湖北省二十一所重點中學2023屆高三上學期第一次聯(lián)考數學試題解析

1、2023屆湖北省二十一所重點中學高三第一次聯(lián)考數 學本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、試室號和座位號填寫在答題卡指定位置上，并在相應位置填涂考生號2作答選擇題時，選出每小題答案后，用 2B 鉛筆把答題卡對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案答案不能答在試卷上3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上. 4考生必須保持答題卡的整潔考試結束后，將試卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

2、符合題目要求的.1. 已知集合，則（ ）A. x|B. x|1x3C. 1，2D. 1，2，3【答案】D【解析】【分析】先化簡集合Q，再去求即可解決.【詳解】則故選：D2. 設復數z滿足，復數z所對應的點位于第一象限，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】設，由題可得，即求.【詳解】設，則，由復數z滿足，復數z所對應的點位于第一象限，則，解得，.故選：B.3. 若將整個樣本空間想象成一個11的正方形，任何事件都對應樣本空間的一個子集，且事件發(fā)生的概率對應子集的面積.則如圖所示的涂色部分的面積表示（ ）A. 事件A發(fā)生的概率B. 事件B發(fā)生的概率C. 事件B不發(fā)生條件下事件A

3、發(fā)生的概率D. 事件A、B同時發(fā)生的概率【答案】A【解析】【分析】根據圖示，表示出涂色部分的面積，利用條件概率的概率公式整理化簡，即可求得答案.【詳解】由題意可得，如圖所示的涂色部分的面積為 ,故選：A4. 已知實數， 函數， 滿足， 則的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】設是的兩個零點且，應用根與系數關系求得，進而代換目標式得到以為參數、為自變量的二次函數，由二次函數的性質可得，構造函數并應用導數研究單調性，即可求最大值.【詳解】令是的兩個零點，由題設若，由根與系數關系有：，所以，由且，即，所以，令，則，在上，所以在上遞增，則.綜上，此時，所以時，的最大值.故選

4、：B.【點睛】關鍵點點睛：設零點并注意，由根與系數關系用零點表示m、n，進而轉化為以為自變量的二次函數形式，根據其開口方向及其最值得到不等關系，最后構造函數并應用導數求不等式中關于表達式的值域.5. 在數列中， 已知， 且， 則以下結論成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根據遞推公式可得，得出的通項公式，從而驗證得出答案.【詳解】，則， 若中存在某項，使得，則可得這與條件中相矛盾.所以，將上面兩式相除可得所以數列是公比為的等比數列.則，設，則 所以故選：C6. 橢圓上的點到圓上的點的距離的最大值是（ ）A. 11B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】題意轉化

5、為橢圓上的點到圓的圓心距離的最大值加上1，利用參數法，即可求得結論【詳解】依題意得所求即為橢圓上的點到圓的圓心距離的最大值加上1，設橢圓上的點為，則橢圓上的點到圓的圓心距離為，時，橢圓上的點到圓的圓心距離的最大值為10，橢圓上的點到圓上的點的距離的最大值為11，故選：A7. 恰有一個實數使得成立，則實數的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先分析不是方程的根，故將其轉化為，繼而轉化為與的圖像僅有一個交點，對函數求導研究其單調性即可【詳解】解：當時，不成立，所以不是方程的根，故對原方程轉化為，故轉化為與僅有一個交點，構造，當或時，當時，故函數在單調遞減，在和單調遞

6、增，又，當時，時，且時，時，故要使得與僅有一個交點，即的取值范圍是故選：B8. 已知四面體中，則體積的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設M為CD的中點，連接AM,BM, 設四面體A-BCD的高為h，利用等體積法表示出四面體的體積，利用三個正數的均值不等式即可求得答案.【詳解】設M為CD的中點，連接AM,BM,設四面體A-BCD的高為h，則,由于，故 ,則,設，則,所以，當且僅當平面ACD與平面BCD垂直且即時取等號，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分

7、.9. 已知函數，則下列說法正確的是（ ）A. 是偶函數B. 在（0，+）上單調遞減C. 是周期函數D. -1恒成立【答案】AD【解析】【分析】判定的奇偶性判斷選項A；判定的單調性判斷選項B；判定的周期性判斷選項C；求得的最小值判斷選項D.【詳解】的定義域為R，則為偶函數.故選項A判斷正確；時，恒成立，則為上增函數.故選項B判斷錯誤；選項C判斷錯誤；又為偶函數，則為上減函數又，則最小值為.故選項D判斷正確；故選：AD10. 多選題已知拋物線的焦點為，是拋物線上兩點，則下列結論正確的是（ ）A. 點的坐標為B. 若直線過點，則C. 若，則的最小值為D. 若，則線段的中點到軸的距離為【答案】BCD

8、【解析】【分析】根據拋物線方程的標準形式求出焦點可判斷A；由拋物線的性質可判斷B、C；利用拋物線的焦半徑公式可判斷D.【詳解】易知點的坐標為，選項A錯誤；根據拋物線的性質知，過焦點時，選項B正確；若，則過點，則的最小值即拋物線通徑的長，為，即，選項C正確，拋物線的焦點為，準線方程為，過點，分別作準線的垂線，垂足分別為，所以，所以，所以線段，所以線段的中點到軸的距離為，選項D正確故選：BCD11. 如圖，在棱長為2的正方體中，O為正方體的中心，M為的中點，F(xiàn)為側面正方形內一動點，且滿足平面，則（ ）A. 若P為正方體表面上一點，則滿足的面積為的點有12個B. 動點F的軌跡是一條線段C. 三棱錐的

9、體積是隨點F的運動而變化的D. 若過A，M，三點作正方體的截面，Q為截面上一點，則線段長度的取值范圍為【答案】BD【解析】【分析】選項A：設為底面正方形ABCD的中心，根據的面積為，由此可判斷選項A；選項B：分別取，的中點H，G，連接，；證明平面平面，從而得到點F的軌跡為線段GH.選項C：根據選項B可得出平面，從而得到點F到平面的距離為定值，再結合的面積也為定值，從而可得到三棱錐的體積為定值.選項D：設為的中點，從而根據面面平行的性質定理可得到截面即為面，從而線段長度的最大值為線段的長，最小值為四棱錐以為頂點的高.【詳解】對于A：設為底面正方形ABCD的中心，連接，則，所以的面積為，所以在底面

10、ABCD上點P與點必重合，同理正方形的中心，正方形的中心都滿足題意.又當點P為正方體各條棱的中點時也滿足的面積為，故A不正確；對于B：如圖，分別取，的中點H，G，連接，因為，平面，平面，平面，面，所以平面平面，而平面，所以平面，所以點F的軌跡為線段GH，故B正確；對于C：由選項B可知，點F的軌跡為線段GH，因為平面，則點F到平面的距離為定值，同時的面積也為定值，則三棱錐的體積為定值，故C不正確；對于D：如圖，設平面與平面交于AN，N在上因為截面平面，平面平面，所以同理可證，所以截面為平行四邊形，所以點N為的中點在四棱錐中，側棱最長，且設棱錐的高為h，因為，所以四邊形為菱形，所以的邊上的高為面對

11、角線的一半，即為，又，則，所以，解得綜上，可知長度的取值范圍是，故D正確 故選：BD12. 畫法幾何的創(chuàng)始人法國數學家加斯帕爾蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點位于一個與橢圓同中心的圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，直線，則（ ）A. 直線與蒙日圓相切B. 的蒙日圓的方程為C. 記點到直線的距離為，則的最小值為D. 若矩形的四條邊均與相切，則矩形的面積的最大值為【答案】AC【解析】【分析】分析可得出，求出蒙日圓的方程，可判斷B選項的正誤；利用直線與圓的位置關系可判斷A選項；利用橢圓的定義和點到直線的距離公式可判斷C選項的正誤；

12、分析可知矩形的四個頂點都在蒙日圓上，利用基本不等式可判斷D選項的正誤.【詳解】當兩切線分別與兩坐標軸垂直時，兩切線的方程分別為、，所以，點在蒙日圓上，故蒙日圓的方程為，因為，可得.對于A選項，蒙日圓圓心到直線的距離為，所以，直線與蒙日圓相切，A對；對于B選項，的蒙日圓的方程為，B錯；對于C選項，由橢圓的定義可得，則，所以，因為，直線的方程為，點到直線的距離為，所以，當且僅當時，等號成立，C對；對于D選項，若矩形的四條邊均與相切，則矩形的四個頂點都在蒙日圓上，所以，所以，矩形的面積為，D錯.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知 的最大值為_， 此時_.【答案】

13、 . -2 . 0【解析】【分析】將化為，由條件利用均值不等式可得出答案.【詳解】 當且僅當，即，時等號成立.由，則，所以，解得 由，可得故 故答案為： ；14. 六名考生坐在兩側各有一條通道的同一排座位上應考，考生答完試卷的先后次序不定，且每人答完試卷后立即離開座位走出教室.則其中至少有一人交卷時為到達通道而打擾其他尚在考試的同學的概率為 _.【答案】【解析】【詳解】要不打擾其他尚在考試的同學，必須每次坐其兩旁的同學先離開，即每次有兩種選擇，于是，共有種可能.故所求概率為.15. 如圖，是全等的等腰直角三角形（，處為直角頂點），且，四點共線.若點，分別是邊，上的動點（包含端點）， 則_，的取

14、值范圍為_.【答案】 . . 【解析】【分析】如圖：以為原點，以所在的直線為軸建立平面直角坐標系，求出各點坐標，進而可得直線，的方程，設出，的坐標，結合橫坐標的范圍以及數量積的坐標表示即可求解.【詳解】如圖：以為原點，以所在的直線為軸建立平面直角坐標系，則，直線的方程為：，設，且，直線的方程為：，設，且，直線的方程為：，設，且，所以，所以，故答案為：；.16. 有一個棱長為6的正四面體，其中有一半徑為的球自由運動，正四面體內未被球掃過的體積為 【答案】【解析】【分析】先考慮球運動到四個頂點位置時，由棱錐的體積減去球的體積求出此部分的體積；再考慮球沿著方向運動且始終與二面角相切時，得到未被球掃過

15、空間均為相同的柱體，求出柱體的體積，即可求得正四面體內未被球掃過的體積.【詳解】如圖設正四面體，當球運動到與平面、平面、平面相切時，可得此時球無法繼續(xù)向上運動，設切點分別為，則此時球面與正四面體頂點之間的部分球無法掃過，同理可得正四面體頂點均有相同的空間未被球掃過，作與平面平行且與此時球相切的平面，易得棱錐為正四面體，設棱長為，作平面于，則經過球心，易得，則，則正四面體的體積，表面積，設球半徑為，則，即，解得，作，易得為中點，則，設4個頂點處未被球掃過空間的體積為，球的體積為，可得；當球沿著方向運動且始終與二面角相切時，設球與平面、平面的切點始終為，過的大圓與交于，由垂徑定理知，又，易得，則即

16、為二面角的平面角，易得未被球掃過的部分為柱體，且柱體的底面為扇形與四邊形之間的部分，設中點為，連接，易得，則即為二面角平面角，又，由余弦定理得，則，則，則，則，設扇形與四邊形之間部分面積為，扇形面積為，,則，由上知，又，則柱體的高為，正四面體的六條棱未被球掃過空間均為相同的柱體，設這部分體積為，則，則正四面體內未被球掃過的體積為.故答案為：.【點睛】本題關鍵點在于將正四面體內未被球掃過的空間分為兩部分，第一部分為球運動到四個頂點位置時，球面與正四面體頂點之間的部分；第二部分為當球沿著方向運動且始終與二面角相切時，球面與二面角之間的柱體部分，再由幾何體的體積公式求解即可.四、解答題：本題共6小題

17、，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知的外心為，為線段上的兩點，且恰為中點.（1）證明：（2）若，求的最大值.【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】【分析】（1）設，利用余弦定理求得，再根據，化簡，可求得，同理可求得，即可得證；（2）利用余弦定理求得，再根據結合（1）求得，設，可求得，再根據三角形的面積公式結合基本不等式即可得出答案.【小問1詳解】證明：設，由余弦定理知：，由是外心知， 而，所以，即，而，因此，同理可知，因此，所以；【小問2詳解】解：由（1）知，由余弦定理知：，代入得，設，則，因此，當且僅當時取到等號，因此的最大值為.18. 如圖，在平面五邊形中，是

18、梯形，是等邊三角形.現(xiàn)將沿折起，連接、得如圖的幾何體.（1）若點是的中點，求證：平面；（2）若，在棱上是否存在點，使得二面角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在；.【解析】【分析】（1）取的中點，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可得出結論；（2）取中點，連接、，推導出、兩兩垂直，然后以點為原點，分別以射線、為、軸正半軸建立空間直角坐標系，設，利用空間向量法結合二面角的余弦值為可求得的值，進而可求得的值，由此可得出結論.【詳解】（1）取中點，連接、，則是的中位線，且，且，且，則四邊形是平行四邊形，又平面，平面，平

19、面；（2）取中點，連接、，易得，在中，由已知，.，所以，、兩兩垂直，以為原點，分別以射線、為、軸正半軸建立如圖所示空間直角坐標系，則、，則，假設在棱上存在點滿足題意，設，則，設平面的一個法向量為，則，即，令，得平面的一個法向量，又平面的一個法向量，由已知，整理得，解得（舍去），因此，在棱上存在點，使得二面角的余弦值為，且.【點睛】本題考查線面平行的證明，同時也考查了利用二面角的余弦值解決動點問題，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.19. 已知數列前項和為，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由整理可得；進而得到是首項為3，公比為3

20、的等比數列，即可求出其通項，從而求得結論；（2）利用第一問的結論，求得數列的通項，再結合錯位相減法即可求得結論【詳解】解：（1）由題知，即，即，數列是首項為3，公比為3的等比數列，；（2）由（1）知， ， 得，.【點睛】數列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數列、與二項式系數、對稱性相關聯(lián)的數列的求和(2)錯位相減：用于等差數列與等比數列的積數列的求和(3)分組求和：用于若干個等差或等比數列的和或差數列的求和20. 微信小程序“黨史知識競賽”中的“答題競賽”版塊有個“雙人競賽”欄目，可滿足兩人通過回答多個問題的形式進行競賽.甲，乙兩單位在聯(lián)合開展黨史學習教育特色實踐活動中通過此欄目進行比賽

21、，比賽規(guī)則是：每一輪比賽中每個單位派出一人代表其所在單位答題，兩單位都全部答對或者都沒有全部答對則均記0分；一單位全部答對而另一單位沒有全部答對，則全部答對的單位記1分，沒有全部答對的單位記-1分.設每輪比賽中甲單位全部答對的概率為，乙單位全部答對的概率為，甲，乙兩單位答題相互獨立，且每輪比賽互不影響.（1）經過1輪比賽，設甲單位記分為X，求X的分布列和期望；（2）若比賽采取3輪制，試計算第3輪比賽后甲單位累計得分低于乙單位累計得分的概率.【答案】（1）分布列答案見解析，數學期望： （2）【解析】【分析】（1）理解題意，列出隨機變量X所有可能的取值，然后相互獨立事件的性質求解即可.（2）通過列舉法列出3輪比賽后甲單位累計得分低于乙單位累計得分的所有情況，然后利用小問（1）中所得的結果進行計算.【小問1詳解】由題意X的取值可能為，0，1，則，那么X的分布列為：X01P.【小問2詳解】第3輪比賽后，甲單位累計得分低于乙單位的3輪計分有四種情況（不按先后順序）：；，所以.21. 如圖，已知圓，點，以線段為直徑的圓內切于圓O，點的集合記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知直線，過點的直線與交于兩點，與直線交于點，記的斜率分別為