連續(xù)系統(tǒng)仿真的方法

1、第3章連續(xù)系統(tǒng)仿真的方法3.1數(shù)值積分法連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分法，就是利用數(shù)值積分方法對廣微分方程建立離散化 形式的數(shù)學(xué)模型一一差分方程，并求其數(shù)值解?？梢韵胂笤跀?shù)學(xué)計(jì)算機(jī)上構(gòu) 造若十個(gè)數(shù)字積分器，利用這些數(shù)字積分器進(jìn)行積分運(yùn)算。在數(shù)字計(jì)算機(jī)上 構(gòu)造數(shù)字積分器的方法就是數(shù)值積分法，因而數(shù)字機(jī)的硬件特點(diǎn)決定了這種 積分運(yùn)算必須是離散和串行的。把被仿真系統(tǒng)表示成一階微分方程組或狀態(tài)方程的形式。一階向量微分方程及初值為c /、Y =F(t, Y ) Y%（3-1）其中，Y為n維狀態(tài)向量，F(xiàn)（t，Y）為n維向量函數(shù)。設(shè)方程(3-1)在t = t ,t，,t ,t處的形式上的連續(xù)解為0 1 n n+1Y(t

2、)=Y(t )+9F(t,Y)dt=Y(t)+9F(t,Y)dtn+1nn+1t0tt0（3-2）設(shè) Y=Y(tn)（3-3）則有:n+1也就是說，tQ 機(jī)F(t, Y)dttn（3-4）如果Y準(zhǔn)確解Y（t ）為近似值，Q是準(zhǔn)確積分值的近似值，則式（3-4）就是式（3-2）的近似公式。換句話說，連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)值解就轉(zhuǎn)化為相鄰兩個(gè) 時(shí)間點(diǎn)上的數(shù)值積分問題。因此，所謂數(shù)值解法，就是尋求初值問題（3-1）的真解在一系列離散 點(diǎn)t tt上的近似解y,r，,r，相鄰兩個(gè)時(shí)間離散點(diǎn)的間隔 12 n12nh =t 1 -1，稱為計(jì)算步距或步長，通常取h =h為定值?？梢?，數(shù)值積分 法的主要問題歸結(jié)為對函數(shù)F（

3、t,y）的數(shù)值積分問題，即如何求出該函數(shù)定積 分的近似解。為此，首先要把連續(xù)變量問題用數(shù)值積分方法轉(zhuǎn)化成離散的差 分方程的初值問題，然后根據(jù)已知的初值條件 *，逐步地遞推計(jì)算后續(xù)時(shí)刻 的數(shù)值解七（，=1,2,）。所以，解初值問題的數(shù)值方法的共同特點(diǎn)是步進(jìn)式的， 采用不同的遞推算法，就出現(xiàn)各種不同的數(shù)值積分方法。3.2替換法基于數(shù)值積分的連續(xù)系統(tǒng)仿真方法具有成熟、計(jì)算精度比較高的優(yōu)點(diǎn)， 但算法公式比較復(fù)雜、計(jì)算量比較大，通常只有在對速度要求不高的純數(shù)字 仿真時(shí)使用。當(dāng)進(jìn)行實(shí)時(shí)仿真或在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)數(shù)字控制器的算法 時(shí)，要求計(jì)算速度快，以便能在一個(gè)采樣周期內(nèi)完成全部計(jì)算任務(wù)，這就需 要一些快

4、速計(jì)算方法。用數(shù)值積分方法在數(shù)字機(jī)上對一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行仿真時(shí)，實(shí)際上已經(jīng)進(jìn) 行了離散化處理，只不過在離散化過程中每一步都用到連續(xù)系統(tǒng)的模型，離 散一步計(jì)算一步。那么，能否先對連續(xù)的模型進(jìn)行離散化處理，得到一個(gè)“等 效”的離散化模型，以后的每一步計(jì)算都直接在這個(gè)離散化模型基礎(chǔ)上進(jìn)行， 而原來的連續(xù)數(shù)學(xué)模型不再參與計(jì)算呢？回答是肯定的。這些結(jié)構(gòu)上比較簡 單的離散化模型，便于在計(jì)算機(jī)上求解，不僅用于連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真，而且 也可用于數(shù)字控制器在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。替換法的基本思想是：對于給定的函數(shù) G（s），設(shè)法找到s域到z域的 的某種映射關(guān)系，它將S域的變量s映射到z平面上，由此得到與連續(xù)系統(tǒng) 傳遞函數(shù)G

5、（s）相對應(yīng)的離散傳函G（z）。進(jìn)而再根據(jù)G（z）由z反變換 求的系統(tǒng)的時(shí)域離散模型 差分方程，據(jù)此便可以進(jìn)行快速求解。根據(jù)z變換理論，s域到z域的最基本的映射關(guān)系是Z = eTs或 s = !ln z如T果按這一映射關(guān)系直接代入G(s)，得到的G(z)是相當(dāng)復(fù)雜的，不便于算法實(shí)現(xiàn)，所以往往借助于Z變換的基本映射關(guān)系Z = eTs或 s = Lln z作一些簡T化和近似處理。3.3離散相似法“離散相似法”一一將一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行離散化處理，然后求得與它等價(jià)的離散模型(差分方程)的方法。獲取離散相似模型的兩個(gè)途徑:(1(1)對傳遞函數(shù)作離散化處理得離散傳遞函數(shù)稱為“頻域離散相似模型”;(2)基于狀

6、態(tài)方程離散化 稱為“時(shí)域離散相似模型3”； 對連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)字仿真可以先在系統(tǒng)加入虛擬的采樣器和保持器，如圖3-1所示，圖3-1連續(xù)系統(tǒng)離散化結(jié)構(gòu)圖附注：圖3-1所示系統(tǒng)的采樣開關(guān)和保持器實(shí)際上是不存在的，而是為 了將(3-5)式離散化而虛構(gòu)的。然后利用Z變換的方法求出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，再從脈沖傳遞函數(shù)求 出對應(yīng)于系統(tǒng)G(s)的差分方程。根據(jù)圖3-1,有脈沖傳遞函數(shù)：G(z)=空=ZG (s)G(s)u(z)L 龍、J(3-5)其中Gh(s)是保持器的傳遞函數(shù)。若選擇不同的保持器，則可得不同的 G(z)，見表 3-1。保持器的傳遞函數(shù)Gh(s)1 保持器的傳遞函數(shù)Gh(s)1 - eTs零階

7、：脈沖傳遞函數(shù)G(z)三zzG (s)s1 - eTs 一階：產(chǎn)-1* G(s)(1+ Ts)( )zzTs 2G (s)T 2 Ts(1-eTs G (s)T 2 Ts三角形：2Ts 2表3-1不同保持器的G 假設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：& = Ax+Bu(3-5)若人為地在系統(tǒng)的輸入端及輸出端加上采樣開關(guān)，同時(shí)為了使輸入信號復(fù)原為原來的信號，在輸入端還要加一個(gè)保持器，如圖3-2所示。復(fù)原為原來的信號，在輸入端還要加一個(gè)保持器，如圖3-2所示。T圖3-2采樣控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖若對方程(3-5)式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，得：sX ( s ) X (0) = AX ( s ) + BU ( s )即：(

8、si - A)X (s) = X(0) + BU(s)以(si - A)-1左乘上式的兩邊可得：X(s) = (si - A)-1X(0) + (si - A)-1 BU(s)(3-6)考慮到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：0( t ) = eAt = L-1 (si - A)-1(3-7)故對(3-6)式反變換可得：X (t)= eAfx(o)+ (-T)bu (t)di(3-8)此為(3-5)式的連續(xù)解，由此可推導(dǎo)出系統(tǒng)的離散解。根據(jù)上式，n及n+1兩個(gè)相連的采樣瞬間，有：X (kT) = eAkTx(0) + 0T eA(kT T) BU (t )dT(3-9)X (k + 1)T= eA(k + 1)T

9、x(0) + J0k +1)Te(k +1)TbU(t)dT (3-10)將(3-10)式減去(3-9)式后乘以eAT，得：X (k + 1)T = eATX (kT) + kT + 項(xiàng) eA (k + 1)T T 】BU (t )dT( 3-11)將(3-11)式右邊積分進(jìn)行變量代換，即令：t = kT +1(3-12)貝V得 :X (k + 1)T= eATX(kT) +*一)BU(kT +1)dt(3-13)但由圖3-2可知：若系統(tǒng)采用零階保持器時(shí)，則兩個(gè)采樣點(diǎn)之間輸入量可看做常數(shù)，即u(nT+t)=u(nT)，這樣(3-13)式可寫為：X (k + 1)T= eATX(kT) + I

10、TeAT-t)Bdt U(kT)0一=G (T) X (kT) + H (T )U (kT)G (T) = eAT式中：H(T) = I0T eA(T -t)Bdt第6章計(jì)算機(jī)仿真實(shí)例6.1連續(xù)系統(tǒng)仿真的離散相似法在研究對象的數(shù)學(xué)模型時(shí)，通過模擬研究可以預(yù)測這一對象在不同的輸 入向量的作用下的行為，可為模型的簡化提供數(shù)據(jù)。通常通過計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)可以估計(jì)各種不同的控制系統(tǒng)，在各種干擾作用下的過渡過程，進(jìn)行方案 的分析比較，為選擇最好的方案提供依據(jù)7。例如,對于一個(gè)復(fù)雜組分的控制 系統(tǒng)，采用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬，可以得到各種工況下的控制系統(tǒng)仿真分布 曲線，為正確選擇仿真方法及路線提供可靠依據(jù)，并可以

11、預(yù)測控制系統(tǒng)的動 態(tài)響應(yīng)效果，所以在自動控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、分析和研究中，計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)是 一有效的手段。控制系統(tǒng)方框圖如圖6-1所示，分析k=1,2時(shí)的系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，(飽和 非線性環(huán)節(jié)斜率為1)，R(t) = 25.1(t)。圖6-1圖6-1控制系統(tǒng)方框圖用離散相似法分析計(jì)算如下：ns(s+l)第一步引入采樣開關(guān)的零階保持器，變成離散控制系統(tǒng)，如圖6-2所示。ns(s+l)wL/,保持器 T 圖6-2控制系統(tǒng)方框圖第二步求對象和調(diào)節(jié)器的狀態(tài)方程，傳遞函數(shù)為由控制系統(tǒng)方框圖中的傳遞函數(shù)，給出狀態(tài)方程由控制系統(tǒng)方框圖中的傳遞函數(shù)，給出狀態(tài)方程取：n=1,00X?。簄=1,00X1x2y = x2即

12、：-i由圖中比例限幅調(diào)節(jié)器的特性可列出：10 R (k) - y (k)10、u(k) = J R(k) - y(k),-10 R(k) - y(k) -10R(k) y (k) =10u=10;x(:,n)=a*x(:,n-1)+h*u;elseu=e;x(:,n)=a*x(:,n-1)+h*u;endendy(1,n)=x(2,n);endsubplot(2,1,1)plot(y)xlabel( (a) ,fontweight,bold,fontname,宋體,fontsize,16);gtext(k=1,fontsize,16)a=0.63763,0;0.36237,1;h=2*0.36

13、237;0.08763;x0=0;0;u0=10;y0=0;0;r=25.1;for n=1:45if n=1x(:,n)=a*x0+h*u0;elsee=r-yy(1,n-1);if e=10u=10;x(:,n)=a*x(:,n-1)+h*u;elseu=e;x(:,n)=a*x(:,n-1)+h*u;endendyy(1,n)=x(2,n);endsubplot(2,1,2)plot(yy)xlabel( (b) ,fontweight,bold,fontname,宋體,fontsize,16);gtext(k=2,fontsize,16)6.2 Simulink仿真中的代數(shù)環(huán)問題無論是

14、采用Fortran、C還是Matlab和Simulink語言，在編寫計(jì)算程序 時(shí)，都會遇到代數(shù)環(huán)問題，代數(shù)環(huán)會給計(jì)算程序帶來很大的麻煩，需要特別 注意。所謂代數(shù)環(huán)就是同一個(gè)模塊中輸出信號再重新送入到輸入端口中。首先介紹simulink的意義：Simulink是一種以MATLAB為基礎(chǔ)的實(shí)現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真與分析的軟 件包，具有以下的主要功能：可以實(shí)現(xiàn)交互式建立系統(tǒng)的動態(tài)模型。良好的交互式仿真環(huán)境。擴(kuò)充和定制功能。與MATLAB和工具箱的集成。專用模型庫Simulink還有專用程序包，可對系統(tǒng)模型進(jìn)行代碼生成。Simulink的開放式 結(jié)構(gòu)允許用戶擴(kuò)展仿真環(huán)境，如生成自定義模塊庫等。由于Sim

15、ulink可直接利 用MATLAB的諸多資源與功能，因而用戶可在Simulink下完成諸如數(shù)據(jù)分析、 過程自動化、參數(shù)優(yōu)化等工作。本節(jié)將對Simulink的代數(shù)環(huán)問題進(jìn)行討論。x1 =-。明 + a*X J J.x?=a.x + . xO Xi例：利用Simulink求解方程組。此題中直接利用Simulink求解此方程組時(shí)，會遇到代數(shù)環(huán)問題8。（）用Simulink建立方程組模型，保存為 modelOl.mdl，如圖（1）所 示。圖7-1具有代數(shù)環(huán)的系統(tǒng)模型Simulink模型中存在一個(gè)代數(shù)環(huán)，由模塊 sum、a4、sum2、和al組成 一個(gè)代數(shù)環(huán)路。代數(shù)環(huán)中的每一個(gè)模塊都具有一個(gè)相同的特征，

16、就是模塊的 輸入和輸出之間只有代數(shù)關(guān)系。這種代數(shù)關(guān)系，在時(shí)間上講就是沒有延遲， 在物理模型上講就是無慣性。（2）對方程進(jìn)行處理將方程組第二個(gè)方程代入第一個(gè)方程，可以得到：xl = - aa x 一 a a x + a u1 3 11 42（7-1）注意：方程兩邊都出現(xiàn)狀態(tài)導(dǎo)數(shù)，這就是代數(shù)環(huán)的方程表現(xiàn)形式之一。本例所提出的方程組比較簡單，所以非常容易看出代數(shù)環(huán)的問題。但對于稍微復(fù)雜的系統(tǒng)，就很難直接判斷是否含有代數(shù)環(huán)。（3）代數(shù)環(huán)的處理方法對于上面的方程或方程組，計(jì)算機(jī)并不會自動將方程進(jìn)行整理，而把方 程兩邊進(jìn)行合并。雖然Simulink在處理代數(shù)環(huán)的解算程序采用比較魯棒的 Newton-Rap

17、hson方法，但仍不能夠保證結(jié)果是收斂的。通常處理代數(shù)環(huán)的方法：1.人工排除代數(shù)環(huán)。通過手工整理方程，得到如下方程組： TOC o 1-5 h z X1 =_ 1一3 X +_ U1 + a a 1 1 + a a1 41 4（7-2）X = L X + % 4 U2 1 + a a 1 1 + a a HYPERLINK l bookmark191 o Current Document 1 41 4（7-3）簡化得x1 = - k x + k u（7-4）x = k x + k u TOC o 1-5 h z 23 14（7-5）其中L a a La LQ L a Qk =1 3 , k =2, k =3, k =2 41 1 + a a 2 1 + a a 3 1 + a a 4 1 + a a1 41 41 41 4說明：如果代數(shù)環(huán)對計(jì)算速度的影響不大，那就不必理會；如果代數(shù) 環(huán)對計(jì)算速度的影響很大，通常可以