線性微分方程解結(jié)構(gòu)

1、關(guān)于線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第一張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月高階線性微分方程的一般理論 n 階線性方程的一般形式為第二張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二階線性微分方程的一般形式為通常稱 第二式為 第一式的相對(duì)應(yīng)的齊方程。注意：我們討論二階線性方程的一般理論，所得結(jié)論可自然推廣至 n 階線性方程中。 復(fù)習(xí): 一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y這種解法叫常數(shù)變易法。第三張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1. 二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)(1) 疊加原理:則它們的線性組合第四張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月的解，則它們的線性組合也是方程 (2

2、) 的解。問(wèn)題:例：設(shè) y1 為 (1) 的解 , 則 y2=2 y1 是 方程(1) 的解,但 y=C1 y1+C2 y2 不為方程(1) 的通解 .第五張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月又如. 對(duì)于二階常系數(shù)線性齊次微分方程容易驗(yàn)證:但這個(gè)解中只含有一個(gè)任意常數(shù)C, 顯然它不是所給方程的通解.由定理知都是它的解.也是它的解. 在什么情況下，疊加所得可以成為方程 (1) 的通解？為解決通解的判別問(wèn)題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)概念. 第六張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(2) 線性無(wú)關(guān)、線性相關(guān)定義:是定義在區(qū)間 I 上的 n 個(gè)函數(shù),使得則稱這 n個(gè)函數(shù)在 I 上線

3、性相關(guān), 否則稱為線性無(wú)關(guān).若存在不全為 0 的常數(shù)第七張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月在區(qū)間I上線性相關(guān)存在不全為 0 的線性無(wú)關(guān)常數(shù)思考:中有一個(gè)恒為 0, 則必線性相關(guān)兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的充要條件:( 不妨設(shè)第八張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例1： 在( , )上都有故它們?cè)谌魏螀^(qū)間 I 上都線性相關(guān);3.如：若在某區(qū)間 I 上則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn) ,必需全為 0 ,可見(jiàn)在任何區(qū)間 I 上都線性無(wú)關(guān).第九張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月由三角函數(shù)知識(shí)可知，這是不可能的，故第十張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(一)

4、 二階齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則是方程 (1) 的通解。例如第十一張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月推論：是 n 階線性齊次微分方程 的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解, 則方程的通解為：第十二張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月下面要用到的幾個(gè)重要的結(jié)論（要記?。┩ㄟ^(guò)觀察可得方程的一個(gè)特解：第十三張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月又容易看出：由疊加原理，原方程的通解為第十四張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月代入方程（1）中，得怎么做？關(guān)于 z 的一階線性方程該問(wèn)題的解決歸功于數(shù)學(xué)家劉維爾。第十五張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月即故有兩邊積分，

5、得這是關(guān)于 z 的一階線性方程劉維爾公式第十六張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月由劉維爾公式故原方程的通解為第十七張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（二)二階非齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)的一個(gè)通解，則證 將代入方程（2）的左端得是非齊次方程的解,又y 中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),因而 是通解 .第十八張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月是對(duì)應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)特解, 推廣:給定 n 階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解第十九張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例1：方程有特解對(duì)應(yīng)齊次方程有通解：因此該方程的通解為第二十張

6、，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十一張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月是其對(duì)應(yīng)的齊方程的一個(gè)特解。第二十二張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月則該方程的通解是 ( ).例4.設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解, 是任意常數(shù), 提示:都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,且二者線性無(wú)關(guān) (反證法可證)。由非齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理可得（D）是正確的。第二十三張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例5. 設(shè) 是二階線性非齊次方程的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，試用 表示二階線性非齊次方程的通解.都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,且二者線性無(wú)關(guān) . (反證法可證)。第二十四張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于

7、2022年6月例6. 已知微分方程個(gè)解求此方程滿足初始條件的特解 .是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無(wú)關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為：有三 第二十五張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十六張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解都是微分方程的解,是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,常數(shù)對(duì)應(yīng)齊次方程的通解原方程的通解第二十七張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例8.已知 y = x 及 y = sinx 為某二階線性齊次 方程的解 , 求該方程 .解第二十八張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解(1)由題設(shè)可得：解此方程組，得(2) 原方程為由解的結(jié)構(gòu)定理得方程的通解為第

8、二十九張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(非齊次方程之解的疊加原理) 第三十張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(非齊次方程之解的疊加原理) 第三十一張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三十二張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月下面介紹如何求方程（2）的特解？的通解，則是方程 (2) 的通解。第三十三張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1、常數(shù)變易法復(fù)習(xí): 常數(shù)變易法: 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解: 設(shè)非齊次方程的解為 代入原方程確定 對(duì)二階非齊次方程 情形1. 已知對(duì)應(yīng)齊次方程通解: 設(shè)的解為 由于有兩個(gè)待定函數(shù), 所以要建立兩個(gè)方程:第三十四張，PPT共四十八頁(yè)，

9、創(chuàng)作于2022年6月令于是將以上結(jié)果代入方程 : 得故, 的系數(shù)行列式是對(duì)應(yīng)齊次方程的解第三十五張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月積分得: 代入 即得非齊次方程的通解: 于是得 說(shuō)明: 將的解設(shè)為 只有一個(gè)必須滿足的條件即因此必需再附加一個(gè)條件, 方程的引入是為了簡(jiǎn)化計(jì)算.方程 第三十六張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月情形2.僅知的齊次方程的一個(gè)非零特解 代入 化簡(jiǎn)得設(shè)其通解為 積分得(一階線性方程)由此得原方程的通解: 第三十七張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月常數(shù)變易法則有這是以下推導(dǎo)的前提。1、常數(shù)變易法第三十八張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月于是對(duì)上

10、式兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)，得 這兩部分為零。即第三十九張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月聯(lián)立 (3)、(4) 構(gòu)成方程組解此方程組，再積分，并取積分常數(shù)為零，即可得到 在這一節(jié)中所講述的理論均可推廣到 n 階線性微分方程中去。 第四十張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解：該方程所對(duì)應(yīng)的齊方程為它就是前面剛剛講過(guò)的例題，由劉維爾公式得其通解為由常數(shù)變易法，解方程組第四十一張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月兩邊積分，取積分常數(shù)為零，得兩邊積分，取積分常數(shù)為零，得故原方程有一特解從而原方程的通解為：第四十二張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解：先將方程變形為第四十三張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月所以，對(duì)應(yīng)的齊次的通解為設(shè)原方程的解為由常數(shù)變易法知，應(yīng)有解之得所以原方程的通解為第四十四張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例3.的通解為 的通解.解: 將所給方程化為:已知齊次方程求利用,建立方程組: 故所求通解為積分得 第四十五張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022