2021-2022學(xué)年山西省大同市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年山西省大同市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為（）ABCDA【分析】利用給定等式結(jié)合復(fù)數(shù)除法求出即可得解.【詳解】因，則，所以的虛部為-2.故選：A2已知，若，則（）ABCDC【分析】由平面向量共線坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算可得【詳解】解：，解得：，故選：3我國(guó)古代數(shù)學(xué)算經(jīng)十書之一的九章算術(shù)有一問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)九千人，南鄉(xiāng)五千四百人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役五百，意思是用分層抽樣的方法從這三個(gè)鄉(xiāng)中抽出500人服役，則北鄉(xiāng)比南鄉(xiāng)多抽的人數(shù)為（）A70B50C40D60D【分析】先求得抽樣比，再分別求得北鄉(xiāng)和南鄉(xiāng)抽出的人數(shù)，進(jìn)而得到北鄉(xiāng)比南鄉(xiāng)多抽

2、的人數(shù).【詳解】這三個(gè)鄉(xiāng)共有（人），則抽樣比為則北鄉(xiāng)抽出（人），南鄉(xiāng)抽出（人）則北鄉(xiāng)比南鄉(xiāng)多抽的人數(shù)為（人）.故選：D4甲、乙、丙三人在3天節(jié)日中值班，每人值班1天，則甲緊接著排在乙的前面值班的概率是ABCDC【詳解】試題分析.甲、乙、丙三人在3天節(jié)日中值班，每人值班1天，所有可能的事件有甲乙丙；甲丙乙；乙甲丙；乙丙甲；丙甲乙；丙乙甲共6種可能，每種事件發(fā)生的概率相等，其中甲緊接著排在乙的前面值班事件有乙甲丙，丙乙甲共兩種甲緊接著排在乙的前面值班的概率.等可能事件發(fā)生的概率.5為做好“新冠肺炎”疫情防控工作，某市各學(xué)校堅(jiān)持落實(shí)“雙測(cè)溫報(bào)告”制度，以下是該市某中學(xué)高二5班第二組的8名同學(xué)某日上午

3、的體溫記錄：36.1，36.1，35.7，36.8，36.5，36.6，36.3，36.4（單位：），則該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為（）A36.5B36.6C36.4D36.3B【分析】先將數(shù)據(jù)按從小到大排列，算出，根據(jù)百分位數(shù)的求法，即可求得答案.【詳解】將8個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排列為35.7，36.1，36.1，36.3，36.4，36.5，36.6，36.8，則所求第80百分位數(shù)為第7位，故為36.6故選：B6如圖，的斜二測(cè)直觀圖為等腰，其中，則原的面積為（）A2B4CDD【分析】首先算出直觀圖面積，再根據(jù)平面圖形與直觀圖面積比為求解即可.【詳解】因?yàn)榈妊且黄矫鎴D形的直觀圖，直角邊，所以直角

4、三角形的面積是.又因?yàn)槠矫鎴D形與直觀圖面積比為，所以原平面圖形的面積是.故選：D7袋子中有紅、黃、黑、白共四個(gè)小球，有放回地從中任取一個(gè)小球，直到紅、黃兩個(gè)小球都取到才停止，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好抽取三次停止的概率.用1，2，3，4分別代表紅、黃、黑、白四個(gè)小球，利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：343432341134234132243331112342241244342142431233214344由此可以估計(jì)，恰好抽取三次就停止的概率為（）ABCDC【分析】首先數(shù)出滿足條件的組數(shù)，即可求解.【詳解】1

5、8組隨機(jī)數(shù)中，滿足條件的有132，112，241，142，這4組數(shù)據(jù)滿足條件，所以估計(jì)恰好抽取三次就停止的概率.故選：C8已知、是兩個(gè)不同的平面，m、n是兩條不同的直線，下列說法中錯(cuò)誤的是（）A若m，m/n，n，則B若/，m，n，則m/nC若/，m，n，則m/nD若，m，n，mn，則mC則由面面垂直的判定定理，可得，可判定A正確的；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可判定B正確的；根據(jù)/，m，n，則m與n平行或異面，可判定C錯(cuò)誤的；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可判定D正確的.【詳解】由題意，是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，對(duì)于A中，若m，m/n，n，則由面面垂直的判定定理，可得，所以是正確的；對(duì)于B中，若/

6、，m，n，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可得m/n，所以是正確的；對(duì)于C中，若/，m，n，則m與n平行或異面，所以是錯(cuò)誤的；對(duì)于D中，若，m，n，mn，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得m，所以是正確的.故選：C.解答此類問題常見的誤區(qū)：1、對(duì)空間平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化條件理解不透導(dǎo)致錯(cuò)誤；2、對(duì)面面平行判定定理的條件“面內(nèi)兩相交直線”認(rèn)識(shí)不清導(dǎo)致錯(cuò)解；3、對(duì)面面平行性質(zhì)定理理解不深導(dǎo)致錯(cuò)解.二、多選題9設(shè)向量，則下列敘述正確的是（）A若，則向量與的夾角為鈍角B的最小值為2C若為單位向量，且與垂直，則D若，則或AB【分析】根據(jù)向量數(shù)量積，向量垂直的坐標(biāo)表示，模的公式，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.當(dāng)向量與的夾角為鈍角時(shí)，

7、得，當(dāng)時(shí)，所以且，故A正確；B.，所以的最小值為2，故B正確；C.設(shè)，所以，解得或，所以或，故C錯(cuò)誤；D.，解得：或，故D錯(cuò)誤.故選：AB10某市教體局對(duì)全市高三年級(jí)學(xué)生的身高進(jìn)行抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，他們的身高都處在A，B，C，D，E五個(gè)層級(jí)內(nèi)，根據(jù)抽樣結(jié)果得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖表，則下列敘述正確的是（）A樣本中女生人數(shù)少于男生人數(shù)B樣本中B層人數(shù)最多C樣本中E層男生人數(shù)為6D樣本中D層男生人數(shù)多于女生BC【分析】根據(jù)所給條形圖和扇形圖，結(jié)合總?cè)藬?shù)100人，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對(duì)于A：由女生身高情況條形圖可得：女生人數(shù)為9+24+15+9+3=60人，則男生人數(shù)為

8、100-60=40人，所以女生人數(shù)多于男生人數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：在女生身高情況條形圖中，B層人數(shù)最多，在男生身高情況扇形圖中，B層比例最高，人數(shù)最多，所以樣本中B層人數(shù)最多，故B正確；對(duì)于C：由男生身高情況扇形圖可得：E層人數(shù)為人，故C正確對(duì)于D：由女生身高情況條形圖可得：D層人數(shù)為9人，由男生身高情況扇形圖可得：D層人數(shù)為人，男生少于女生，故D錯(cuò)誤;故選：BC11從分別寫有、以及、的張紙條中任意抽取兩張，有如下隨機(jī)事件：“恰有一張寫有數(shù)字”，“恰有一張寫有字母”，“至少有一張寫有數(shù)字”，“兩張都寫有數(shù)字”，“至多有一張寫有字母”.下列結(jié)論正確的有（）ABCDABD【分析】列舉出每個(gè)事件所包

9、含的基本事件類型，結(jié)合事件的關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】事件包含的基本事件類型為：一張寫有數(shù)字一張寫有字母，事件包含的基本事件類型為：一張寫有數(shù)字一張寫有字母，事件包含的基本事件類型為：一張寫有數(shù)字一張寫有字母、兩張都寫有數(shù)字，事件包含的基本事件類型為：兩張都寫有數(shù)字，事件包含的基本事件類型為：一張寫有數(shù)字一張寫有字母、兩張都寫有數(shù)字，所以，故選：ABD.12已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，將沿AC翻折到的位置，得到四面體，在翻折過程中，點(diǎn)始終位于所在平面的同一側(cè)，且的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（）A四面體的外接球的表面積為B四面體體積取最大值時(shí)，與平面ABC所成角為45C點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度

10、為D邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為ABCD【分析】A.確定球心和半徑，即可求解外接球的表面積；B.根據(jù)垂直關(guān)系，確定線面角，即可求解；C.首先確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，再求長(zhǎng)度；D.根據(jù)C的判斷結(jié)果，確定邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，再求面積.【詳解】對(duì)A：，AC中點(diǎn)即為四面體的外接球的球心，AC為球的直徑， 四面體的外接球的表面積，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：當(dāng)平面平面時(shí)，四面體體積的最大，此時(shí)高為，此時(shí)為與平面ABC所成角，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C：設(shè)方形對(duì)角線AC與BD交于O，由題意，翻折后當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，此時(shí)，所以點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心為半徑的圓心角為的圓弧，所以點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為，

11、故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：結(jié)合C的分析知，邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為以A為頂點(diǎn)，底面圓為以O(shè)為圓心為半徑的圓錐的側(cè)面積的，即所求曲面的面積為，故選項(xiàng)D正確.故選: ABCD.三、填空題13已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則圓錐的底面半徑為_【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，根據(jù)題意，由和求解.【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，因?yàn)閳A錐的表面積為，所以，又側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，所以，聯(lián)立求得，故14已知某6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，方差為8，現(xiàn)加入2和6兩個(gè)新數(shù)據(jù)，此時(shí)8個(gè)數(shù)據(jù)的方差為_【分析】利用方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果【詳解】設(shè)原數(shù)據(jù)為，則，.加入2和6兩個(gè)新數(shù)據(jù)

12、后，所得8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所得8個(gè)數(shù)據(jù)的方差為故715如圖為一個(gè)盛滿水的圓錐形玻璃杯，現(xiàn)將一個(gè)球狀物體放入其中，使其完全浸沒于杯中，球面與圓錐側(cè)切，且與玻璃杯口所在平切，則溢出水的體積為_.【分析】由已知求出球的半徑，再由球的體積公式得答案【詳解】解：作出圓錐的軸截面如圖所示，球心為截面三角形的中心，截面為正三角形，且邊長(zhǎng)為2，則球的半徑為溢出溶液的體積等于球的體積為故16在中，為上一點(diǎn)，為上任一點(diǎn)，若，則的最小值是_.【分析】由已知結(jié)合向量的共線定理，求得，然后結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，且為上任一點(diǎn)，可得，如圖所示，由三點(diǎn)共線，可得，其中，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所

13、以的最小值是.故答案為.四、解答題17已知，.(1)求與的夾角；(2)求.(1)(2)【分析】（1）先求得與的數(shù)量積，再去求與的夾角；（2）利用數(shù)量積去求的值.【詳解】(1)， 即，又，則，又，又，.(2)，.18復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，且.(1)求復(fù)數(shù)z；(2)將z所對(duì)應(yīng)向量繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到向量，記所對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為，求的值.(1)(2)【分析】（1）先利用復(fù)數(shù)相等解方程，再利用舍根，進(jìn)而求得復(fù)數(shù)z；（2）先由題給條件求得復(fù)數(shù)為，再去求求的值即可.【詳解】(1)設(shè)，其中，由得，即， 所以，解得，或.由，得，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足，所以，所以.(2)復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)為，繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

14、，則.所以，則，所以的值為.19某校對(duì)名高一學(xué)生的某次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，分成，五組，得到如圖所示頻率分布直方圖（1）求圖中的值；（2）估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)；（3）估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的第百分位數(shù)（1）；（2）分；（3）分【分析】（1）利用各組頻率和為1，列方程可求出的值；（2）直接計(jì)算平均數(shù)即可；（3）由于50到80的頻率和為，50到90的頻率和為，從而可知第百分位數(shù)在80到90之間，從而可計(jì)算得到【詳解】解：（1）由于組距為10，所以有，從而（2）平均數(shù)分（3）因?yàn)?0到80的頻率和為，50到90的頻率和為，所以第75百分位數(shù)為分20在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，

15、已知，且的面積為.(1)求a的值；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且_，求的值.從，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答.(1)(2)答案見解析【分析】（1）先利用題給條件求得的值，再利用余弦定理即可求得的值；（2）選時(shí)先利用正弦定理求得的值，再利用題給條件推得，進(jìn)而得到的值；選時(shí)先利用余弦定理求得的值，再利用題給條件推得，進(jìn)而求得的值.【詳解】(1)因?yàn)椋?，由余弦定理得，解?(2)當(dāng)時(shí)，在中，由正弦定理，即，所以.因?yàn)?，所以，所以，所?當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理知，.因?yàn)椋?，所以，所以，所?21有一種魚的身體吸收汞，當(dāng)這種魚身體中的汞含量超過其體重的1.00ppm（即百萬分之一）時(shí)

16、，若人食用它，就會(huì)對(duì)人體產(chǎn)生危害.現(xiàn)從一批該魚中隨機(jī)選出30條魚，檢驗(yàn)魚體中的汞含量與其體重的比值（單位：ppm），數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：0.070.240.390.540.610.660.730.820.820.820.870.910.950.980.981.021.021.081.141.201.201.261.291.311.371.401.441.581.621.68(1)求上述數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)；(2)有A，B兩個(gè)水池，兩水池之間有10個(gè)完全相同的小孔聯(lián)通，所有的小孔均在水下，且可以同時(shí)通過2條魚.（）將其中汞的含量最低的2條魚分別放入A水池和B水池中，若這2條魚的游動(dòng)相互獨(dú)立，均有的概率進(jìn)

17、入另一水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率；（）將其中汞的含量最低的2條魚都先放入A水池中，若這2條魚均會(huì)獨(dú)立地且等可能地從其中任意一個(gè)小孔由A水池進(jìn)入B水池且不再游回A水池，求這兩條魚由不同小孔進(jìn)入B水池的概率.(1)中位數(shù)為，眾數(shù)為0.82；(2)（）；（）【分析】（1）依據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可求得題給數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)；（2）（）利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和互斥事件的概率公式即可求得這兩條魚最終在同一水池的概率；（）利用對(duì)立事件和獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式即可求得這兩條魚由不同小孔進(jìn)入B水池的概率.【詳解】(1)將30 個(gè)數(shù)據(jù)由小到大排列如下0.070.240.390.540

18、.610.660.730.820.820.820.870.910.950.980.981.021.021.081.141.201.201.261.291.311.371.401.441.581.621.68則數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，0.82出現(xiàn)3次，0.98出現(xiàn)2次，1.02出現(xiàn)2次，1.20出現(xiàn)2次，其余均出現(xiàn)1次則數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.82.(2)（）記“兩魚最終均在A水池”為事件A，則，記“兩魚最終均在B水池”為事件B，則，事件A與事件B互斥，兩條魚最終在同一水池的概率為.（）記“兩魚同時(shí)從第一個(gè)小孔通過”為事件，“兩魚同時(shí)從第二個(gè)小孔通過”為事件，依次類推；而兩魚的游動(dòng)獨(dú)立.，記“兩條魚由不同小孔進(jìn)入B水池”為事件C，則C與對(duì)立，又由事件，事件，互斥，.即.22如圖，AB是的直徑，C是圓周上異于A，B的點(diǎn)，P是平面ABC外一點(diǎn)，且.(1)求證：平面平面；(2)若，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且與C在直徑AB同側(cè)，.（）設(shè)平面平面，求證： ；（）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的正切值.(1)證明見解析(2)（）證明見解析；（）.【分析】（1）先利用線面垂直判定定理去證明平面ABC，再利用面面垂直判定定理去證明平面平面ABC；（2）（）先利用線面平行判定定理證明平面，再利用線面平行性質(zhì)定理去證明；（）先作