2022年不等式的各類題型歸納總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備 歡迎下載不等式不等式的解法一、學(xué)問(wèn)導(dǎo)學(xué)1. 一元一次不等式 1 當(dāng) a0 時(shí),解為2 當(dāng) a0 時(shí),解為axbxb；axb；a3 當(dāng) a0,b 0 時(shí)無(wú)解；當(dāng)a0,b0 時(shí),解為 R2. 一元二次不等式： 如下表 其中 a0,x1,x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0 的兩實(shí)根,且x1x 2類型ax2+bx+c0 ax2+bx+c0ax2+bx+c0 ax2+bx+c0解集 0 x xx1或 xx2 x xx1或 xx2 x x 1xx 2x x1xx 2 0 x x -b,R xx=-b2a2axR 0 R R 3. 簡(jiǎn)潔的一元高次不等式：可用區(qū)間法或稱根軸法 求解,其步驟是：

2、將 fx 的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)；將 fx 分解為如干個(gè)一次因式的積；將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上,從右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫(huà)曲線；依據(jù)曲線顯示出的 fx 值的符號(hào)變化規(guī)律,寫(xiě)出不等式的解集 .4. 分式不等式：先整理成 f x 0 或 f x 0 的形式,轉(zhuǎn)化為整式不等式求解,即：g x g x f x 0 fx gx 0g x f x 0f x 0 g x 0 或 f x g x 0g x 然后用“ 根軸法” 或化為不等式組求解 .二、疑難學(xué)問(wèn)導(dǎo)析1. 不等式解法的基本思路解不等式的過(guò)程,實(shí)質(zhì)上是同解不等式逐步代換化簡(jiǎn)原不等式的過(guò)程,因而保持同解變形就成為解不等式應(yīng)遵循的主要原就,實(shí)際上

3、高中階段所解的不等式最終都要轉(zhuǎn)化為一元一次不等式或一元二次不等式,所以等價(jià)轉(zhuǎn)化是解不等式的主要思路 . 代數(shù)化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路. 為此,一要能嫻熟精確地解一元- - - - - - - - - - - - - 一次不等式和一元二次不等式,二要保證每步轉(zhuǎn)化都要是等價(jià)變形.精品pdf 資料 可編輯資料 第 1 頁(yè),共 24 頁(yè)- - - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備 歡迎下載2. 不等式組的解集是本組各不等式解集的交集,所以在解不等式組時(shí),先要解出本組內(nèi)各不等式的解集,然后取其交集,在取交集時(shí),肯定要利用數(shù)軸,將本組內(nèi)各不等式的解集在同一數(shù)軸上

4、表示出來(lái),留意同一不等式解的示意線要一樣高,不要將一個(gè)不等式解集的兩個(gè)或幾個(gè)區(qū)間誤看成是兩個(gè)或幾個(gè)不等式的解集 .3. 集合的思想和方法在解不等式問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用,其難點(diǎn)是區(qū)分何時(shí)取交集,何時(shí)取并集 . 解不等式的另一個(gè)難點(diǎn)是含字母系數(shù)的不等式求解留意分類 .三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 例 1 假如 kx 2+2kx k+20 恒成立,就實(shí)數(shù) k 的取值范疇是 .A. 1k0 B. 1k0 C. 1k0 D. 1k0k 0錯(cuò)解 ：由題意：2 2 k 4 k k 2 0解得： 1k0錯(cuò)因 ：將 kx 2+2kxk+20 看成了肯定是一元二次不等式,忽視了 k0 的情形 .正解 ：當(dāng) k0 時(shí),原不等式等

5、價(jià)于20,明顯恒成立, k 0 符合題意 .k 0當(dāng) k 0 時(shí),由題意：2 2 k 4 k k 2 0解得： 1k4 應(yīng)選 D.錯(cuò)因 ：忽視了 a 4 時(shí), x| 2x4 x| 2 x a ,此時(shí) A 是 B的充要條件,不是充分不必要條件 .正解 ：由 x1 3 得： 2 x4,又由（ x2）x a=0 得 x=2 或 x a,A是 B的充分不必要條件 , x| 2x4 x| 2x a a4 應(yīng)選 C.- - - - - - - - - - - - - 例 3 已知 fx = ax + x b,如3f10,3f2,6求f3 的范疇 .精品pdf 資料 可編輯資料 第 2 頁(yè),共 24 頁(yè)-

6、- - - - - - - - - - - - -3ab0學(xué)習(xí)必備歡迎下載錯(cuò)解：由條件得3 2 a b2 6 2 6 a 15 2得 8 b 2 3 3 3 + 得 103 a b 43, 即 10f 3 43 .3 3 3 3 3錯(cuò)因： 采納這種解法,忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿意條件的函數(shù) f x ax x,其值是b同時(shí)受 a和 b 制約的 . 當(dāng) a 取最大（小）值時(shí),b 不肯定取最大（?。┲?因而整個(gè)解題思路是錯(cuò)誤的 .f 1ab3 37 3.正解：由題意有f2 2 ab,2解得：a12f2f1 ,b22f1f2,33f3 3ab16f25f 1 .把f1 和f2 的范疇代入得16f39

7、93 例 4 解不等式（ x+2）2x+3x200 ,錯(cuò)解 ：（x+2）20原不等式可化為：x+3x 20原不等式的解集為x| x3 或 x2 錯(cuò)因 : 忽視了“” 的含義,機(jī)械的將等式的運(yùn)算性質(zhì)套用到不等式運(yùn)算中.正解 ：原不等式可化為：（x+2）2x+3x 20 或（ x+2）2x+3x 2解得： x= 3 或 x 2 或 x2解得： x 3 或 x2- - - - - - - - - - - - - 原不等式的解集為x| x3 或 x2 或 x2 xR 例 5解關(guān)于 x 的不等式axabb xab解：將原不等式綻開(kāi),整理得：abxababb0 時(shí)abab 爭(zhēng)論：當(dāng)ab時(shí),xab當(dāng)ab時(shí),

8、如ab0 時(shí) x；如a精品pdf 資料 可編輯資料 第 3 頁(yè),共 24 頁(yè)- - - - - - - - - - - - - -當(dāng)ab時(shí),xabab學(xué)習(xí)必備歡迎下載ba點(diǎn)評(píng)： 在解一次不等式時(shí),要爭(zhēng)論一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào) . 例 6 關(guān)于 x 的不等式 ax 2bx c 0 的解集為 x | x 2 或 x 12求關(guān)于 x 的不等式 ax 2bx c 0 的解集解：由題設(shè)知 a 0,且 x 2 x 1是方程 ax 2bx c 0 的兩根2b 5,c 1a 2 a從而 ax 2bx c 0 可以變形為 x 2 bx c0a a即：x 2 5x 1 01x 22 2點(diǎn)評(píng)：二次不等式的解集與二次方程的

9、根之間的聯(lián)系是解此題的關(guān)健,這也表達(dá)了方程思想在解題中的簡(jiǎn)潔應(yīng)用 . 例 7 不等式 log 2 x 1 6 3 的解集為xx 1 2解：log 2 x 1 6 3, 0 x 16 8,xx x x 1 6 0 xx 0 , 或 x 13 2 2 x 3 2 2 或 x 0解得 x 3 2 2, 3 2 2 1反思 ：在數(shù)的比較大小過(guò)程中 ,要遵循這樣的規(guī)律 ,異中求同即先將這些數(shù)的部分因式化成相同的部分 ,再去比較它們剩余部分 ,就會(huì)很輕易啦 .一般在數(shù)的比較大小中有如下幾種方法：1作差比較法和作商比較法,前者和零比較 ,后者和 1 比較大小； 2找中間量 ,往往是 1,在這些數(shù)中,有的比

10、1 大,有的比 1 小； ,3運(yùn)算全部數(shù)的值；4選用數(shù)形結(jié)合的方法,畫(huà)出相應(yīng)的圖形；5利用函數(shù)的單調(diào)性等等.四、典型習(xí)題導(dǎo)練- - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè),共 24 頁(yè)精品pdf 資料 可編輯資料 - - - - - - - - - - - - - -1. 解不等式x23x20學(xué)習(xí)必備歡迎下載x22x32. 解不等式x33x22x6002x23. 解不等式x24x5x24. 解不等式x2 2x1 3x1 xk15. 解不等式161x1x2x22kx6. k 為何值時(shí),下式恒成立：4x26x37. 解不等式3x4x308. 解不等式2 x26x4x2 5.2 簡(jiǎn)潔

11、的線性規(guī)劃一、學(xué)問(wèn)導(dǎo)學(xué)1. 目標(biāo)函數(shù) : 是一個(gè)含有兩個(gè)變量 和的 函數(shù),稱為目標(biāo)函數(shù)2. 可行域 : 約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域 .3. 整點(diǎn) : 坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)4. 線性規(guī)劃問(wèn)題 : 求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題,通常稱為線性規(guī)劃問(wèn)題只含有兩個(gè)變量的簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃問(wèn)題可用圖解法來(lái)解決5. 整數(shù)線性規(guī)劃 : 要求量取整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃二、疑難學(xué)問(wèn)導(dǎo)析線性規(guī)劃是一門(mén)爭(zhēng)論如何使用最少的人力、物力和財(cái)力去最優(yōu)地完成科學(xué)爭(zhēng)論、工業(yè)設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)治理中實(shí)際問(wèn)題的特地學(xué)科 . 主要在以下兩類問(wèn)題中得到應(yīng)用：一是在人力、 物力、財(cái)務(wù)等資源肯定的條件下,如何使用

12、它們來(lái)完成最多的任務(wù)；二是給一項(xiàng)任務(wù),如何合理安排和規(guī)劃,能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任務(wù) .1. 對(duì)于不含邊界的區(qū)域,要將邊界畫(huà)成虛線2. 確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有多種方法,常用的一種方法是“ 選點(diǎn)法” ：任選一個(gè)不在直線上的點(diǎn),檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿意所給的不等式,如適合, 就該點(diǎn)所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域；否就, 直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域如 直 線 不 過(guò)原點(diǎn),通 常 選 擇 原 點(diǎn) 代入檢驗(yàn)3. 平 移 直 線 k 時(shí),直線必需經(jīng)過(guò)可行域4. 對(duì)于有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題,可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個(gè)凸多邊形區(qū)域,此時(shí)變動(dòng)直線的正確位置一般通過(guò)這

13、個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)- - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè),共 24 頁(yè)精品pdf 資料 可編輯資料 - - - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備 歡迎下載5. 簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃問(wèn)題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解,無(wú)論此類題目是以什么實(shí)際問(wèn)題提出,其求解的格式與步驟是不變的：數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；解. 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講xy10（1）查找線性約束條件,線性目標(biāo)函（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu) 例 1畫(huà)出不等式組2x3y60表示的平面區(qū)域. xy10 x2y20 xy10錯(cuò)解 ：如圖（ 1）所示陰影部分即為不等式組2x3

14、y60表示的平面區(qū)域. xy100 x2y2錯(cuò)因 一是實(shí)虛線不清,二是部分不等式所表示的平面區(qū)域弄錯(cuò)了0. . xy10表示的平面區(qū)域正解 ：如圖（ 2）所示陰影部分即為不等式組2x3y6xy100 x2y2 例 2已知 1xy2, 且 2x+y4, 求 4x2y 的范疇 . 錯(cuò)解 ：由于1x y2 , 2x+y4 , + 得 32x6 1+ 得： 02y3 . 2+ 1 得. 34x2y12 錯(cuò)因： 可行域范疇擴(kuò)大了. 正解 ：線性約束條件是：1x-y22xy4令 z4x2y,畫(huà)出可行域如右圖所示,由x-y1得 A 點(diǎn)坐標(biāo)（1.5 ,0.5 ）此時(shí) z4 1.5xy22 0.5 5. - -

15、 - - - - - - - - - - - 由x-y2得 B 點(diǎn)坐標(biāo)（ 3,1）此時(shí) z4 32xy4精品pdf 資料 可編輯資料 第 6 頁(yè),共 24 頁(yè)- - - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備 歡迎下載110. - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè),共 24 頁(yè)54x2y10 例 3已知7x5y2300, 求 x2+y 2 的最值 . x7y114xy1007x5y230錯(cuò)解 ：不等式組x7y110表示的平面區(qū)域如右圖所示ABC的內(nèi)部（包括邊界） ,4xy100令 z= x2+y2由7x5y230得 A點(diǎn)坐標(biāo)（ 4, 1）,4xy100此時(shí)

16、 z x2+y242+1 2 17,由7x5y230得 B點(diǎn)坐標(biāo)（ 1, 6）,4xy100此時(shí) z x2+y2（ 1）2+ 6237,由xx7y110得 C點(diǎn)坐標(biāo)（ 3,2）,4y100此時(shí) z x2+y2（ 3）2+2 213,當(dāng)x1時(shí) x2+y2取得最大值37,當(dāng)x3時(shí) x2+y2取得最小值13. y6y2錯(cuò)因 ：誤將求可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方的最值誤認(rèn)為是求三點(diǎn)A、B、C到原點(diǎn)的距離的平方的最值. 7x5y230正解：不等式組x7y110表示的平面區(qū)域如下列圖ABC的內(nèi)部（包括邊界） ,4xy100令 z= x2+y2, 就 z 即為點(diǎn)（ x,y）到原點(diǎn)的距離的平方. 由7x5y

17、230得 A點(diǎn)坐標(biāo)（ 4, 1）,4xy100此時(shí) z x2+y242+1 2 17,由7x5y230得 B點(diǎn)坐標(biāo)（ 1, 6）,4xy100此時(shí) z x2+y2（ 1）2+ 6237,由xx7y110得 C點(diǎn)坐標(biāo)（ 3,2）,4y100此時(shí) z x2+y2（ 3）2+2 213,而在原點(diǎn)處,x0,此時(shí) zx2+y20 2+0 20,y0當(dāng)x1時(shí) x2+y2取得最大值37,當(dāng)x0時(shí) x2+y2取得最小值0. y6y0精品pdf 資料 可編輯資料 - - - - - - - - - - - - - - 例 4 某家具廠有方木料學(xué)習(xí)必備歡迎下載. 已知生產(chǎn)每張90m 3,五合板600m 2,預(yù)備加

18、工成書(shū)桌和書(shū)櫥出售書(shū)桌需要方木料 0.1m 3,五合板 2m 2,生產(chǎn)每個(gè)書(shū)櫥需要方木料 0.2m 3,五合板 1m 2,出售一張書(shū)桌可獲利潤(rùn) 80 元,出售一個(gè)書(shū)櫥可獲利潤(rùn) 120 元. 假如只支配生產(chǎn)書(shū)桌,可獲利潤(rùn)多少？假如只支配生產(chǎn)書(shū)櫥,可獲利潤(rùn)多少？怎樣支配生產(chǎn)可使得利潤(rùn)最大？分析 ： 數(shù)據(jù)分析列表書(shū)桌書(shū)櫥資源限制x0.2y90木料（ m 3）0 1 02 90 五合板（ m 2）2 1 600 利潤(rùn)（元 / 張）80 120 方案生產(chǎn)（張）x y 0 .1 x設(shè)生產(chǎn)書(shū)桌x 張,書(shū)櫥 y 張,利潤(rùn) z 元,就約束條件為2xy600NyN目標(biāo)函數(shù) z=80 x+120y 作出上可行域：作

19、出一組平行直線2x+3y=t, 此直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（100,400）2x+y-600=0 A100,400 x+2y-900=0 2x+3y=0 時(shí),即合理支配生產(chǎn),生產(chǎn)書(shū)桌100 張,書(shū)櫥 400 張,有最大利潤(rùn)為 zmax=80 100+400 120=56000 元 如只生產(chǎn)書(shū)桌,得0 x300,即最多生產(chǎn)300 張書(shū)桌,利潤(rùn)為 z=80 300=24000（元）如只生產(chǎn)書(shū)櫥,得0,先假設(shè),由題設(shè)及其它性質(zhì),推出沖突,從而確定. 凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“ 至多” 、“ 至少” 、“ 不存在” 、“ 不可能” 等詞語(yǔ)時(shí),可以考慮用反證法. 精品pdf 資料 可編輯資料

20、 - - - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備 歡迎下載5. 換元法： 換元法是對(duì)一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,變量較多, 變量之間的關(guān)系不甚明白的不等式可引入一個(gè)或多個(gè)變量進(jìn)行代換,以便簡(jiǎn)化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通,給證明帶來(lái)新的啟發(fā)和方法 . 主要有兩種換元形式.1 三角代換法：多用于條件不等式的證明,當(dāng)所給條件較復(fù)雜, 一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示,這時(shí)可考慮三角代換,將兩個(gè)變量都有同一個(gè)參數(shù)表示 . 此法假如運(yùn)用恰當(dāng),可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系,將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題； 2 增量換元法：在對(duì)稱式 任意交換兩個(gè)字母,代數(shù)式不變 和給定字母次序 如 等 的不等式, 考慮用增

21、量法進(jìn)行換元,其目的是通過(guò)換元達(dá)到減元,使問(wèn)題化難為易,化繁為簡(jiǎn) . 如 + =1,可以用 =1- , =或 =1/2+ , =1/2- 進(jìn)行換元 . 二、疑難學(xué)問(wèn)導(dǎo)析1. 在用商值比較法證明不等式時(shí),要留意分母的正、負(fù)號(hào),以確定不等號(hào)的方向 . 2. 分析法與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面,前者執(zhí)果索因, 利于摸索, 由于它方向明確,思路自然,易于把握；后者是由因?qū)Ч?宜于表述,由于它條理清晰,形式簡(jiǎn)潔,適合人們 的思維習(xí)慣 . 但是,用分析法探求證明不等式,只是一種重要的探求方式,而不是一種好的 書(shū)寫(xiě)形式,由于它表達(dá)較繁,假如把“ 只需證明” 等字眼不寫(xiě),就成了錯(cuò)誤 . 而用綜合法書(shū)寫(xiě)的形式,

22、它掩蓋了分析、探究的過(guò)程. 因而證明不等式時(shí),分析法、綜合法常常是不能分離的 . 假如使用綜合法證明不等式,難以入手常常用分析法探究證題的途徑,之后用綜合法形式寫(xiě)出它的證明過(guò)程,以適應(yīng)人們習(xí)慣的思維規(guī)律 分析,一邊綜合,實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題的目的. 仍有的不等式證明難度較大,需一邊 . 這充分說(shuō)明分析與綜合之間互為前提、相互滲透、相互轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系 . 分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn),綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn) . 3. 分析法證明過(guò)程中的每一步不肯定“ 步步可逆” ,也沒(méi)有必要要求“ 步步可逆” ,因?yàn)檫@時(shí)僅需查找充分條件,而不是充要條件. 假如非要“ 步步可逆” ,就限制了分析法解

23、決問(wèn)題的范疇,使得分析法只能使用于證明等價(jià)命題了 . 用分析法證明問(wèn)題時(shí),肯定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩?要證” 、“ 只需證” 、“ 即證” 、“ 也即證” 等詞語(yǔ) . 4. 反證法證明不等式時(shí),必需要將命題結(jié)論的反面的各種情形一一加以導(dǎo)出沖突 . 5. 在三角換元中,由于已知條件的限制作用,可能對(duì)引入的角有肯定的限制,應(yīng)引起高度重視,否就可能會(huì)顯現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果 應(yīng)用 . 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講. 這是換元法的重點(diǎn),也是難點(diǎn),且要留意整體思想的 例 1 已知 abab0, 比較1 與 a1 的大小 . b錯(cuò)解 ： abab0 ,1 bab0 ,bba0,1 b0 或 ba0,b a0,b0, a1 a1 . b

24、）11 例 2當(dāng) a、b 為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)時(shí),以下各式中最小的是（A.a2bB.abC.a22b2D.a12精品pdf 資料 可編輯資料 第 11 頁(yè),共 24 頁(yè)- - - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備 歡迎下載錯(cuò)解 ：所以選 B. 2 2錯(cuò)因是由于在 a b、ab 、a b 中很簡(jiǎn)潔確定 ab 最小,所以易誤選 B. 而事2 2實(shí)上三者中最小者,并不肯定是四者中最小者,要得到正確的結(jié)論,就需要全面比較,不行1 1遺漏 a b 1與前三者的大小比較 . 2正解 ：由均值不等式 a b ab 及 a 2+b 22ab, 可知選項(xiàng) A、B、C中,ab 最小,而21 1

25、a b 12 ab,由當(dāng) a b 時(shí),a+b2 ab , 兩端同乘以 ab ,可得（ a+b）ab2 a b2ab, 2 abab ,因此選 D. a b1 1 例 3 已知： a0 , b0 , a+b=1, 求a+ a 2+b+ b 2的最小值 . 錯(cuò)解 : a+ 1 2+b+ 1 2=a 2+b 2+ 12 + 12 +4 2ab+ 2 +44 ab 1+4=8, a b a b ab aba+ 1 2+b+ 1 2的最小值是 8. a b錯(cuò)因：上面的解答中, 兩次用到了基本不等式 a 2+b 22ab,第一次等號(hào)成立的條件是 a=b= 1 ,2其次次等號(hào)成立的條件是 ab= 1 ,明顯

26、,這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的 . 因此, 8 不是ab最小值 . - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁(yè),共 24 頁(yè)正解： 原式 = a2+b 2+1+1+4= a2+b 2+1+1+4=a+b22ab+1 + a1 b22 +4 aba2b2a2b2= 1 2ab1+a12+4 ,2b由 aba2b2=1得： 12ab11 = 21 , 且 2a1216,1+a1217,42b2b原式1 17+4= 225 當(dāng)且僅當(dāng) a=b= 21 時(shí),等號(hào)成立 ,2a + 1 a2 + b + 1 b2的最小值是25 2 . 例 4已知 0 x 1, 0 a 1 ,試比較|lo

27、ga1x|和|loga 1x|的大小 . 解法一 ：|loga1x 2 |loga1x 2 |loga1x loga1xloga1x loga1x loga 1x2loga1x1x0 1 x 2 1, 01x1loga 1x2loga1x01x1x精品pdf 資料 可編輯資料 - - - - - - - - - - - - - -|loga 1x|log學(xué)習(xí)必備|歡迎下載a 1x 解法二 ：loga1x log1x 1x log1x1x log 1x11xxlog1x1xloga1x 1x21log1x1x200 1 x 2 1, log1x1x21log1x1x21|loga 1x |log

28、a 1|解法三 ： 0 x 1, 0 1 x 1, 1 1 + x 2, xyac + bdloga 1x0 ,loga 1x 0左右 = loga1xloga 1xloga 1x20 1 x 2 1, 且 0 a 0 ,求證：x1x115x2x證：構(gòu)造函數(shù)fx x1x0 就x12, 設(shè) 2xx精品pdf 資料 可編輯資料 第 13 頁(yè),共 24 頁(yè)- - - - - - - - - - - - - -由ff學(xué)習(xí)必備歡迎下載11111明顯2 0, f 1 0, 0 上式 0 f x在2,上單調(diào)遞增,左邊2 52四、典型習(xí)題導(dǎo)練1. 比較（ a+3） a5 與（ a+2）（a-4 ）的大小 .

29、2. 已知 a, b, c, d 都是正數(shù),求證：abcdacbd4abcd13223. 已知 x 0 , y 0 , 2x + y = 1 ,求證：1xy4. 如x2y21,求證：|x22xyy2|21 5. 如 x 1 ,y 1 ,求證：xy1x1 y6證明：如a 0 ,就a212a12a2a 5.4 不等式的應(yīng)用一、基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)導(dǎo)學(xué)1. 利用均值不等式求最值：假如 a1,a2R +,那么 a b ab .22. 求函數(shù)定義域、值域、方程的有解性、 判定函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,確定參數(shù)的取值范疇等. 這些問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組,或證明不等式 . 3. 涉及不等式學(xué)問(wèn)解決的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,

30、這些問(wèn)題大體分為兩類：一是建立不等式解不等式；二是建立函數(shù)式求最大值或最小值 . 二、疑難學(xué)問(wèn)導(dǎo)析不等式既屬數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)問(wèn),又是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具,在解決函數(shù)定義域、 值域、單調(diào)性、恒成立問(wèn)題、方程根的分布、參數(shù)范疇的確定、曲線位置關(guān)系的爭(zhēng)論、解析幾何、立體幾何中的最值等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用,用題問(wèn)世,其特點(diǎn)是：特殊是近幾年來(lái), 高考試題帶動(dòng)了一大批實(shí)際應(yīng)1問(wèn)題的背景是人們關(guān)懷的社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題,如“ 物價(jià)、 稅收、 銷售收入、 市場(chǎng)信息”等,題目往往篇幅較長(zhǎng). 2函數(shù)模型除了常見(jiàn)的“ 正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)” 等標(biāo)準(zhǔn)形式外,

31、又顯現(xiàn)了以“ 函數(shù)- - - - - - - - - - - - - yaxb,yax2. b,ykabx cax dbx ”xx為模型的新的形式精品pdf 資料 可編輯資料 三經(jīng)典例題導(dǎo)講 第 14 頁(yè),共 24 頁(yè)- - - - - - - - - - - - - - 例 1 求 y=x25的最小值 . 學(xué)習(xí)必備歡迎下載x242錯(cuò)解 ： y= x2 5x 24 2 12 x 24 2 12 x 4 x 4 x 4y 的最小值為 2. 錯(cuò)因 ：等號(hào)取不到,利用均值定理求最值時(shí)“ 正、定、等” 這三個(gè)條件缺一不行 . 正解 ：令 t= x 2 4 , 就 t 2 , 于是 y= t 1 t 2

32、 t由于當(dāng) t 1時(shí), y= t 1是遞增的,故當(dāng) t 2 即 x=0 時(shí), y 取最小值 5 . t 2 例 2 m為何值時(shí),方程 x 2+2m+1x+m 23=0 有兩個(gè)正根 . 2 m 1 0錯(cuò)解 ：由根與系數(shù)的關(guān)系得 2 m 3,因此當(dāng) m 3 時(shí),原方程有兩個(gè)m 3 0正根 . 錯(cuò)因 ：忽視了一元二次方程有實(shí)根的條件,即判別式大于等于 0. 13m 2 m 1 2 4 m 2 3 0 4正解：由題意：2 m 1 0 m 12 2m 3 0 m 3 或 m 313 m ,3 因此當(dāng) 13 m 3 時(shí),原方程有兩個(gè)正根 . 4 4 例 3 如正數(shù) x,y 滿意 6x 5y 36,求 xy

33、 的最大值解：由于 x,y 為正數(shù),就 6x,5y 也是正數(shù),所以6 x 56 x 5 y 30 xy2當(dāng)且僅當(dāng) 6x=5y 時(shí),取“=” 號(hào)因 6x 5y 36,就 30 xy 36,即 xy 54,所以 xy 的最大值為 54 . 2 5 5 例 4 已知：長(zhǎng)方體的全面積為定值 S,試問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各是多少時(shí),它的體積最大,求出這個(gè)最大值分析 ：經(jīng)過(guò)審題可以看出,長(zhǎng)方體的全面積 S 是定值因此最大值肯定要用 S 來(lái)表示 首要問(wèn)題是列出函數(shù)關(guān)系式設(shè)長(zhǎng)方體體積為 y,其長(zhǎng)、寬、高分別為 a,b,c,就 y=abc由于 a+b+c 不是定值,所以確定要對(duì)函數(shù)式進(jìn)行變形可以利用平均值定理

34、先求出 y 2 的最大值,這樣 y 的最大值也就可以求出來(lái)了解：設(shè)長(zhǎng)方體的體積為y,長(zhǎng)、寬、高分別是為a,b,c,就y=abc,2ab+2bc+2ac=S而- - - - - - - - - - - - - y2=（abc）2=（ab）（ bc）（ac）精品pdf 資料 可編輯資料 第 15 頁(yè),共 24 頁(yè)- - - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載2有最小值當(dāng)且僅當(dāng) ab=bc=ac,即 a=b=c 時(shí),上式取“=” 號(hào), y答：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都等于6s 時(shí)體積的最大值為 6s6s. 36說(shuō)明 ：對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的處理,要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,列好函數(shù)關(guān)系式是求

35、解問(wèn)題的關(guān)健 . 四、典型習(xí)題導(dǎo)練1. 某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池,其容積為 4800m 3, 深為 3m,假如池底每 1m 2的造價(jià)為 150 元,池壁每 1m 2的造價(jià)為 120 元,問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低,最低總造價(jià)是多少元？2.證明：通過(guò)水管放水,當(dāng)流速相同時(shí),假如水管截面的周長(zhǎng)相等,那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大 .3. 在四周體 P-ABC中, APB=BPC=CPA=90 ,各棱長(zhǎng)的和為 m,求這個(gè)四周體體積的最大值4.設(shè)函數(shù) fx=ax2+bx+c 的圖象與兩直線|y=x,y=-x ,均不相交,試證明對(duì)一切xR都有|ax2bxc41|. |a5青工小李

36、需制作一批容積為 徑應(yīng)具有怎樣的比例？V 的圓錐形漏斗,欲使其用料最省,問(wèn)漏斗高與漏斗底面半6輪船每小時(shí)使用燃料費(fèi)用 單位：元 和輪船速度 單位：海里時(shí) 的立方成正比已知某輪船的最大船速是 18 海里時(shí), 當(dāng)速度是 10 海里時(shí)時(shí), 它的燃料費(fèi)用是每小時(shí) 30 元,其余費(fèi)用 不論速度如何 都是每小時(shí) 480 元,假如甲、乙兩地相距 1000 海里,求輪船從甲地行駛到乙地,所需的總費(fèi)用與船速的函數(shù)關(guān)系,并問(wèn)船速為多少時(shí),總費(fèi)用最低？5.5 推理與證明一、基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)導(dǎo)學(xué)1. 推理一般包括合情推理和演繹推理 . 2. 合情推理：依據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、試驗(yàn)和實(shí)踐的- -

37、- - - - - - - - - - - 第 16 頁(yè),共 24 頁(yè)結(jié)果,以及個(gè)人的體會(huì)和直覺(jué)等估計(jì)某些結(jié)果的推理過(guò)程 . 歸納、類比是合情推理常用的思維方法 . 精品pdf 資料 可編輯資料 - - - - - - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備 歡迎下載3. 歸納推理：依據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì),推出這類事物的全部對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理 . 4. 歸納推理的一般步驟：通過(guò)觀看個(gè)別情形發(fā)覺(jué)某些相同性質(zhì)；從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）. 5. 類比推理：依據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似性,推出其中一類事物具有另一類事物類似的性質(zhì)的推理 . 6. 類比

38、推理的一般步驟：找出兩類事物之間的相像性或一樣性；從一類事物的性質(zhì)去估計(jì)另一類事物的性質(zhì),得出一個(gè)明確的命題（猜想）. 7. 演繹推理：依據(jù)一般性的真命題導(dǎo)出特殊性命題為真的推理 . 8. 直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；間接證明的一種基本方法 反證法 . 9. 分析法：從緣由推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法 . 10. 綜合法：從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的緣由的思維方法 . 11. 反證法：判定非 q 為假,推出 q 為真的方法 . 12. 應(yīng)用反證法證明命題的一般步驟：分清命題的條件和結(jié)論；做出與命題結(jié)論相沖突的假定； 由假定動(dòng)身, 應(yīng)用正確的推理方法,推出沖突的結(jié)果； 間接證明命題為真 . 1

39、3. 數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)pn是一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題集合,假如證明起始命題 p1成立；在假設(shè) pk成立的前提上,推出 pk1 也成立,那么可以確定,pn對(duì)一切正整數(shù)成立 . 14. 數(shù)學(xué)歸納法的步驟：（1）證明當(dāng)（如或 2 等）時(shí),結(jié)論正確；時(shí)結(jié)論也正確（2）假設(shè)時(shí)結(jié)論正確,證明二、疑難學(xué)問(wèn)導(dǎo)析1. 歸納推理是依據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì),性質(zhì)的推理 . 而類比推理是依據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似性,物類似的性質(zhì)的推理 . 推出這類事物的全部對(duì)象都具有這種 推出其中一類事物具有另一類事2. 應(yīng)用反證法證明命題的規(guī)律依據(jù)：做出與命題結(jié)論相沖突的假定,由假定動(dòng)身,應(yīng)用正 確的推理方法,推出沖突

40、的結(jié)果 3. 數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法,歸納推理是一種推理方法 .三、經(jīng)典例題導(dǎo)講- - - - - - - - - - - - - 例1 an 是正數(shù)組成的數(shù)列, 其前 n項(xiàng)和為s , 并且對(duì)于全部的自然數(shù)n ,a 與 2的等差中項(xiàng)等于s 與2的等比中項(xiàng) . 1 寫(xiě)出數(shù)列 an的前 3項(xiàng); 2 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 寫(xiě)出推證過(guò)程 ; 錯(cuò)解 ：由 1 猜想數(shù)列 a 有通項(xiàng)公式a =4 n -2. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列a 的通項(xiàng)公式是精品pdf 資料 可編輯資料 第 17 頁(yè),共 24 頁(yè)- - - - - - - - - - - - - -an=4n -2. n N. 學(xué)習(xí)必備歡迎下載

41、當(dāng) n =1時(shí), 由于 4 1-2=2, 又在 1 中已求出a =2, 所以上述結(jié)論成立. 假設(shè) n=k時(shí)結(jié)論成立 , 即有ak=4 k -2. 由題意 , 有ak222 sk將a =4k -2 代入上式,得2 k2 ks,解得sk2k2由題意 , 有ak122s k1,s k1ska k12將sk2k2代入,化簡(jiǎn)得a2 k14a k1416 k20解得ak124k. ak124k4k1 2這就是說(shuō) , 當(dāng) n=k+1時(shí), 上述結(jié)論成立 . 依據(jù)、 , 上述結(jié)論對(duì)全部的自然數(shù) n成立 . 錯(cuò)因在于解題過(guò)程中忽視了取值的取舍 . 正解 ：由 1 猜想數(shù)列 an 有通項(xiàng)公式 an=4n-2. -

42、- - - - - - - - - - - - 猜想數(shù)列 a 有通項(xiàng)公式a =4 n -2. . 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列a 的通項(xiàng)公式是an=4n -2. n N. 當(dāng) n =1時(shí), 由于 4 1-2=2, 又在 1 中已求出a =2, 所以上述結(jié)論成立假設(shè) n=k時(shí)結(jié)論成立 , 即有ak=4 k -2. 由題意 , 有ak222 sk將a =4k -2 代入上式,得2 k2 ks,解得sk2k2由題意 , 有ak122s k1,s k1ska k12將sk2k2代入,化簡(jiǎn)得精品pdf 資料 可編輯資料 第 18 頁(yè),共 24 頁(yè)- - - - - - - - - - - - - -a2 k

43、14a k1416 k20學(xué)習(xí)必備歡迎下載解得ak124k. 由a k10ak124k4 k1 2這就是說(shuō) , 當(dāng) n=k+1時(shí), 上述結(jié)論成立 . 依據(jù)、 , 上述結(jié)論對(duì)全部的自然數(shù) n成立 . 例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于任意自然數(shù),錯(cuò)解 ：證明：假設(shè)當(dāng)（ k N）時(shí),等式成立,即時(shí),時(shí),等式成立,那么當(dāng)這就是說(shuō),當(dāng)- - - - - - - - - - - - - 可知等式對(duì)任意kN成立的情形,所以等式成立錯(cuò)因在于推理不嚴(yán)密,沒(méi)有證明當(dāng)正解 ：證明：（ 1）當(dāng)時(shí),左式,右式（2）假設(shè)當(dāng)（）時(shí),等式成立,即那么當(dāng)時(shí),精品pdf 資料 可編輯資料 第 19 頁(yè),共 24 頁(yè)- - - - -

44、- - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備 歡迎下載這就是說(shuō),當(dāng) 時(shí),等式成立由（ 1）、（ 2）,可知等式對(duì)任意 k N成立 例 3 是否存在自然數(shù) m ,使得 對(duì)任意自然數(shù),都能被 整除,如存在,求出 的最大值,并證明你的結(jié)論；如不存在,說(shuō)明理由分析 此題是開(kāi)放性題型,先求出 f 1 ,f 2 ,f 3 再歸納、猜想、證明解 ：, 猜想,能被 36 整除,用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：能被 36 整除（1）當(dāng)時(shí),能被 36 整除（2）假設(shè)當(dāng)nk,（ kN）時(shí),那么,當(dāng)時(shí),由歸納假設(shè),能被 36 整除,- - - - - - - - - - - - - 第 20 頁(yè),共 24 頁(yè)當(dāng)為自然數(shù)時(shí),為偶數(shù),就能被 36 整除能被 36 整除,這就是說(shuō)當(dāng)時(shí)命題成立由（ 1）、（ 2）對(duì)任意,fn 都能被 36 整除當(dāng)取大于 36 的自然數(shù)時(shí),f 136不能被整除,所以36 為最大精品pdf 資料 可編輯資料 - - - - - - - - - - - - - - 例 4設(shè)點(diǎn)A 是曲線 C：xy1 x學(xué)習(xí)必備0歡迎下載yx的交點(diǎn),過(guò)A 點(diǎn)作直線yx0 ,y與直線的垂線交 軸于 B ,過(guò) B 點(diǎn)作直線 y x 的平行