蘇教版必修一24函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案含答案解析

1、的正負(fù)）；在給定的區(qū)間 D 上的單調(diào)性）2.4一、考點(diǎn)突破1. 如何求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2. 利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值函數(shù)的單調(diào)性X 圍。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)： 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。難點(diǎn)：1.從數(shù)、形兩種角度理解函數(shù)的單調(diào)性與最值；2.帶參函數(shù)的最值問題，如何對參數(shù)進(jìn)行討論。函數(shù)的單調(diào)性增函數(shù) 減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù) f （x）的定義域?yàn)?I，如果對于定義域 I 內(nèi)某個 區(qū)間 上的任意兩個自變量 x1， x2當(dāng) x1x2 時 ， 都 有 當(dāng) x1x2 時 ， 都 有f （x1） f （x2 ），那么就說函數(shù)f （x）在區(qū)間 D 上是增函數(shù)。 f （x）在區(qū)間 D 上是減函數(shù)。圖象描述自左向右

2、看圖象是 上升的 自左向右看圖象是 下降的1. 如果函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)遞增函數(shù)或單調(diào)遞減函數(shù)注意（兩者只能居其一） ， 那么就說函數(shù) 在區(qū)間 上具有單調(diào)性 。2. 在單調(diào)區(qū)間上， 增函數(shù) 的圖象是 上升的， 減函數(shù) 的圖象是 下降的。3. 函數(shù)單調(diào)性是針對 某個區(qū)間 而言的，是一個局部性質(zhì)?！痉椒ㄌ釤挕颗袛嗪瘮?shù) 單調(diào)性的基本方法定義法設(shè)元，任取 ，且 ；作差 ；變形（通常是因式分解和配方） ；定號（即判斷差下結(jié)論。 （即指出函數(shù)示例 已知 a0， 函數(shù) f （x） x （x0）， 證明函數(shù) f （x）在（ 0， a）1 / 11上是減函數(shù)，在（ a， ）上是增函數(shù)。用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的

3、步思路分析： 可利用定義法討論函數(shù)的單調(diào)性0 x1x2，驟：取值 作差 變形 確定符號 下結(jié)論。答案： 證明：設(shè) x1， x2 是任意兩個正數(shù)，且則 f （x1 ） f （x2 ）x （x1x2 a）。當(dāng) 0 x1x2 a時， 0 x1x2a，又 x1 x20， ，即 ，函數(shù) 在（ 0， a）上是減函數(shù)。當(dāng) ax1 a，又 x1 x20，f （x1 ） f （x2） 0，即 f （x1） f （x2），函數(shù) f （x）在（ a， ）上是增函數(shù)。ax 1例題 1 若函數(shù) f （x） x 1 在（ ， 1 ）上是減函數(shù)， XX 數(shù) a 的取值X 圍。思路分析： 利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值 X 圍

4、時，關(guān)鍵是要把參數(shù)看作已知數(shù)， 依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義， 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再與已知單調(diào)區(qū)間比較求參。答案： 解： f （x） a ，設(shè)任意 x1x20，由于 x1 x2 1，所以 x1 x20， x1 10， x2 10，所以 a10，即 a 1。故實(shí)數(shù) a 的取值 X 圍是（ ， 1 ）。技巧點(diǎn)撥： 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的值或 X 圍時， 可以通過解不等式或轉(zhuǎn) 化為不等式恒成立問題求解；需注意的是，若函數(shù)在區(qū)間 a， b 上是單調(diào)的，則 該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的。設(shè) 的 定 義 域恒 有例 題 2對 于 任 意 正 實(shí) 數(shù)，且當(dāng) 時，的值；（1）求2 / 11（2）求證：

5、 在 上是增函數(shù)。思路分析： （1）求特殊點(diǎn)處的函數(shù)值可利用靈活賦值的方法解決。 先求出的值，然后再利用 2 與 互為倒數(shù)及 求出 的值。（2）由 推出 是解題的關(guān)鍵。答案： （1）解：令 ，代入到 中，解得令 ，代入到 中，又，。（2）證據(jù)：任意取 ，且 ，則：，又 當(dāng) 時 ， ，即， 在 上是增函數(shù)。技巧點(diǎn)撥： 對于抽象函數(shù)（未給出具體解析式的函數(shù)）的求值問題，需要根 據(jù)題目給出的已知條件進(jìn)行靈活賦值， 求出需要求的函數(shù)值； 抽象函數(shù)單調(diào)性的 證明仍然采用單調(diào)性的定義以及結(jié)合題目已知來進(jìn)行?！揪C合拓展】巧用函數(shù)單調(diào)性解不等式解函數(shù)不等式問題的一般步驟：確定函數(shù) f （x）在給定區(qū)間上的單調(diào)

6、性；將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為 f （M） f （N）的形式；運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性“去掉”函數(shù)的抽象符號“ f”，轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不等式組；解不等式或不等式組確定解集；【滿分訓(xùn)練】 已知函數(shù) 若 XX數(shù) 的取值 X 圍。思路分析： 畫出函數(shù) 的圖象，結(jié)合圖象可看出函數(shù) 的單調(diào)性，再3 / 11利用單調(diào)性將不等式給去掉， 形成關(guān)于 的不等式。答案： 解：畫出函數(shù)中的 “殼”的圖象如下：由函數(shù)圖象可知， 在 上單調(diào)遞增，所以 等價(jià)轉(zhuǎn)化為， 解得 。技巧點(diǎn)撥： 利用函數(shù)單調(diào)性解不等式的關(guān)鍵 ： 準(zhǔn)確判斷出函數(shù)單調(diào)性， 成功 去掉 這層外殼， 把關(guān)于因變量之間的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量之間的不等關(guān) 系。然后，

7、解關(guān)于 的簡單不等式。4 / 11課堂練習(xí)（答題時間： 30 分鐘）一、填空題1. 函數(shù)2. 設(shè)函數(shù)的最小值是。_的解集為 _。則不等式3. 已知函數(shù) （ ）（1）若 ，則 的定義域是 _；（2）若 在區(qū)間 上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù) 的取值 X 圍是_。4. 已知函數(shù) 若關(guān)于 的方程 有兩個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù) 的取值 X 圍是 _。5. 設(shè) ，若 時均有 0，則 _6. 若關(guān)于 的方程 有四個不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù) 的取值 X 圍是。_7. （1）二次函數(shù) 在 上是增函數(shù)，則 的取值 X圍是 _；（2）已知函數(shù) ，若 ，則實(shí)數(shù) 的取值 X 圍是。_8. 若不等式 對任意實(shí)數(shù) 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值X

8、圍是_。二、解答題9. 設(shè) 是定義在 R 上的函數(shù)，對 、 恒有 ，且當(dāng) 時， 。（1）求證： ；（2）證明： 時恒有 ；（3）求證： 在 R 上是減函數(shù)；（4）若 ，求 的取值 X 圍。1. 2 解析：畫出 的圖象如下：5 / 11由圖可知，解析：畫出分段函數(shù)的最小值是 2。2.的圖象如下：的解集。而 ，觀察圖象可知滿足3. （1） ；（2），。解析： （1）要使得函數(shù) 有意義，則又 ， ，定義域?yàn)椋?）令 ， ，數(shù) 得 ：， 即由 在 區(qū) 間 上 是 減 函當(dāng) 時， ， ， ， ， ， ，即 ，符合題意。當(dāng) 時 為常數(shù)，不符合題意。當(dāng) 時， ， ，6 / 11，時，不符合題意。，即，當(dāng)，符

9、合題意。，即當(dāng) 時， ，不一定所有的 有意義，不符合題意。 綜上所述，實(shí)數(shù) 的取值 X 圍為 。4. （0， 1）解析：畫出分段函數(shù) 的圖象如下：是一條平行于 軸的直線。要使得關(guān)于 的方程 有兩個不同的實(shí)根，就要使得 與 的函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)。由圖可知， 。5.解析：令 ，要使得 0，則 與 在同一點(diǎn)處的函數(shù)值同號 ，或同時為 0。且 與 的零點(diǎn)相同又 時， ， 時， ，7 / 11令 即畫出符合題意的函數(shù)圖象如下：，兩邊同時乘以 ，化簡整理得：，又，。）6. （解析：觀察方程 可知有一個解為 ，所以關(guān)于 的方程 有四個不同的實(shí)數(shù)解等價(jià)于有三個不同的非零實(shí)數(shù)解。由 得令，則 與 的圖象有三個交點(diǎn)。畫出符合條件的 與 的圖象如下圖：8 / 11由圖可知：， 。7. （1） ； （2）解析： （1）畫出符合題意的 的圖象如下圖：由圖可知：二次函數(shù) 的對稱軸直線方程為 ，。又，。（2）畫出 的圖象如下圖：，又9 / 11，。解得：8.解析：令，令分別畫出， 的函數(shù)圖象如下：要使得 對任意實(shí)數(shù) 恒成立，只須使 小于或等于 的最小值即可。由圖可知， ，。解得：9. （1）證明：