工程問題解法

1、.：.；.當知道了兩者任務(wù)效率之比，從比例角度思索問題，也 需時間是 因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書中“把任務(wù)量設(shè)為整體1的做法，而偏重于“整數(shù)化或“從比例角度出發(fā)，也許會使我們的解題思緒更靈敏一些. 一、兩個人的問題 標題上說的“兩個人，也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集體. 例1 一件任務(wù)，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。如今甲先做了3天，余下的任務(wù)由乙繼續(xù)完成，乙需求做幾天可以完成全部任務(wù)？ 解一：把這件任務(wù)看作1，甲每天可完成這件任務(wù)的九分之一，做3天完成的1/3。 乙每天可完成這件任務(wù)的六分之一，1-1/31/6=4天 答：乙需求做4天可完成全部任務(wù). 解二：9與

2、6的最小公倍數(shù)是18.設(shè)全部任務(wù)量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下任務(wù)所需時間是 18- 2 3 3= 4天. 解三：甲與乙的任務(wù)效率之比是 6 9= 2 3. 甲做了3天，相當于乙做了2天.乙完成余下任務(wù)所需時間是6-2=4天. 例2 一件任務(wù)，甲、乙兩人協(xié)作30天可以完成，共同做了6天后，甲分開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.假設(shè)這件任務(wù)由甲或乙單獨完成各需求多少天？ 解：共做了6天后， 原來，甲做 24天，乙做 24天， 如今，甲做0天，乙做40=24+16天. 這闡明原來甲24天做的任務(wù)，可由乙做16天來替代.因此甲的任務(wù)效率 假設(shè)乙獨做，所需時間是 50天 假設(shè)甲獨

3、做，所需時間是 75天 答：甲或乙獨做所需時間分別是75天和50天. 例3 某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；假設(shè)由甲、乙兩人協(xié)作，需48天完成.如今甲先單獨做42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需求做多少天？ 解：先對比方下： 甲做63天，乙做28天； 甲做48天，乙做48天. 就知道甲少做63-48=15天，乙要多做48-28=20天，由此得出甲的 甲先單獨做42天，比63天少做了63-42=21天，相當于乙要做 因此，乙還要做 28+28= 56 天. 答：乙還需求做 56天. 例4 一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成.如今兩隊協(xié)作，其間甲隊休憩了2

4、天，乙隊休憩了8天不存在兩隊同一天休憩.問開場到完工共用了多少天時間？ 解一：甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天，共完成任務(wù)量 余下的任務(wù)量是兩隊共同協(xié)作的，需求的天數(shù)是 2+8+ 1= 11天. 答：從開場到完工共用了11天. 解二：設(shè)全部任務(wù)量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天之后，還需兩隊協(xié)作 30- 3 8- 1 23+1= 1天. 解三：甲隊做1天相當于乙隊做3天. 在甲隊單獨做 8天后，還余下甲隊 10-8= 2天任務(wù)量.相當于乙隊要做23=6天.乙隊單獨做2天后，還余下乙隊6-2=4天任務(wù)量. 4=3+1， 其中3天可由甲隊1天完成，因此兩隊只

5、需再協(xié)作1天. 例5 一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完成.如今他們兩隊一同做，其間甲隊休憩了3天，乙隊休憩了假設(shè)干天.從開場到完成共用了16天.問乙隊休憩了多少天？ 解一：假設(shè)16天兩隊都不休憩，可以完成的任務(wù)量是 12016+13016=4/3 由于兩隊休憩期間未做的任務(wù)量是4/3-1=1/3 乙隊休憩期間未做的任務(wù)量是 1/3-1/203=11/60 乙隊休憩的天數(shù)是 11/60(1/30)=11/2 答：乙隊休憩了5天半. 解二：設(shè)全部任務(wù)量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份. 兩隊休憩期間未做的任務(wù)量是 3+216- 60= 20份. 因此乙休憩天數(shù)是 20-

6、3 3 2= 5.5天. 解三：甲隊做2天，相當于乙隊做3天. 甲隊休憩3天，相當于乙隊休憩4.5天. 假設(shè)甲隊16天都不休憩，只余下甲隊4天任務(wù)量，相當于乙隊6天任務(wù)量，乙休憩天數(shù)是 16-6-4.5=5.5天. 例6 有甲、乙兩項任務(wù)，張單獨完成甲任務(wù)要10天，單獨完成乙任務(wù)要15天；李單獨完成甲任務(wù)要 8天，單獨完成乙任務(wù)要20天.假設(shè)每項任務(wù)都可以由兩人協(xié)作，那么這兩項任務(wù)都完成最少需求多少天？ 解：很明顯，李做甲任務(wù)的任務(wù)效率高，張做乙任務(wù)的任務(wù)效率高.因此讓李先做甲， HYPERLINK baike.baidu/view/9725.htm t _blank 張先做乙. 設(shè)乙的任務(wù)量

7、為60份15與20的最小公倍數(shù)，張每天完成4份，李每天完成3份. 8天，李就能完成甲任務(wù).此時張還余下乙任務(wù)60-48份.由張、李協(xié)作需求 60-484+3=4天. 8+4=12天. 答：這兩項任務(wù)都完成最少需求12天. 例7 一項工程，甲獨做需10天，乙獨做需15天，假設(shè)兩人協(xié)作，他 要8天完成這項工程，兩人協(xié)作天數(shù)盡能夠少，那么兩人要協(xié)作多少天？ 解：設(shè)這項工程的任務(wù)量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份. 兩人協(xié)作，共完成 3 0.8 + 2 0.9= 4.2份. 由于兩人協(xié)作天數(shù)要盡能夠少，獨做的應(yīng)是任務(wù)效率較高的甲.由于要在8天內(nèi)完成，所以兩人協(xié)作的天數(shù)是 30-384.2-3=

8、5天. 很明顯，最后轉(zhuǎn)化成“ HYPERLINK baike.baidu/view/325901.htm t _blank 雞兔同籠型問題. 例8 甲、乙協(xié)作一件任務(wù)，由于配合得好，甲的任務(wù)效率比單獨做時快 假設(shè)這件任務(wù)一直由甲一人單獨來做，需求多少小時？ 解：乙6小時單獨任務(wù)完成的任務(wù)量是 乙每小時完成的任務(wù)量是 兩人協(xié)作6小時，甲完成的任務(wù)量是 甲單獨做時每小時完成的任務(wù)量 甲單獨做這件任務(wù)需求的時間是 答：甲單獨完成這件任務(wù)需求33小時. 這一節(jié)的多數(shù)例題都進展了“整數(shù)化的處置.但是，“整數(shù)化并不能使一切工程問題的計算簡便. 例8就是如此.例8也可以整數(shù)化，當求出乙每 有一點方便，但益處

9、不大.不用多此一舉. 二、多人的工程問題 我們說的多人，至少有3個人，當然多人問題要比2人問題復雜一些，但是解題的根本思緒還是差不多. 例9 一件任務(wù)，甲、乙兩人協(xié)作36天完成，乙、丙兩人協(xié)作45天完成，甲、丙兩人協(xié)作要60天完成.問甲一人獨做需求多少天完成？ 解：設(shè)這件任務(wù)的任務(wù)量是1. 甲、乙、丙三人協(xié)作每天完成 減去乙、丙兩人每天完成的任務(wù)量，甲每天完成 答：甲一人獨做需求90天完成. 例9也可以整數(shù)化，設(shè)全部任務(wù)量為180份，甲、乙協(xié)作每天完成5份，乙、丙協(xié)作每天完成4份，甲、丙協(xié)作每天完成3份.請試一試，計算能否會方便些？ 例10 一件任務(wù)，甲獨做要12天，乙獨做要18天，丙獨做要2

10、4天.這件任務(wù)由甲先做了假設(shè)干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做完了這件任務(wù).問總共用了多少天？ 解：甲做1天，乙就做3天，丙就做32=6天. 闡明甲做了2天，乙做了23=6天，丙做26=12(天，三人一共做了 2+6+12=20天. 答：完成這項任務(wù)用了20天. 此題整數(shù)化會帶來計算上的方便.12，18，24這三數(shù)有一個易求出的最小公倍數(shù)72.可設(shè)全部任務(wù)量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了 例11 一項工程，甲、乙、丙三人協(xié)作需求13天完成.假設(shè)丙休憩2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人協(xié)作1天.問

11、這項工程由甲獨做需求多少天？ 解：丙2天的任務(wù)量，相當乙4天的任務(wù)量.丙的任務(wù)效率是乙的任務(wù)效率的42=2倍，甲、乙協(xié)作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當于乙做3天，甲的任務(wù)效率是乙的任務(wù)效率的3倍. 他們共同做13天的任務(wù)量，由甲單獨完成，甲需求 答：甲獨做需求26天. 現(xiàn)實上，當我們算出甲、乙、丙三人任務(wù)效率之比是321，就知甲做1天，相當于乙、丙協(xié)作1天.三人協(xié)作需13天，其中乙、丙兩人完成的任務(wù)量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13天來完成. 例12 某項任務(wù)，甲組3人8天能完成任務(wù)，乙組4人7天也能完成任務(wù).問甲組2人和乙組7人協(xié)作多少時間能完成這項任務(wù)？ 解一：設(shè)這項任務(wù)的任務(wù)量是1. 甲

12、組每人每天能完成 乙組每人每天能完成 甲組2人和乙組7人每天能完成 答：協(xié)作3天能完成這項任務(wù). 解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成. 如今已不需顧及人數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為： 甲組獨做12天，乙組獨做4天，問協(xié)作幾天完成？ 小學算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性.解二是比例靈敏運用的典型，假設(shè)他心算較好，很快就能得出答數(shù). 例13 制造一批零件，甲車間要10天完成，假設(shè)甲車間與乙車間一同做只需6天就能完成.乙車間與丙車間一同做，需求8天才干完成.如今三個車間一同做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比乙車間多制造零件2400個.問丙車間制造了多少個零件？ 解一：仍設(shè)總?cè)?/p>

13、務(wù)量為1. 甲每天比乙多完成 因此這批零件的總數(shù)是 丙車間制造的零件數(shù)目是 答：丙車間制造了4200個零件. 解二：10與6最小公倍數(shù)是30.設(shè)制造零件全部任務(wù)量為30份.甲每天完成 3份，甲、乙一同每天完成5份，由此得出乙每天完成2份. 乙、丙一同，8天完成.乙完成82=16份，丙完成30-16=14份，就知 乙、丙任務(wù)效率之比是1614=87. 知 甲、乙任務(wù)效率之比是 32= 128. 綜合一同，甲、乙、丙三人任務(wù)效率之比是 1287. 當三個車間一同做時，丙制造的零件個數(shù)是 240012- 8 7= 4200個. 例14 搬運一個倉庫的貨物，甲需求10小時，乙需求12小時，丙需求15小時.有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開場搬運貨物，丙開場協(xié)助 甲搬運，中途又轉(zhuǎn)向協(xié)助 乙搬運.最后兩個倉庫貨物同時搬完.問丙協(xié)助 甲、乙各多少時間？ 解：設(shè)搬運一個倉庫的貨物的任