個(gè)概念的外延集合無公共元素。(1)矛盾關(guān)系在同一屬概念下的兩個(gè)種概念,若具有不相容關(guān)系,且它們的外延之和等于屬概念的外延。如有理數(shù)和無理數(shù)相對(duì)于實(shí)數(shù)來說是矛盾關(guān)系。(2)反對(duì)關(guān)系在同一屬概念下的兩個(gè)種概念,若具有不相容關(guān)系,且它們的外延之和小于屬概念的外延。如銳角三角形和直角三角形相對(duì)于三角
6、形來說是反對(duì)關(guān)系。五、概念的定義概念的定義是準(zhǔn)確地揭示概念的內(nèi)涵或外延的邏輯方法。1、定義的結(jié)構(gòu)與形式結(jié)構(gòu):一個(gè)定義由三部分組成:被定義項(xiàng)、定義項(xiàng)和定義聯(lián)項(xiàng)(聯(lián)系詞)。定義的形式: 是(叫做,等于,稱為) 例如,“鄰邊相等的矩形是正方形”是正方形的一種定義,在這個(gè)定義中,“正方形”是被定義項(xiàng),“鄰邊相等的矩形”是定義項(xiàng),“是”是定義聯(lián)項(xiàng)。2、下定義的方法(1)屬加種差式定義:被定義項(xiàng)=種差+鄰近的屬如有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。“平行四邊形”是“矩形”鄰近的屬,四邊形,多邊形盡管都是平行四邊形的屬,但不是最鄰近的。又如,方程就是含有未知數(shù)的等式。(2)發(fā)生式定義:有的定義中種差是被定義概
7、念所反映的對(duì)象產(chǎn)生或形成的情況,這種形式的定義稱為發(fā)生式定義。如:圓是由一定線段的一動(dòng)端點(diǎn)在平面上繞另一個(gè)不動(dòng)端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而形成的封閉曲線。另外還有角、圓柱、圓錐、球等等。 (3)關(guān)系式定義: 以被定義概念所反映的對(duì)象之間的關(guān)系作為種差下定義的方式。 如:大于直角而小于平角的角叫鈍角。 又如:b(b0)整除a,就是存在一個(gè)數(shù)c,使a=bc成立(a.b.cZ)(4)外延式定義:有些概念的外延是單一的或幾個(gè)簡單明了的對(duì)象,這時(shí)可直接揭示外延,用并列的幾個(gè)種概念給屬概念下定義的方法。 如:有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。 有理數(shù)是正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)和零的統(tǒng)稱。約定式定義: (5)遞歸式定義:被定義
8、項(xiàng)與自然數(shù)性質(zhì)直接有關(guān)時(shí)可用此定義方式。只適用于與正整數(shù)有關(guān)的概念。如,實(shí)數(shù)a(a 0)的n次冪 (6)公理式定義:(7)詞語符號(hào)式定義: “”表示全等、“”表示垂直。3、下定義的規(guī)則(1)定義要相稱被定義項(xiàng)的外延與定義項(xiàng)的外延必須完全相同,不能擴(kuò)大,也不能縮小,也就是通常說的不能過寬也不能過窄。 定義過寬,就是定義項(xiàng)的外延大于被定義項(xiàng)的外延。例如:無限小數(shù)叫無理數(shù)。此例犯了定義過寬的邏輯錯(cuò)誤。例中的定義項(xiàng)“無限小數(shù)”的外延大于被定義項(xiàng)“無理數(shù)”的外延。因?yàn)闊o限小數(shù)包含無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù),而無限循環(huán)小數(shù)就不是無理數(shù)。定義過窄,就是定義項(xiàng)的外延小于被定義項(xiàng)的外延。例如:各角為直角的菱形
9、是矩形。此例犯了定義過窄的錯(cuò)誤。定義項(xiàng)“各角為直角的菱形”的外延小于被定義項(xiàng)“矩形”的外延。(2)定義不能循環(huán)定義項(xiàng)中不能直接或間接地包含被定義項(xiàng)。循環(huán)定義常有以下兩種情況:惡性循環(huán)。在一個(gè)科學(xué)系統(tǒng)中,如果把概念A(yù)作為已知的概念來定義概念B,但又用概念B來定義概念A(yù),這種邏輯錯(cuò)誤叫做定義惡性循環(huán)。例如,相交成直角的兩條直線叫做互相垂直的直線,反過來,一個(gè)角的兩條邊如果互相垂直,這個(gè)角就叫做直角。詞語反復(fù)。用被定義概念的簡單重復(fù)來定義被定義的概念,即用自身定義自己,這種邏輯錯(cuò)誤叫做詞語反復(fù),結(jié)果是什么也沒有說清楚。以下幾例都犯了詞語反復(fù)的錯(cuò)誤。如:互質(zhì)數(shù)就是互為質(zhì)數(shù)的數(shù)。又如:基礎(chǔ)知識(shí)就是最基礎(chǔ)
10、的知識(shí)。 (3)定義應(yīng)當(dāng)確切、簡明、完整在定義中不能用比喻或含混不清的概念,不應(yīng)列舉非本質(zhì)屬性,不應(yīng)含有多余詞語,也不能漏掉必須的詞語。 “確切”:是指定義不能似是而非。如:“圓內(nèi)接多邊形就是頂點(diǎn)在圓周上的多邊形”“無窮小是很小很小的數(shù)”. “簡明”是指定義中既不能包括互相推出的本質(zhì)屬性,也不能有多余的詞語。如:兩組對(duì)邊分別平行且相等的四邊形叫平行四邊形。“完整”是指不能漏掉必須的條件。如:有一條公共邊的兩個(gè)角叫鄰角。(4)定義一般不應(yīng)包含負(fù)概念反映某一對(duì)象不具有某種屬性的概念叫負(fù)概念.如:不是有理數(shù)的實(shí)數(shù)叫做無理數(shù).但有時(shí)也允許用否定形式。如:同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫平行線。4、原始概念
11、:數(shù)學(xué)中不定義的概念。在一個(gè)科學(xué)系統(tǒng)中每給一個(gè)概念下定義,都要用一些已知的概念來定義新概念,這樣就構(gòu)成一個(gè)概念的序列。但概念的個(gè)數(shù)是有限的,所以在這個(gè)概念的序列中總有一些概念是不能引用別的概念來定義它的,這樣的概念叫做在這個(gè)科學(xué)系統(tǒng)中的原始概念。 如:點(diǎn)、線、面、體 等等。六、概念的劃分(分類):1、劃分就是將一個(gè)屬概念根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)分為若干外延不相重合的種概念。它是揭示外延的邏輯方法。劃分的三要素:母項(xiàng)、子項(xiàng)、標(biāo)準(zhǔn)。2、劃分的種類一個(gè)正確的劃分,通常由三個(gè)要素構(gòu)成,即母項(xiàng)、子項(xiàng)和劃分的依據(jù)。母項(xiàng)是劃分的屬概念,子項(xiàng)就是劃分所得的種概念,劃分的依據(jù)就是劃分時(shí)所依據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)。(1)二分法。(2)一
12、般劃分方法。三角形銳角三角形直角三角形鈍角三角形正整數(shù)零正分?jǐn)?shù)負(fù)整數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)有理數(shù)3、劃分的規(guī)則劃分應(yīng)當(dāng)是相稱的。子項(xiàng)必須互不相容。每次劃分只能用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。劃分不能越級(jí)。七、數(shù)學(xué)概念的學(xué)與教1、數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)從理解學(xué)習(xí)的角度來看,掌握數(shù)學(xué)概念不在于能否簡單地用數(shù)學(xué)語言將數(shù)學(xué)概念表達(dá)出來,而是真正理解概念的內(nèi)涵和外延,表現(xiàn)為能對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行識(shí)別和歸類。(1)概念的內(nèi)在表征形式在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的過程中,用自己能夠接受和可以儲(chǔ)存的形式對(duì)概念的本質(zhì)屬性或特征進(jìn)行理解,稱為概念的表征。現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的研究表明,概念表征主要有樣例表征和語義表征兩種形式。樣例表征是指學(xué)習(xí)者通過各種樣例逐漸歸納出事物的定
13、義特征。一般而言,樣例表征形式下的概念與對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的知覺或表象有關(guān)。語義表征是指學(xué)習(xí)者通過語義的理解而獲得概念的內(nèi)在本質(zhì)屬性。語義表征可以使認(rèn)識(shí)主體克服認(rèn)識(shí)事物受表面知覺影響的局限,而更關(guān)注事物的本質(zhì)。所謂獲得概念是指掌握了概念的內(nèi)涵和外延,也就是掌握了概念的本質(zhì)特征及其范圍,并能夠識(shí)別具有這種本質(zhì)特征的同類事物。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的基本方式有兩種:概念形成和概念同化。概念形成是學(xué)習(xí)者在對(duì)客觀事物的反復(fù)感知和進(jìn)行分析、類比、抽象和基礎(chǔ)上,概括出某一事物本質(zhì)屬性的過程。概念的同化是指在以定義的方式直接提出概念的學(xué)習(xí)條件下,學(xué)習(xí)者利用已有的知識(shí),主動(dòng)地與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念相聯(lián)系,從而掌握概念的方式
14、。(2)數(shù)學(xué)概念的獲得過程概念形成概念形成是學(xué)習(xí)者在對(duì)客觀事物的反復(fù)感知和進(jìn)行分析、類比、抽象的基礎(chǔ)上,概括出某一類事物本質(zhì)屬性的過程.概念形成的心理活動(dòng)過程包括以下幾個(gè)階段:(1)辨別不同的刺激模式.(2)分化和類化各種刺激模式的屬性.(3)提出和驗(yàn)證假設(shè).(4)把新概念的本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物.(5)用符合習(xí)慣的數(shù)學(xué)語言或符號(hào)表示新概念,即形式化.概念同化概念同化是指在以定義的方式直接提出概念的學(xué)習(xí)條件下,學(xué)習(xí)者利用已有知識(shí),主動(dòng)地與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念相聯(lián)系,從而掌握概念的方式.以概念同化方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的心理活動(dòng)大致包括以下幾個(gè)階段:(1)接受概念的定義、名稱和符號(hào)的信息;(2
15、)建立新概念與原有概念實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系,把新概念納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中;(3)通過辨認(rèn)概念的肯定例子和否定例子,使新概念和原有概念精確分化。也有的心理學(xué)家把有意義的學(xué)習(xí)分為下位學(xué)習(xí)(類屬學(xué)習(xí))、上位學(xué)習(xí)(總括學(xué)習(xí))和并列結(jié)合學(xué)習(xí)三種類型。下位學(xué)習(xí)就是把新知識(shí)歸屬于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的某一適當(dāng)部位并使之相互聯(lián)系的過程,由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)觀念的包攝和概括水平高于新學(xué)習(xí)的知識(shí),因而新舊知識(shí)所構(gòu)成的這種類屬關(guān)系又稱為下位關(guān)系,所以這種學(xué)習(xí)稱為下位學(xué)習(xí)。幾何概念的掌握大多是屬于這種情況,是以自上而下為基礎(chǔ)的。例如:先學(xué)習(xí)多邊形概念,再學(xué)習(xí)三角形、四邊形概念;先學(xué)習(xí)一般三角形的概念,再按邊分類按角分類學(xué)習(xí)其中的特
16、殊三角形概念。下位學(xué)習(xí)實(shí)際上是一種同化過程。上位學(xué)習(xí)是一種從下而上的學(xué)習(xí),就是要在幾個(gè)原有觀念的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)一個(gè)包攝或概括程度更高的概念,由于新學(xué)習(xí)的概念在概括程度上高于原有觀念,所以這種學(xué)習(xí)可以稱為上位學(xué)習(xí)。如在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的極值,三角函數(shù)的極值等基礎(chǔ)學(xué)習(xí)一般函數(shù)的極值概念。上位學(xué)習(xí)實(shí)際上是一種順應(yīng)過程。2、數(shù)學(xué)概念的教學(xué) 數(shù)學(xué)概念教學(xué)的根本任務(wù)是: 正確地揭示概念的內(nèi)涵和外延,使學(xué)生深刻理解和牢固系統(tǒng)地掌握概念,靈活地運(yùn)用概念。 為了達(dá)到這樣的要求,可從以下幾個(gè)方面進(jìn)行概念教學(xué)。 (1)了解概念的體系認(rèn)識(shí)論原理告訴我們,人們不可能一次性孤立地認(rèn)識(shí)一類事物的本質(zhì)特征,而是用聯(lián)系的觀點(diǎn),并且要
17、經(jīng)歷一個(gè)由感性到理性的發(fā)展過程。因此我們應(yīng)把概念放到體系中去考察,即在講授一個(gè)概念時(shí),要弄清楚學(xué)習(xí)這個(gè)概念需要怎樣的基礎(chǔ),分析這個(gè)概念以后有什么用處,它的地位和作用如何。(2)重視概念的引入提供現(xiàn)實(shí)原型(以感性材料為基礎(chǔ)引入新概念) 實(shí)物,圖示,模型等從數(shù)學(xué)內(nèi)在需要引入新概念用類比的方法引入新概念利用某些概念間的相似之處,通過類比,明確其內(nèi)在的異同,從而引入新概念。(3)概念的明確和理解明確概念的內(nèi)涵和外延。剖析概念的本質(zhì)屬性,準(zhǔn)確理解概念的定義。明確概念的表示,特別是符號(hào)表示,注意符號(hào)的意義及使用符號(hào)的條件。另外,在幾何教學(xué)中,除注意符號(hào)外,還得注意圖形的教學(xué)。要排除“標(biāo)準(zhǔn)”圖形,妨礙學(xué)生正
18、確掌握概念。要變更圖形,排除可能引起的誤解。認(rèn)清概念間的關(guān)系,掌握概念間的邏輯聯(lián)系,使知識(shí)系統(tǒng)化、條理化。(4)概念的鞏固和運(yùn)用心理學(xué)原理告訴我們,概念一旦獲得,如不及時(shí)鞏固,很快就會(huì)被遺忘。鞏固概念,首先應(yīng)在引入、形成概念后及時(shí)進(jìn)行復(fù)述,以加深對(duì)概念的印象;其次應(yīng)重視在發(fā)展中鞏固;第三是通過概念的應(yīng)用來鞏固(使用概念解答一些問題)概念教學(xué)的一般過程(1)引入概念;(2)給概念下定義;(3)逐字逐句講解概念(4)揭示概念的內(nèi)涵和外延;(5)鞏固概念數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)注意的幾個(gè)問題:P108-1137.2 判斷(命題)一、 判斷1 . 判斷與數(shù)學(xué)判斷判斷是對(duì)客觀事物的一種認(rèn)識(shí),是對(duì)客觀事物有所
19、肯定或否定的思維形式。判斷有真有假。如果一個(gè)判斷能如實(shí)地反映客觀事物,在質(zhì)和量上都能正確地反映客觀事物的真實(shí)性而無虛設(shè),那么這個(gè)判斷就是真判斷,否則就是假判斷。數(shù)學(xué)判斷是對(duì)空間形式和數(shù)量關(guān)系有所肯定或否定的思維形式。例如,“正數(shù)都大于零”;“等角的余角相等” ;“56”;“x1”;ABCABC”等都是數(shù)學(xué)命題。根據(jù)命題結(jié)構(gòu)差異,往往把命題分為簡單命題和復(fù)合命題。 2 .簡單命題與復(fù)合命題(1)簡單命題簡單命題就是不包含其它命題的命題。簡單命題可分為性質(zhì)命題和關(guān)系命題兩種。 性質(zhì)命題 斷定某對(duì)象具有或不具有某種屬性的命題。例: 一切正方形都是平行四邊形; 分?jǐn)?shù)都不是無理數(shù); 有些負(fù)數(shù)是整數(shù); 有
20、些整數(shù)是完全平方數(shù)。關(guān)系命題斷定對(duì)象與對(duì)象之間的關(guān)系的命題。例:所有正數(shù)都大于零; 直線a平行于直線b。 (2)復(fù)合命題 復(fù)合命題是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的其它命題被邏輯連接詞結(jié)合起來而構(gòu)成的命題。 常用的邏輯連接詞有否定、合取、析取、蘊(yùn)涵、當(dāng)且僅當(dāng)五種。3.命題的四種基本形式及關(guān)系對(duì)于同一對(duì)象,可以作出四種形式的命題.原命題;逆命題;否命題;逆否命題.例如,以命題“對(duì)頂角相等”為原命題逆命題:“相等的角為對(duì)頂角”;否命題:“非對(duì)頂角不相等”;逆否命題:“不相等的角非對(duì)頂角”。 二.數(shù)學(xué)命題數(shù)學(xué)命題是對(duì)空間形式和數(shù)量關(guān)系有所肯定或否定的思維形式。數(shù)學(xué)命題一般由條件(前提)和結(jié)論兩部分組成。1、公理、
21、定理(1)公理 人們經(jīng)過長期實(shí)踐證實(shí)了的不加邏輯證明而作為推證根據(jù)的原始命題稱為公理。如“兩點(diǎn)確定一條直線”、“不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”等都是數(shù)學(xué)公理。(2) 定理 用邏輯推理的方法證明是正確的命題叫做定理。例如,“平行四邊形的對(duì)角相等”、“三角形內(nèi)角和等于180”、“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”等都是數(shù)學(xué)定理。由公理或定理比較容易地直接推出來的定理叫做推論或系。(3)定理的結(jié)構(gòu)及分類定理由條件(題設(shè)或已知)和結(jié)論(題斷或求證)兩部分組成。定理分為簡單定理和復(fù)合定理兩大類。 簡單定理?xiàng)l件和結(jié)論中所含事項(xiàng)都只有一個(gè)的定理稱為簡單定理。例如,定理“同一個(gè)三角形中,大角對(duì)大邊”中的條件和結(jié)論都只有一個(gè)
22、,此定理是簡單定理,用記號(hào)表為:在ABC中,BC,則ACAB。 復(fù)合定理 條件和結(jié)論中所含事項(xiàng)不只是一個(gè)的定理叫做復(fù)合定理。例如,定理“等角的補(bǔ)角相等”中的條件有三個(gè),結(jié)論有一個(gè).若AOB=AOBBOC+AOB=180BOC+AOB=180則BOC=BOC(4)逆定理如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的,那么這個(gè)逆命題叫做該定理的逆定理。怎樣制作定理的逆定理呢?我們分兩種情況進(jìn)行研究。若一定理是簡單定理只要把該定理的條件和結(jié)論交換位置,可得到該定理的逆命題,再證明這個(gè)逆命題,如果它是正確的,那么這個(gè)逆命題就是原定理的逆定理。 若一個(gè)定理是復(fù)合定理一般應(yīng)在定理的條件和結(jié)論中各取出同樣多的事項(xiàng),進(jìn)
23、行交換就可得到該定理的逆命題,再證明這些逆命題,其中正確的便可作為原定理的逆定理。一個(gè)復(fù)合定理有多少個(gè)逆命題呢? 若一個(gè)復(fù)合定理的條件有m個(gè)事項(xiàng),結(jié)論有n個(gè)事項(xiàng),把定理寫成下面的形式:再把條件和結(jié)論從同樣多的個(gè)數(shù)進(jìn)行交換,就組成了該定理的逆命題。這樣組成逆命的數(shù)有 其中,k=min(m,n)。 例如命題:在圓內(nèi),弦的垂直平分線必經(jīng)過圓心且平分這弦所對(duì)的弧。例如,復(fù)合定理“在直角三角形中,30的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半?!比?shù)學(xué)命題的教學(xué)數(shù)學(xué)中的公理、定理、公式、定律、性質(zhì)和法則等都是數(shù)學(xué)命題。重點(diǎn)研究公式、定理的教學(xué)公式、定理是進(jìn)行正確推理的依據(jù)。它的教學(xué)要求是:(1)使學(xué)生必須切實(shí)認(rèn)清
24、它的條件和結(jié)論,理解掌握具體內(nèi)容和表達(dá)形式,掌握公式、定理的證明方法,明確公式、定理的功能和運(yùn)用范圍;(2)使學(xué)生了解公式、定理有關(guān)命題的關(guān)系,掌握它們的系統(tǒng)性,能作適當(dāng)?shù)耐茝V;(3)使學(xué)生能熟練地運(yùn)用公式 、定理進(jìn)行推理證明及解決實(shí)際問題。 公式、定理的教學(xué):1、公式、定理的引入(1)發(fā)現(xiàn)式引入即通過實(shí)踐去發(fā)現(xiàn)。在教學(xué)過程中一般不要先提出命題的內(nèi)容,可選用實(shí)驗(yàn)(設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn))、演算(計(jì)算)、作圖、設(shè)計(jì)問題等不同做法,引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦,獨(dú)立思考,通過分析、歸納,估計(jì)出命題內(nèi)容,然后再設(shè)法證明,獲得定理。如,“三角形內(nèi)角和定理”,可以通過剪紙法把三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角來發(fā)現(xiàn)定理;“球的體積公
25、式”可通過細(xì)沙試驗(yàn)來設(shè)計(jì);“數(shù)的運(yùn)算規(guī)律”可通過計(jì)算結(jié)果來發(fā)現(xiàn)。等等。(2)過渡性引入新定理或公式??赏ㄟ^舊知識(shí)過渡遷移而引入。如勾股定理表達(dá)了直角三角形三邊的關(guān)系,由此聯(lián)想到任意的三角形三邊之間的關(guān)系能否用公式表達(dá),從而引出余弦定理的課題。這種引入,使學(xué)生感到新公式并不孤立,是舊知識(shí)的拓延和發(fā)展,同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生按知識(shí)系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)去探索新知識(shí)的能力。2、公式、定理的明確與理解(1)分清定理的條件和結(jié)論尤其對(duì)于定理的條件和結(jié)論寫得比較簡略的,學(xué)生不易分清。如“對(duì)頂角相等”,“等腰三角形兩底角相等”。可將其恢復(fù)成“如果,那么”的形式。(2)分清公式的外形與特征(3)使學(xué)生正確理解定理中關(guān)鍵詞語的意義
26、如,“過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行”中的“有且僅有”(4)注意公式、定理的應(yīng)用范圍如,平均不等式3、掌握公式、定理的證明與推導(dǎo)公式、定理的教學(xué)重點(diǎn)在于讓學(xué)生掌握證題的思路和方法,對(duì)那些思路、方法和技巧上具有典型意義的要加以總結(jié),以提高學(xué)生分析、解決問題的能力。教學(xué)時(shí),教師應(yīng)把重點(diǎn)放在思路的分析、方法的獲得上。4、公式、定理的應(yīng)用公式、定理是求解和證明數(shù)學(xué)問題的工具,學(xué)習(xí)公式、定理的目的之一在于應(yīng)用,其應(yīng)用也是培養(yǎng)能力的重要環(huán)節(jié)。 在公式、定理教學(xué)之后,可通過例題、練習(xí)題、習(xí)題的教學(xué)與習(xí)作,使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)所學(xué)公式、定理的應(yīng)用;其次,要注意公式的正用、逆用及改變條件后的使用,培養(yǎng)學(xué)生
27、活用、逆用公式、定理的能力;再次,注意引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)公式、定理的適用范圍,明確應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意的事項(xiàng),歸納、總結(jié)定理、公式所能解決問題的類型,發(fā)揮思維定勢(shì)的作用。5、建立數(shù)學(xué)命題系統(tǒng)化體系中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多定理、公式,彼此聯(lián)系緊密,教完這些定理之后,應(yīng)注意及時(shí)揭示這些定理之間的內(nèi)在聯(lián)系,使學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)化,形成數(shù)學(xué)命題體系。另外,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)某些定理作適當(dāng)?shù)牟煌较蛏系耐茝V,也是使學(xué)生認(rèn)識(shí)定理之間關(guān)系的有效方法,同時(shí)也有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造才能,在教學(xué)中應(yīng)大力提倡。公式、定理教學(xué)一般過程:1、公式、定理的引入2、公式、定理的明確與理解3、掌握公式、定理的證明與推導(dǎo)4、公式、定理的應(yīng)用數(shù)學(xué)命題教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)注
28、意的幾個(gè)問題:P119-1257.3 推理與證明 一、邏輯規(guī)律邏輯思維的基本規(guī)律:同一律、矛盾律、排中律、充足理由律。 1、同一律同一律是指在同一個(gè)思維(論證)過程中,概念和判斷必須保持同一性,亦即確定性。 用公式表示:A是A(A表示概念或判斷) 例如,有學(xué)生證明“四邊形內(nèi)角和等于360”是這樣進(jìn)行的,因?yàn)榫匦蔚膬?nèi)角和等于360,矩形是四邊形,所以四邊形內(nèi)角和等于360。這個(gè)學(xué)生在證明過程中,用特殊的四邊形取代了論題中的一般四邊形,因此犯了“偷換論題”的邏輯錯(cuò)誤。 又如我們以具體數(shù)字進(jìn)行驗(yàn)證一下,就可真相大白了。取x=3,a=2,n=3,前者為19,后者為4,顯然,19不能被4整除。錯(cuò)在什么地
29、方呢?錯(cuò)在推理的前半部分用的是“多項(xiàng)式的整除”,而后半部分用的是“正整數(shù)的整除”。這就違背了同一律。在這個(gè)推理的過程中,沒有保持概念的同一,中途更換了概念。為此,犯了“偷換概念”的邏輯錯(cuò)誤。 2、矛盾律矛盾律是指在同一思維(論證)過程中,對(duì)同一對(duì)象所作的兩個(gè)互相對(duì)立或矛盾的判斷不能同真,至少必有一假。也就是說,對(duì)于同一個(gè)思維對(duì)象不能既肯定它是A,又否定它不是A.如,“數(shù)a小于數(shù)b”和“數(shù)a大于數(shù)b”的兩個(gè)對(duì)立的判斷也不能同真,至少必有一假。3、排中律排中律是指在同一思維(論證)過程中,對(duì)同一個(gè)對(duì)象所作的兩個(gè)互相矛盾的判斷,不能同假,必有一真。例如,“ABC是直角三角形”和“ABC不是直角三角形
30、”是對(duì)ABC作出的兩個(gè)互相矛盾的判斷,二者之中不能同假,必有一真,二者必居其一,沒有第三種可能。也就是說,對(duì)于ABC要作出直角三角形的肯定或否定的回答。 排中律是反證法的邏輯基礎(chǔ)。 當(dāng)直接證明某一判斷的正確性有困難時(shí),根據(jù)排中律,只要證明這一判斷的矛盾判斷是假的就可以了。4、充足理由律充足理由律是指在思維(論證)過程中,對(duì)于任何一個(gè)真實(shí)的判斷,都必須有充足的根據(jù)(理由)。也就是說,正確的判斷必須有充足的理由。 可表示為:因?yàn)橛蠥,所以有B,即由A一定能推出B,其中A和B都表示一個(gè)或幾個(gè)判斷,A稱為B的理由,B稱為A的結(jié)論(推斷)。 充足的理由必須具備真實(shí)性、完備性、相關(guān)性,否則就不是充足理由,
31、例如,設(shè)a=b(b0)則等式兩邊同乘以a,得a2=ab兩邊同減去b2,得a2-b2=ab-b2兩邊因式分解,得(a+b)(a-b)=b(a-b)兩邊同除以(a-b),得a+b=b以b代a,得2b=b兩邊同除以b,得2=1。顯然,所得結(jié)論是錯(cuò)誤的。錯(cuò)誤的原因在于用a-b除以等式兩邊,因?yàn)閍=b,a-b=0,用零做除數(shù)是不允許的,也就是理由不真實(shí)。 二、數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)證明1、 數(shù)學(xué)推理推理是從一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷作出一新判斷的思維形式。推理的結(jié)構(gòu):任何推理都是由前提和結(jié)論兩部分組成。前提是在推理過程中所依據(jù)的已有判斷, 結(jié)論是根據(jù)前提所作出的判斷。推理的種類由于劃分的標(biāo)準(zhǔn)不同,推理可以分成許多種類
32、。中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的推理有演繹推理、歸納推理和類比推理。(1)演繹推理 又叫演繹法,它是由一般到特殊的推理。演繹推理的前提和結(jié)論之間有著必然的聯(lián)系,只要前提是真的,推理合乎邏輯,得到的結(jié)論就一定正確。因此,演繹推理可以作為數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具。演繹推理的形式多種多樣,數(shù)學(xué)中運(yùn)用最普遍的有“三段論”推理。三段論:在演繹推理中,由兩個(gè)前提(大前提、小前提)推出一個(gè)結(jié)論的思維形式稱為三段論推理。任何一個(gè)三段論都包含三個(gè)項(xiàng):小項(xiàng)(S)、大項(xiàng)(P)、中項(xiàng)(M)。在兩個(gè)前提中,含有大項(xiàng)的前提叫大前提;含有小項(xiàng)的前提叫小前提。 (2)歸納推理 歸納推理又叫歸納法,它是由個(gè)別、特殊到一般的推理。根據(jù)研究的對(duì)象所
33、涉及的范圍,歸納推理可分為完全歸納推理和不完全歸納推理。1)完全歸納推理。是通過對(duì)某類事物中每一個(gè)對(duì)象情況或每一個(gè)子類的情況的研究,而概括出關(guān)于該類事物的一般性結(jié)論的推理。 完全歸納推理考查了某類事物的每一個(gè)對(duì)象或每一個(gè)子類的情況,因而由正確的前提必然能得到正確的結(jié)論。所以完全歸納推理可以作為數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具.2)不完全歸納推理 是通過對(duì)某類事物中的一部分對(duì)象或一部分子類的考查,而概括出該類事物的一般性結(jié)論的推理。不完全歸納推理僅對(duì)某類事物中的一部分對(duì)象進(jìn)行考查,因此,前提和結(jié)論之間未必有必然的聯(lián)系。由不完全歸納推理得到的結(jié)論,只有或然的性質(zhì),結(jié)論不一定正確。結(jié)論的正確與否,還需要經(jīng)過嚴(yán)格
34、的邏輯論證和實(shí)踐的檢驗(yàn)。 (3) 類比推理 由特殊到特殊的推理。它是根據(jù)兩個(gè)事物(或兩類事物)的某些相同屬性,推出它們還有其它相同屬性的推理。應(yīng)當(dāng)注意的是,類比推理所得出的結(jié)論并不一定真實(shí)。例如,由“若a=b,則ac=bc”用類比法可以得到“若ab,則acbc”,而這結(jié)論卻不一定是正確。 2、 數(shù)學(xué)證明(1) 數(shù)學(xué)證明及其結(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)證明是根據(jù)一些真實(shí)的命題來確定某一命題真實(shí)性的思維形式。從邏輯結(jié)構(gòu)方面來分析,任何證明都由論題、論據(jù)、論證三部分組成。數(shù)學(xué)證明也可分為已知(論據(jù))、求證(論題)、證明(論證)三個(gè)組成部分。中學(xué)數(shù)學(xué)證明是采用了這種敘述形式。論題是指需要確定其真實(shí)性的命題。任何論題都包
35、含條件和結(jié)論兩個(gè)方面。論據(jù)是指用來證明論題真實(shí)性所引用的命題,論題中的條件以及數(shù)學(xué)中的公理、定理、定義、性質(zhì)等,都可作為證明的論據(jù)。論證是由論據(jù)出發(fā)進(jìn)行一系列推理來確定論題真實(shí)性的過程。 3、證明和推理之間的聯(lián)系和區(qū)別證明過程其實(shí)質(zhì)也就是推理過程,就是把論據(jù)作為推理的前提,應(yīng)用正確的推理形式,推出論題的過程。一個(gè)證明可以只含一個(gè)推理,也可以含有一系列的推理,可以只用演繹推理,也可以只用歸納推理, 是一種特殊形式的推理。但是,就具體問題來分析,證明和推理又是不同的。首先,從它們的結(jié)構(gòu)上看,推理包含前提和結(jié)論兩部分,前提是已知的,結(jié)論是根據(jù)前提推出來的;證明由論題、論據(jù)、論證三部分組成,論題相當(dāng)于推理結(jié)論,是已知的,論據(jù)相當(dāng)于推理的前提,是事先不知道的,因此,它們的思維過程正好相反。其次,從它們的作用來看,推理只解決形式問題,對(duì)于前提和
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