高光譜遙感數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ)

1、泛函分析概括高光譜遙感應(yīng)用中，如何度量光譜間的相似性一直高光譜圖象處理的核心問 題，因而我們有必要先交代下度量空間的一些概念。度量空間:所謂度量空間，就是指對偶(X,d)，其中X是一個集合，d是X上 的一個度量(或X上的距離函數(shù))，即d是定義在X X X上且對所有x,y,z e X滿 足以下四條公理的函數(shù)：d是實值、有限和非負的。當(dāng)且僅當(dāng)x = y時，d(x,y) = 0。 d (x, y) = d (y, x)(對稱性)。 d(x,y) d(x,z) + d(z,y)(三角不等式)。度量空間給出來空間中元素“距離”的度量，因而使得空間中的元素可比較。 但是，仍需要在空間中引入代數(shù)結(jié)構(gòu)，使得元

2、素之間可進行代數(shù)運算。因而，這 里需要引入線性空間。線性空間：所謂域K(R或C)上的線性空間是指一個非空集合X，且其元素 x,y,(稱為矢量)關(guān)于X和K定義了兩種代數(shù)運算。這兩種運算分別叫做矢 量的加法與標(biāo)量的乘法。 矢量的加法是，對于X中的每一對矢量(x,y)，與其相聯(lián)系的一個矢量x+y， 叫做矢量之和。按這種方式它還具有下述性質(zhì)：矢量加法是可交換的和可結(jié)合的， 即對所有矢量都有x+y = y+xx + (y + z) = (x + y) + z此外存在零矢量0 e X,并對每個矢量x，存在有一x，使得對一切矢量有x + 0 = xx + (-x) = 0矢量與標(biāo)量的乘法是，對于每個矢量x和

3、每個標(biāo)量a，與其相聯(lián)系的一個矢 量a x，叫做a與x之積。按這種方式對一切x,y和標(biāo)量a, P,具有以（P x）=（以。）x1x = x和分配律a （x + y） = a x + a y（a + P ）x = a x + P y在很多情況下因為線性空間X上定義了度量d，所以X同時也是一個度量 空間。然而，如果X的代數(shù)結(jié)構(gòu)與度量沒有什么關(guān)系的話，我們就不能指望把 代數(shù)的概念和度量的概念結(jié)合在一起。為了保證X的代數(shù)性質(zhì)與幾何性質(zhì)有如 此的關(guān)系，我們首先需要引入一個輔助的所謂“范數(shù)”的概念，其中要用到線性 空間的代數(shù)運算。然后再用范數(shù)誘導(dǎo)出我們希望的度量d，這一想法就導(dǎo)出了賦 范空間的概念。簡單的說

4、，賦范空間把線性空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)和其作為度量空間的 度量緊密結(jié)合在一起。賦范空間:所謂賦范空間X，就是指在其上定義了范數(shù)的線性空間X。而所 謂線性空間X上的范數(shù)，就是指定義在X上的一個實值函數(shù)，它在xeX的值記 為|x|，并且具有如下性質(zhì)：（1）|牛 0（2）倒=0。x = 0（3）x| = |a|x|（4）|x + y| |x| + |y|其中x,y是X中的任意矢量，a為任意標(biāo)量。巴拿赫空間：所謂巴拿赫空間就是完備的賦范空間（這里的完備性是按范數(shù) 定義的度量來衡量的，見下面公式）d （x, y） = |xy|x, y e X此度量叫做由范數(shù)所誘導(dǎo)的度量。由范數(shù)所誘導(dǎo)的度量具備以下基本性質(zhì)：引理

5、（平移不變性）：在賦范空間X上，由范數(shù)誘導(dǎo)的度量d，對所有的x, y e X及每個標(biāo)量a，都滿足d (x+a, y+a) = d (x, y) d (a x,a y) = |a| d (x, y)在賦范空間中和初等線性代數(shù)一樣，可以對矢量進行相加和標(biāo)量相乘的運 算。此外空間上的范數(shù)推廣了矢量長度的概念。而希爾伯特空間則把矢量的內(nèi)積 引入到線性空間中來，使得空間中的元素具有正交性。內(nèi)積空間：所謂內(nèi)積空間就是在其上定義了內(nèi)積的線性空間X。這里所指 的X上的內(nèi)積，是X XX到X的標(biāo)量域K的一個映射；也就是說針對X中的每 一對矢量x,y，都有一個標(biāo)量，記之為 x,y 與之對應(yīng)。這個標(biāo)量叫做x和y的 內(nèi)

6、積，并且對所有的矢量x,y,z e X和標(biāo)量a，都滿足（1）= + （2）=a （3）=（4） 0,= 0 = x = 0希爾伯特空間：所謂希爾伯特空間就是完備的內(nèi)積空間(以內(nèi)積所定義的度 量來考察完備性，見下面公式)。X上的內(nèi)積通過|x| = * x, x ，d(x, y) = |x - y| =、： x - y,x - y 分別在X定義了范數(shù)和度量。因此，內(nèi)積空間是賦范空間，而希爾伯特空間是 巴拿赫空間。但并不是所有的賦范空間都是內(nèi)積空間，因為并不是所有的范數(shù)多 可以由內(nèi)積來得到，可以證明內(nèi)積空間上的范數(shù)滿足重要的平行四邊形等式：Ilx + y|2 + |x - y|2= 2(| x|2

7、+ |y| |2)由于高光譜遙感圖象的特征空間為有限維歐幾里德空間，我們這里給出其性 質(zhì)。（1.1.1）歐幾里德空間R ：空間Rn具有內(nèi)積= x y + x y + + x y1 12 2n n的希爾伯特空間，其中x = (x ,x , ,x )，y = (y , y , , y )。由此內(nèi)積可以誘導(dǎo)12n12n出范數(shù)HXI =12 = (xi + x2 + X2)12(1.1.2)由此得到歐幾里德度量.d(x,y) = 1 lx-y| = (x - y )2 + + (x - y )2%11n n常用的相似性度量主要有：.歐幾里德距離：d = llx-y| = (x - y )2 + (x - y )2%xy11n n內(nèi)積：= xt y = x y + x y + + xy1 12 2n n（3）角度:=ar cosxt yMM（4）相似系數(shù)：cos0=片hilly I相關(guān)系數(shù)：r =qjHxy llx-七1”四（6） 絕對距離：d =X|x.-y.|=1（7）明斯基距離：d = X|x-y.F%i = 1（8） 切比雪夫距離 :d = max |x y |xy S 在上面的度量公式中，歐氏距離與內(nèi)積相協(xié)調(diào)，共同