運(yùn)籌學(xué)第2章答案

1、2.1某人根據(jù)醫(yī)囑，每天需補(bǔ)充A、B、C三種營養(yǎng)，A不少于80單位，B不少于150單位， C不少于180單位.此人準(zhǔn)備每天從六種食物中攝取這三種營養(yǎng)成分.已知六種食物每百克 的營養(yǎng)成分含量及食物價(jià)格如表2-22所示.（1）試建立此人在滿足健康需要的基礎(chǔ)上花費(fèi) 最少的數(shù)學(xué)模型；（2）假定有一個(gè)廠商計(jì)劃生產(chǎn)一中藥丸，售給此人服用，藥丸中包含有A， B，C三種營養(yǎng)成分.試為廠商制定一個(gè)藥丸的合理價(jià)格，既使此人愿意購買，又使廠商能 獲得最大利益，建立數(shù)學(xué)模型.表2-22含量營養(yǎng)成分-食物一二三四五六雖曲與 需要量80B24930251215N150C1872134100N18

2、0食物單價(jià)（元/100g）0.50.40.80.90.30.2【解】(1)設(shè)為每天第j種食物的用量，數(shù)學(xué)模型為 min Z = 0.5x + 0.4x2 + 0.8x3 + 0.9七 + 0.3 + 0.2x6 13 x + 25 x + 14 x + 40 x + 8 x + 11 x 80 12345624 x + 9 x + 30 x + 25 x + 12 x + 15 x 150 180 x、x、x、x、x、x 0 123456則數(shù)學(xué)模型為攜義為第z種單位營養(yǎng)的價(jià)格，則數(shù)學(xué)模型為max w = 80 y + 150 y + 180 y 13 y + 24 y + 18 y 0.5 2

3、5 y 1 + 9 y2 + 7 y3 0.4 14 y + 30 y + 21 y 0.8 40 y + 25 y + 34 y 0.98 y 1 + 12 y 2 + 10 y 3 0.31 y + 15 y + 02.2寫出下列線性規(guī)劃的對偶問題（1（1） 8 123x + x - x 4x , x , x 0 123max w = 8 y + 4 y-y 1 + 2 y2 33 y 1 + y 2 56 y 1 - y 2 012(2)max Z = 2x - x ix + 2x =9 12x 3 x + 12X無約束， 1X3X2max Z = x+ 3x310+ 2x1 2+ 4x

4、【解】3x410 X -1X2-x - 4x3=847 x +6x2 x 5x 10i234-Sx+ 6x + x 0,x 6i34f +2 x 無+2x -2i2345 x 102xZ3x+ 6x - 7 x+max4(4)1無約束346y2對偶問題為:2. 3考慮線性規(guī)劃min Z = 12 xx + 4x 12A： + 5工12y 32y無約束；1-1mm【解】【解】m in w = 9 y +3y + 6y - y + y 1234一2y + 2y = 313y+5y - y = 6123-6y - y + 2y = -7 123y無約束；y V 123y 02w = 8 y + 10

5、 y +6y 12310y + 7y +4y 1123J + 6y -Sy 2123 -J 一2y + 6y 4123-4y -5y + y = -33y 02312y無約束；1max Z3xi6xiX + 2 X1=2.xi2x + x2+ 3x + 6x - 7 x234-6x = 934+ 20 a：21X 1X 1XI 1+ 5工-x 634x + 2 V 234102y +5y +lOy3y 54-20,y 05說明原問題與對偶問題都有最優(yōu)解；通過解對偶問題由最優(yōu)表中觀察出原問題的最優(yōu)解;利用公式Ck 求原問題的最優(yōu)解；D利用互補(bǔ)松弛條件求原問題的最優(yōu)解.【解】(1)原問題的對偶問題

6、為max w = 4 y + 2 y + 7 yy + y 2 + 2 y 3 124 y1 + 5 y2 + 3 y3 0, j = 1,2,3容易看出原問題和對偶問題都有可行解，如X = (2, 1)、Y = (1, 0, 1),由定理2.4知都有 最優(yōu)解。(2)對偶問題最優(yōu)單純形表為C(j)42700R. H. S.BasisC(i)y1y2y3y4y5y370-1/514/5-1/528/5y1417/50-3/52/54/5C(j)-Z(j)0-11/50-16/5-1/5w=42.4對偶問題的最優(yōu)解Y = (4/5,0,28/5),由定理2.6,原問題的最優(yōu)解為X=(16/5, 1

7、/5), Z=42.441-41-(3) Cb=(7,4),b-1 =55，X = (7, 4)55=(16 /5,1 /5)3232L- 55 _L- 55 _(4)由七、y3不等于零知原問題第一、三個(gè)約束是緊的，解等式f x + 4 x = 4 2 x + 3 x = 7112得到原問題的最優(yōu)解為X=(16/5, 1/5)。2.4證明下列線性規(guī)劃問題無最優(yōu)解min Z = x. - 2x - 2x2 x 1 + x - 2 x = 3 2x , x 0, x無約束123證明：首先看到該問題存在可行解，例如x=(2,1,1)，而上述問題的對偶問題為max w = 3 y + 2 y2 y 1

8、 + y 2 1y廣 2 y 2 0, y無約束 21由約束條件知七00,由約束條件當(dāng)y230知七31,對偶問題無可行解，因此原問題 也無最優(yōu)解(無界解)。2.5已知線性規(guī)劃max Z = 1 5x + 20 x + 5xx + 5 x + x 55 x + 6 x + x 6x + 10 x + x 0, x 0, x無約束1123的最優(yōu)解X = （怎樣安排生產(chǎn)，使利潤最大. 若增加1kg原材料甲，總利潤增加多少. 設(shè)原材料乙的市場價(jià)格為1.2元/Kg，怎樣安排生產(chǎn)，使利潤最大.若增加1kg原材料甲，總利潤增加多少.設(shè)原材料乙的市場價(jià)格為1.2元/Kg，若要轉(zhuǎn)賣原材料乙，工廠應(yīng)至少叫價(jià)多少，

9、為什 么？單位產(chǎn)品利潤分別在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，原生產(chǎn)計(jì)劃不變.4【解】其對偶問題是：min w = 5 y + 6 y + 7 yy 1 + 5 y 2 + 3 y 3 15y 1 + 6 y2 + 10 y3 20y 1 + y 2 + y 3 = 原材料分別單獨(dú)在什么范圍內(nèi)波動時(shí)，仍只生產(chǎn)A和C兩種產(chǎn)品.原材料分別單獨(dú)在什么范圍內(nèi)波動時(shí)，仍只生產(chǎn)A和C兩種產(chǎn)品.由于市場的變化，產(chǎn)品B、C的單件利潤變?yōu)?元和2元，這時(shí)應(yīng)如何調(diào)整生產(chǎn)計(jì)劃.工廠計(jì)劃生產(chǎn)新產(chǎn)品D，每件產(chǎn)品D消耗原材料甲、乙、丙分別為2kg，2kg及1kg， 每件產(chǎn)品D應(yīng)獲利多少時(shí)才有利于投產(chǎn).【解】(1)設(shè)氣、x2、x3分別為產(chǎn)

10、品A、B、C的月生產(chǎn)量，數(shù)學(xué)模型為y , y , y 0 123由原問題的最優(yōu)解知，原問題約束的松弛變量不等于零（x*。0 ），%、x3不等于零，則對偶問題的約束、約束為等式，又由于xs3。0知y3=0；解方程y 1 + 5 y 2 = 15y + y = 512得到對偶問題的最優(yōu)解Y=（5/2,5/2,0）； w=55/2=27.57.某工廠利用原材料甲、乙、丙生產(chǎn)產(chǎn)品A、B、C，有關(guān)資料見表2-23.表 2-23材產(chǎn)品 一材料消耗集原材料有每月可供原材料(Kg)品ABC甲211200乙123500丙221600每件產(chǎn)品利潤413max Z = 4x + x + 3x2x + 1 x + x 200 x + 2x + 3x 5002x + x + x 0, x 0, x 01123最優(yōu)單純形表:C(j)413000R.H.S.RatioX B-CBX1X2X3X4X5X6X1411/503/5-1/5020X3303/51-1/52/50160X60000-101400C(j)-Z(j)0-8/50-9/5-2/50Z=560最優(yōu)解X= (20, 0, 160), Z=560oX廠應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品A20件，產(chǎn)品C160種，總利潤為560 元。由最優(yōu)表可知，影子價(jià)格為y = 9, y = 2, y = 0 ,故