流體力學(xué)版7速度勢函數(shù)與流函數(shù)

1、7-4 速度勢函數(shù)與流函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的空間函數(shù) P、Q、R 能夠表示為全微分的充分必要條件是或1速度勢函數(shù)當(dāng)流動無旋或 - 速度勢函數(shù)表示成矢量形式 流動無旋 - 必定存在速度勢函數(shù)有勢流動(勢流) - 存在速度勢函數(shù)的流動 存在速度勢函數(shù) - 流動必定無旋無旋流動有勢流動2流函數(shù)對于不可壓縮流體的平面流動 - 流函數(shù) 平面不可壓縮流動 - 必定存在流函數(shù)3速度勢函數(shù)和流函數(shù)的主要性質(zhì) (1) 速度勢函數(shù)的等值線與流線正交， 流函數(shù)的等值線與流線重合。 由數(shù)學(xué)知又流線與 V = 相切所以 (x, y, t) = C 與流線正交 (x, y, t) = C - 等速度勢線(等

2、勢線)二維流線微分方程 可見，(x, y, t) = C 與流線重合。 一般把流函數(shù)的等值線( = C)稱為流線。實(shí)際上， 等值線 = C 并不等同于流線， 由不可壓縮流 體二維流動的連續(xù)性方程引入，對于特定的流動 才能引入流函數(shù) ，而流線由速度矢量定義。 在物面邊界上流函數(shù)的值是常數(shù)，所以物面邊界也 可以被當(dāng)作是流場中的一條流線。反過來說，流場 中任意一條流線也可以被看作是物面邊界。例例 = C 與流線正交， = C 與流線重合， 所以曲線 = C 與曲線 = C 正交。 兩族曲線正交。由速度勢函數(shù)和流函數(shù)的性質(zhì)不難判斷，部分曲線與圓正交的那一族是等速度勢線，而其中一條與物面相重合的那一族是

3、流線。 = C = C例在單連通區(qū)域中，沿任意曲線的切向速度積分等于 曲線兩端點(diǎn)上速度勢值之差，而且積分值與路徑無關(guān)。通過連接兩條流線的任意曲線的體積流量等于這兩條流線上流函數(shù)值之差。 對于無旋流動存在速度勢函數(shù)，此時在單連通區(qū)域上沿兩端點(diǎn)分別為 A 和 B 的任意曲線的切向速度積分為 積分與路徑無關(guān)，它等于積分路徑兩端點(diǎn)上的速度勢值之差。在單連通的無旋流場中， 沿任意封閉曲線的速度環(huán)量為零。由斯托克斯(Stokes)定理也可以看出。-dxdydsn(n,x)(n,y)(n,y)(n,x)在微元 dS 上因?yàn)橛懻摰氖瞧矫鎲栴}，所謂通過某曲線的流量應(yīng)該被理解為通過垂直方向?yàn)閱挝缓竦那娴牧髁俊?

4、例 不可壓縮流體平面流動的速度為 u = x-4y， v = -y-4x 。 （1）證明流動滿足連續(xù)性方程，并求流函數(shù)的表達(dá)式。 （2）若流動無旋，求速度勢函數(shù)的表達(dá)式。 解 （1） 對于不可壓縮流體的平面流動，連續(xù)性方程為 代入 u = x-4y， v = -y-4x，流動滿足連續(xù)性方程。 求流函數(shù)的表達(dá)式。由將 x 作為參數(shù)對 y 積分，得到 為了確定 f(x) , 再將 對求 x 偏導(dǎo)數(shù) 由積分，得到在流函數(shù)中加、減任意常數(shù)均不會使它所對應(yīng)的運(yùn)動學(xué)參數(shù)產(chǎn)生改變，所以積分常數(shù)可以忽略。最后得到的流函數(shù)為 （2） 若流動無旋 把 y 作為參數(shù)對 x 積分，得到 為了確定 g(y) , 將 對

5、求 y 偏導(dǎo)數(shù) 例 已知平面不可壓縮流動的流函數(shù) = ax2 -ay2 ； 證明流動無旋，并求出相應(yīng)的速度勢函數(shù)。解流動無旋，所以存在相應(yīng)的速度勢函數(shù)。對 y 取偏導(dǎo)數(shù)，得可見， C (y) = 0，即 C(y) = C (常數(shù))可以在速度勢函數(shù)上加或減任意常數(shù)，所以例 設(shè)平面流動 (a) u = 1, v = 2； 流動 (b) u = 4x, v =-4y。 （1）對于 (a) 是否存在流函數(shù) ？若存在，求 。 （2）對于 (b) 是否存在速度勢函數(shù) ？若存在，求 。解（1）對于流動 (a) 有顯然滿足不可壓縮流體流動的連續(xù)性方程存在對應(yīng)的流函數(shù)。積分后得到： = y -2x (略去了積分

6、常數(shù)) 。（2）對于流動 (b) 有積分后得到： = 2x2 -2y2 (已略去積分常數(shù))滿足無旋條件存在相對應(yīng)的速度勢函數(shù)。7-5 不可壓縮流體平面勢流的求解不涉及動力學(xué)條件。不可壓縮流體的平面勢流應(yīng)該滿足如果存在物體壁面 ，速度應(yīng)該在物面上滿邊界條件求解不可壓縮流體平面勢流問題的主要任務(wù)就是尋求滿足以上方程組和邊界條件的速度矢量。 有三種數(shù)學(xué)求解途經(jīng):如果流場延伸至無窮遠(yuǎn)，在無窮遠(yuǎn)處還應(yīng)滿足1以速度勢為未知函數(shù)的求解途徑(無旋)(平面不可壓) - 平面調(diào)和函數(shù)采用平面極坐標(biāo)時，無旋不可壓縮拉普拉斯方程2以流函數(shù)為未知函數(shù)的求解途徑(平面不可壓)(無旋) - 平面調(diào)和函數(shù)在物面 上取 ds-

7、dxdydsn(n,x)(n,y)(n,y)(n,x)在物面 上邊界條件為也就是采用平面極坐標(biāo)時，拉普拉斯方程3以復(fù)位勢為未知函數(shù)的求解途徑柯西黎曼條件 解析W - 復(fù)位勢- 復(fù)速度 解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)方向無關(guān)。在邊界上應(yīng)該滿足不可壓縮流體平面 無旋流動的主要性質(zhì)存在 無旋平面 不可壓 滿足 Laplace 方程存在 無旋平面 不可壓 滿足 Laplace 方程* 同時存在 、* 、 都滿足 Laplace 方程* 用 、 組合而成的復(fù)勢解析* 、 的等值線正交* 、 在空間點(diǎn)上的差值分別 是切向速度積分和流量平面 不可壓 無旋不可壓縮流體平面勢流的求解途徑途徑一：途徑二：途徑三：求解析函數(shù)

8、 W(z),第二個途徑: 在第一類邊界條件下求解拉普拉斯方 程，可以采用基本解疊加法或者數(shù)值 方法求解，通常只適用于求解規(guī)則邊 界的流動問題。第一個途徑: 在第二類邊界條件下求解拉普拉斯方 程，可以采用基本解疊加法或者數(shù)值 方法求解，通常只適用于求解規(guī)則邊 界的流動問題。第三個途徑：屬于復(fù)變函數(shù)理論中求解析函數(shù)范疇 的問題，可以采用保角變換，適用于 求解復(fù)雜邊界的流動問題。不可壓縮勢流問題的主要特點(diǎn) 解是可以疊加的； 流動對時間的依賴關(guān)系由邊界條件反映； 運(yùn)動學(xué)問題與動力學(xué)問題可以被分開求解。 如果 1，2，3 是勢流問題的解，則 = 1 + 2 + 3 + 也是勢流問題的解。事實(shí)上 2 =

9、21 + 22 + 23 + ，如果 21 = 0， 22 = 0 ， 23 = 0 ， 并且 解是可以疊加的 2 = 0則必然有如果又有 = 1 + 2 + 3 + 則就是滿足所以邊界條件的勢流解。 流動對時間的依賴關(guān)系由邊界條件反映 運(yùn)動學(xué)問題與動力學(xué)問題可以被分開求解 4不可壓縮流體軸對稱勢流 采用柱坐標(biāo)(r,z)，設(shè) z 軸為軸對稱軸，參數(shù)不隨 變化。 軸對稱流動 - 沿對稱軸為心的圓周切線方向沒有 運(yùn)動，各物理參數(shù)沿圓周不變化。 例z圓管例圓球z不可壓縮流體的軸對稱勢流應(yīng)該滿足如果存在物體壁面 ，速度應(yīng)該在物面上滿邊界條件求解不可壓縮流體軸對稱勢流問題的主要任務(wù)就是尋求滿足以上方程組和邊界條件的速度矢量。 有兩種數(shù)學(xué)求解途經(jīng):如果流場延伸至無窮遠(yuǎn)，在無窮遠(yuǎn)