高中數(shù)學(xué) 不同函數(shù)增長的差異 課件

1、主講人：深圳第二外國語學(xué)校 焦鳳愛深圳市新課程新教材高中數(shù)學(xué)在線教學(xué)4.4.3不同函數(shù)增長的差異情境引入 在我們學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)中，哪些函數(shù)在定義域上是增函數(shù)？情境引入 雖然它們都是增函數(shù)，但增長方式存在很大差異，這種差異正是不同類型現(xiàn)實問題具有不同增長規(guī)律的反映. 我們采用由特殊到一般，由具體到抽象的研究方法.情境引入 下面就來研究一次函數(shù) ，指數(shù)函數(shù) ，對數(shù)函數(shù) 在定義域內(nèi)增長方式的差異.探究一： 以函數(shù) 與 為例研究指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長方式的差異. 分析：(1) 在區(qū)間 上，指數(shù)函數(shù) 值恒大于0，一次函數(shù) 值恒小于0，所以我們重點研究在

2、區(qū)間上它們的增長差異.探究一：(2) 借助信息技術(shù)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)列表、描點作圖如下：x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386探究一：(3) 觀察兩個函數(shù)圖象及其增長方式：探究一：下面在更大的范圍內(nèi)，觀察 和 的增長情況. 通過圖像可以看到，隨著自變量取值越來越大，函數(shù) 的圖象幾乎與 軸垂直，函數(shù)值快速增長，函數(shù) 的增長速度保持不變，與 的增長速度相比幾乎微不足道.探究一：小結(jié)：函數(shù) 與 在 上增長快慢的不同如下： 雖然函數(shù) 與 在 上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同，而且不在一個“檔次”. 隨著 的增大， 的增長速度越來越快，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 的

3、增長速度. 盡管在 的一定范圍內(nèi)， ，但由于 的增長最終會快于 的增長，因此，總會存在一個 ，當(dāng) 時，恒有 .探究一： 推廣：一般地，指數(shù)函數(shù) 與一次函數(shù) 的增長差異都與上述情況類似. 即使 值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 值，指數(shù)函數(shù) 雖然有一段區(qū)間會小于 ，但總會存在一個 ，當(dāng) 時， 的增長速度會大大超過 的增長速度.例1. 三個變量 隨變量 變化的數(shù)據(jù)如下表：0510152025305130505113020053130450559016202916052488094478401700611205305580105130155其中關(guān)于 呈指數(shù)增長的變量是 .探究二：以函數(shù) 與 為例研究對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)在

4、上的增長差異. (1) 借助信息技術(shù)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)列表、描點作圖如下：0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786探究二：(2) 觀察兩個函數(shù)圖象及其增長方式：y=lgx 小結(jié)：雖然函數(shù) 與 在 上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度存在明顯差異. 在 上增長速度不變， 在 上的增長速度在變化. 隨著 的增大， 的圖象離 軸越來越遠(yuǎn)，而函數(shù) 的圖象越來越平緩，就像與 軸平行一樣.探究二：例如：這表明，當(dāng) ，即比 相比增長得就很慢了.探究二：思考：將 放大1000倍，將函數(shù) 與 比較，仍有上面規(guī)律嗎？先想象一下，仍然有.探究二： 推廣：一般地

5、，雖然對數(shù)函數(shù) 與一次函數(shù) 在(0,+)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同. 隨著 的增大，一次函數(shù) 保持固定的增長速度，而對數(shù)函數(shù) 的增長速度越來越慢. 不論 值比 值大多少，在一定范圍內(nèi)， 可能會大于但由于 的增長會慢于 的增長，因此總存在一個 ，當(dāng) 時，恒有 .例2已知函數(shù) 的圖象如圖所示（1）試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線 分別對應(yīng)的函數(shù)；（2）比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點為分界點，對 的大小進(jìn)行比較). 探究三： (1)畫出一次函數(shù) ，對數(shù)函數(shù) 和指數(shù)函數(shù) 的圖象，并比較它們的增長差異. 小結(jié)：雖然函數(shù) ，函數(shù) 與 在 上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度存在明顯差異. 在 上增長

6、速度不變，函數(shù) 與 在上的增長速度在變化. 函數(shù) 的圖象越來越陡，就像與 軸垂直一樣；函數(shù) 的圖象越來越平緩，就像與 軸平行一樣.類比上述過程，探究三： (2)概括一次函數(shù) ,對數(shù)函數(shù) 和指數(shù)函數(shù)的增長差異. 推廣：一般地，雖然一次函數(shù) ，對數(shù)函數(shù) 和指數(shù)函數(shù) 在(0,+)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同. 隨著 的增大，一次函數(shù) 保持固定的增長速度，而指數(shù)函數(shù) 的增長速度越來越快；對數(shù)函數(shù) 的增長速度越來越慢. 不論 值比 值小多少，在一定范圍內(nèi)， 可能會小于 ，但由于 的增長會快于 的增長，因此總存在一個 ，當(dāng) 時，恒有 ； 同樣，不論 值比 值大多少，在一定范圍內(nèi)， 可能會大于 ，但由于 的增長會慢于 的增長，因此總存在一個 ，當(dāng) 時，恒有 .探究三：（3）討論交流“直線上升”“對數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”的含義直線上升：增長速度不變，是一個固定的值；對數(shù)增長：增長速度越來越慢，圖象越來越平緩，就像與 軸平行一樣；指數(shù)爆炸：增長速度越來越快，圖象越來越陡，最終就像與 軸垂直一樣.例3.下列函數(shù)在 上隨 的增大而增大且速度最快的是（ ）. A. B. C. D. 例4.函數(shù) 的圖像如圖所示，則 可能是（ ）.課堂小結(jié) 以后會經(jīng)常用到“直線上升”、“指數(shù)爆炸”、“對數(shù)增長”