數(shù)值分析講稿22

1、3.2 牛頓插值公式 根據(jù)差商定義，把 視為 上一點，則 只要把后一式代入前一式，得:1最后一項中, 差商部分含有 ,為余項部分,記作 前面n+1項是關于 的n次多項式,記作這就是牛頓插值公式.2將牛頓插值公式 與 比較知： 3例如:當n=1時，其中,此即牛頓一次插值多項式，也就是點斜式直線方程. 4當n=2時,此即牛頓二次插值多項式,顯然, 5即 滿足二次插值條件。6例:已知求滿足以上插值條件的牛頓型插值多項式. 解:在上例中,我們已計算出則牛頓三次插值多項式:已知 在六個點的函數(shù)值如下表，運用牛頓型插值多項式求 的近似值。一階二階三階四階五階8解： 欲求 ,只需在

2、 之后再加一項:故 . 截斷誤差：9問題的提出 已知：函數(shù) 在 n+1 個節(jié)點 的取值： 求：一個次數(shù)不超過 n 的多項式 滿足注: n+1個不同的點確定一個唯一的多項式.10n次拉格朗日型插值多項式: 11一階差商二階差商三階差商n次牛頓插值多項式:12拉格朗日型插值與牛頓型插值的比較(1) 和 均是n次多項式,且均滿足插值條件: 由插值多項式的唯一性, ,因而兩個公式的余項是相等的,即則可知n階差商與導數(shù)的關系如下： 13 (2)當插值多項式從n-1次增加到n次時,拉格朗日型插值必須重新計算所有的基本插值多項式;而對于牛頓型插值,只需用表格再計算一個n階差商,然后加上一項即可.（3）牛頓型

3、插值余項公式對 是由離散點給出或 導數(shù)不存在時均適用.143.3 差分與等距牛頓插值公式插值節(jié)點為等距節(jié)點：如圖： h h h h h h h h hh稱為步長，函數(shù) 在 的函數(shù)值為 .151.差分的概念定義: 稱為向前差分算子,稱為一階差分;類似地,稱二階差分;一般地，m階差分用m-1階差分來定義：16定義: 稱為向后差分算子，分別稱為一階，二階， ，m階向后差分。 定義: 稱 為中心差分算子,如果 如果用函數(shù)表上的值，一階中心差分應寫成二階中心差分為： 17除差分算子外，常用的算子符號還有： 不變算子 :移位算子 ：由上面各種算子的定義可得算子間的關系：同理可得 182.差分的性質(zhì)性質(zhì)1:

4、 各階差分均可用函數(shù)值表示.其中, 為二項式展開系數(shù).可用數(shù)學歸納法證明此公式.19性質(zhì)2:函數(shù)值可用各階差分表示. 例如：性質(zhì)3:等距插值的情況下,可得差分和差商的關 系.首先, 向前差分有如下性質(zhì):20因為 所以21同理，對向后差分有利用差商與導數(shù)的關系:可推出差分與導數(shù)的關系：22性質(zhì)4:各種差分之間可以互化.例如:證明思路: 歸納法. 首先, 時, 假設 成立,那么, 證畢.233.等距節(jié)點的牛頓插值公式 將牛頓差商插值公式中各階差商用相應差分代替，就可得到各種形式的等距結點插值公式. h h h h 牛頓向前插值公式 若計算 附近的點 的函數(shù)值，可令 ,則有 分別將其代入牛頓插值公式和余項公式24得牛頓向前插值公式 及余項公式 25牛頓向后插值公式：若要計算 附近點 的函數(shù)值，插值點應按 的次序排列，有牛頓插值公式及余項公式26可令 ,將其代入上式以后得牛頓向后插值公式： 其余項為： 27 若 在函數(shù)表中間 ,推導公式應取 節(jié)點為 并按 的次序重新把牛頓插 值公式改寫。 28作業(yè)：1. 已測得函數(shù)的三對數(shù)據(jù)(0,1), (-1,5), (2,-1),（1）用Lagrange插值求二次插值多項式;（2）構造差商表;（3）用Newton插