矩陣與矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形

1、 第二章 矩陣與矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 矩陣的基本概念定義：設(shè)為數(shù)域 上的多項(xiàng)式，則稱 1為多項(xiàng)式矩陣或 矩陣。定義 如果 矩陣 中有一個(gè) 階 子式不為零，而所有 階子式(如果有的話)全為零，則稱 的秩為 ，記為零矩陣的秩為0。定義 一個(gè) 階 矩陣稱為可逆的，如果有一個(gè) 階 矩陣 ，滿足這里 是 階單位矩陣。 稱為 矩陣的逆矩陣，記為 。2定理 一個(gè) 階 矩陣 可逆的充要必要是 一個(gè)非零的常數(shù)。定義 下列各種類型的變換，叫做 矩陣的初等變換： 矩陣的任二行(列)互換位置； 非零常數(shù) 乘矩陣的某一行(列)； 矩陣的某一行(列)的 倍加到另一行(列)上去，其中 是 的一個(gè)多項(xiàng)式。 對(duì)單位矩陣施行

2、上述三種類型的初等變換便得相應(yīng)得三種 矩陣得初等矩陣 3定理 對(duì)一個(gè) 的 矩陣 的行作初等行變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的 階初等矩陣左乘 。對(duì) 的列作初等列變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的 階初等矩陣右乘 。定義 如果 經(jīng)過有限次的初等變換之后變成 ，則稱 與 等價(jià)，記之為定理 與 等價(jià)的充要條件是存在兩個(gè)可逆矩陣 與 ，使得4 矩陣Smith標(biāo)準(zhǔn)形的存在性 定 理 任意一個(gè)非零的 型的 矩陣都等價(jià)于一個(gè)對(duì)角形矩陣，即5其中 是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式且稱這種形式的 矩陣為 的Smith標(biāo)準(zhǔn)形。 稱為 的不變因子。例 1將其化成Smith標(biāo)準(zhǔn)形。6解：78例 2將其化成Smith標(biāo)準(zhǔn)形。解：91011例 3將其化為S

3、mith標(biāo)準(zhǔn)形。解：121314151617將其化為Smith標(biāo)準(zhǔn)形。例 4解：18192021矩陣標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性定 義： 為一個(gè) 矩陣且 對(duì)于任意的正整數(shù) ， ， 必有非零的 階子式， 的全部 階子式的最大公因式 稱為 的 階行列式因子。 22顯然，如果 ，則行列式因子一共有 個(gè)。例 1 求的各階行列式因子。解：23由于 ，所以 。顯然 而且其余的7各2 階子式也都包含 作為公因子，所以另外24注意 ：觀察 三者之間的關(guān)系。定理： 等價(jià)（相抵） 矩陣有相同的各階行列式因子從而有相同的秩。 設(shè) 矩陣 的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為25容易計(jì)算上面的標(biāo)準(zhǔn)形的各階行列式因子為26顯然有：27由于 與上面的S

4、mith標(biāo)準(zhǔn)形具有相同的各階行列式因子，所以 的各階行列式因子為而又是由這些行列式因子唯一確定的，于是我們得到定 理： 的Smith標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的。例 1 求下列 矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形。2829解 ：（1）容易計(jì)算出30（2）首先觀察此矩陣的元素排列規(guī)律，顯然下面看 階行列式因子。有一個(gè)階子式要注意，即31容易計(jì)算出 從而 3233(3) 定理 矩陣 與 等價(jià)的充要條件是對(duì)于任何的 ，它們的 階行列式因子相同。定理 矩陣 與 等價(jià)的充要條件是 與 有相同的不變因子。34與一般的數(shù)字矩陣一樣，我們有下面的推論：推論 矩陣 可逆的充要條件為 與單位矩陣等價(jià)。推論 矩陣 可逆的充要條件為 可以表示

5、成一系列初等矩陣的乘積。 35初等因子和矩陣的相似設(shè) 矩陣 的不變因子為在復(fù)數(shù)域內(nèi)將它們分解成一次因式的冪的乘積：36其中 是互異的復(fù)數(shù)， 是非負(fù)整數(shù)。因?yàn)?，所以滿足如下關(guān)系定義 在上式中，所以指數(shù)大于零的因子稱為 矩陣 的初等因子37例 如果 矩陣 的不變因子為則 的初等因子為38例 如果 矩陣 的秩為4，其初等因子為求 的Smith標(biāo)準(zhǔn)形。解：首先求出 的不變因子39從而 的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為定理 階 矩陣 與 等價(jià)的充要條件是它們有相同的秩且有相同的初等因子。40定理 設(shè) 矩陣為準(zhǔn)對(duì)角形矩陣，則 與 的初等因子的全體是 的全部初等因子。此定理也可推廣成如下形式：41定理 若 矩陣則 各

6、個(gè)初等因子的全體就是 的全部初等因子。42例 1 求 矩陣的初等因子，不變因子與標(biāo)準(zhǔn)形。解：記43那么對(duì)于 ，其初等因子為 由上面的定理可知 的初等因子為因?yàn)?的秩為4，故 的不變因子為44因此 的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為45例 2 判斷下面兩個(gè) 矩陣是否等價(jià)？46例 3 求下面 矩陣不變因子47例 4 求下列 矩陣的行列式 因子與不變因子48數(shù)字矩陣的相似與 矩陣的等價(jià)定理： 設(shè) 是兩個(gè) 階的數(shù)字矩陣，那么 與 相似的充分必要條件為它們的特征矩陣 與等價(jià)。定義： 對(duì)于數(shù)字矩陣 ，我們稱 的不變因子為 的不變因子，稱 的初等因子為 的初等因子。 49 對(duì)于任何一個(gè)數(shù)字矩陣 所以 ，于是可得下面兩個(gè)定

7、理定理： 兩個(gè)同階的方陣 相似的充分必要條件是它們有相同的初等因子。定理：兩個(gè)同階的方陣 相似的充分必要條件是它們有相同的行列式因子（或不變因子）。例 設(shè) ，證明：50（1） 階矩陣與51相似；（2） 階矩陣與52不相似。 矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形定義： 稱 階矩陣53為Jordan塊。設(shè) 為Jordan塊，稱準(zhǔn)對(duì)角形矩陣54為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。由前面的例題和定理可知Jordan塊的初等因子為，從而Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的初等因子為55于是可以得到下面的定理定理： 設(shè) 的初等因子為則，這里56其中 我們稱 是矩陣 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。特別地，我們有定理： 可以對(duì)角化的充分必要條件是57

8、的初等因子都是一次因式。例 1 求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。解： 先求出 的初等因子。對(duì) 運(yùn)用初等變換可以得到58所以 的初等因子為59故 的標(biāo)準(zhǔn)形為或60例 2 求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。解： 先求出 的初等因子。對(duì) 運(yùn)用初等變換可以得到61所以 的初等因子為62故 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為或63求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的另一種方法：特征矩陣秩的方法.具體操作步驟：（1）先求出該矩陣的特征多項(xiàng)式及其特征值（2）其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上都是 的特征值，并且特征值 在主對(duì)角線上出現(xiàn)的次數(shù)等于 作為特征根的重?cái)?shù)。對(duì)于每個(gè)特征值 ，求出以它為主對(duì)角元的各級(jí)Jordan 塊的數(shù)目 ，首先求出 那么

9、以 為主對(duì)角元的 Jordan 塊的總數(shù)是64這里 為該矩陣的階數(shù)，而以 為主對(duì)角元的 級(jí) Jordan 塊的數(shù)目是依次先求出直至滿足條件65為止。（3）根據(jù)第二步求出的各級(jí)Jordan塊的數(shù)目，就可以寫出 的一個(gè)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。例 1 用矩陣秩的方法求出矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。66解： 先求出 的特征多項(xiàng)式及其特征值。 對(duì)于特征值 ，它是 的1重根，從而 在 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上出現(xiàn)一次，因此 中主對(duì)角元為1 的Jordan塊只有一個(gè)且它為一階的。67對(duì)于特征值 ，先求 所以 從而68特征值 是 的兩重根，從而 在 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 的主對(duì)角線上出現(xiàn)兩次，因此 中主

10、對(duì)角元為 3的Jordan塊只有一個(gè)且它為二階的。故 的標(biāo)準(zhǔn)形為或69例 2 用矩陣秩的方法求出矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。解：首先求出其特征值，顯然其特征多項(xiàng)式為70所以 為 的4重根，從而 在 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形 的主對(duì)角線上出現(xiàn)四次，下面計(jì)算 中主對(duì)角元為1 的Jordan塊的數(shù)目，先計(jì)算 ， 容易得到那么中主對(duì)角元為 的Jordan塊數(shù)是由此立即可得其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為71如何求相似變換矩陣？ 設(shè) 階方陣 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為 ,則存在可逆矩陣 使得72，稱 為相似變換矩陣。對(duì)于相似變換矩陣的一般理論我們不作過多的討論，只通過具體的例題說明求 的方法。例 1 求方陣的Jorda

11、n標(biāo)準(zhǔn)形及其相似變換矩陣 。73解： 首先用初等變換法求其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：74故 的初等因子為從而 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為 再求相似變換矩陣： 設(shè)所求矩陣為 ，則 ，對(duì)于 按列分塊記為75于是有從而可得76整理以后可得三個(gè)線性方程組前面的兩個(gè)方程為同解方程組，可以求出它們的一個(gè)基礎(chǔ)解系：可以取 ，但是不能簡(jiǎn)單地取，這是因?yàn)槿绻?選取不當(dāng)會(huì)使得第三個(gè)非齊次線性方程組無解。由于77的任意線性組合都是前兩個(gè)方程組的解，所以應(yīng)該取 使得第三個(gè)非齊次方程有解，即其系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同地秩，容易計(jì)算出其系數(shù)矩陣的秩為1，從而應(yīng)該使得增廣矩陣 的秩也為1。即78容易看出只需令 就會(huì)使得上述矩陣的秩為

12、1，于是再由第三個(gè)方程解出一個(gè)特解為79，那么所求相似變換矩陣為例 2 求方陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及其相似變換矩陣 。80解： 首先用初等變換法求其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：81故 的初等因子為從而 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為 再求相似變換矩陣： 設(shè)所求矩陣為 ，則 ，對(duì)于 按列分塊記為82于是有從而可得83整理以后可得三個(gè)線性方程組前面的兩個(gè)方程為同解方程組，可以求出它們的一個(gè)基礎(chǔ)解系：可以取 ，但是不能簡(jiǎn)單地取，這是因?yàn)槿绻?選取不當(dāng)會(huì)使得第三個(gè)非齊次線性方程組無解。由于84的任意線性組合都是前兩個(gè)方程組的解，所以應(yīng)該取 使得第三個(gè)非齊次方程有解，即其系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同地秩，容易計(jì)算出其系數(shù)矩

13、陣的秩為1，從而應(yīng)該使得增廣矩陣的秩也為1。即85容易看只要 就會(huì)使得上述增廣矩陣的秩為1。令 ，于是再由第三個(gè)方程解出一個(gè)特解為86，那么所求相似變換矩陣為從而有87一般地，設(shè) ，則存在 階可逆矩陣 使得其中 為Jordan塊，記這里88那么有記 ，又可得89注意： 是矩陣 的對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量，特征向量 的選取應(yīng)該保證特征向量 可以求出，同樣特征向量 的選取應(yīng)該保證特征向量 可以求出，依此類推，并且使得線性無關(guān)。Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的某些應(yīng)用例 1 對(duì)于方陣90求 。解：首先用初等變換法求其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：91故 的初等因子為92從而 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為再求相似變換矩陣 且 ，那么 按照前面例題的方式，容易計(jì)算出 93從而94例 2 求解常系數(shù)線性微分方程組解： 令95那么此方程組可表示成96由前面的例題可知存在使得97作線性替換從而可得整理即得方程98首先得到兩個(gè)很顯然的解99然后再解第三個(gè)方程其解為這樣得到100即其中 為任意常數(shù)。例 3 設(shè) 為數(shù)域 上的 階方陣且滿足 ，證明： 與對(duì)角矩陣 101相似。證明：設(shè) 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為102即有可逆矩陣 使得由于 ，所以有103從而 即104因此，只有當(dāng) 為一階矩陣時(shí)上面的矩陣等式才成立且 ，所以有這說明 為一個(gè)對(duì)角矩陣且主對(duì)角線上的元素只能為1 或0，適當(dāng)?shù)卣{(diào)換主對(duì)角線上的元素次序可