12.4　復(fù)數(shù)的三角形式 學(xué)案

1、124復(fù)數(shù)的三角形式*探究點(diǎn)1復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式 把下列復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式：(1) eq r(3)i；(2)1i.【解】(1) eq r(3)i2( eq f(r(3),2) eq f(1,2)i)2(cos eq f(7,6)isin eq f(7,6)(2)1i eq r(2)( eq f(r(2),2) eq f(r(2),2)i) eq r(2)(cos eq f(7,4)isin eq f(7,4).把復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式只要找到復(fù)數(shù)的模和復(fù)數(shù)的輻角主值即可 把a(bǔ)i(a0)的代數(shù)形式化為三角形式解：因?yàn)閍0，所以aia(cos eq f(,2)isin eq

2、f(,2).探究點(diǎn)2復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式 把下列復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式：(1)2(sin eq f(,3)icos eq f(,3)；(2)8(cos eq f(11,6)isin eq f(11,6) ).【解】(1)2(sin eq f(,3)icos eq f(,3)2( eq f(r(3),2) eq f(1,2)i) eq r(3)i.(2)8(cos eq f(11,6)isin eq f(11,6)8cos ( eq f(,6)isin ( eq f(,6)8( eq f(r(3),2) eq f(1,2)i)4 eq r(3)4i .把復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式只需將

3、三角函數(shù)計(jì)算出值即可 把下列復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式：(1)6(cos isin )；(2)sin eq f(2,3)icos eq f(2,3).解：(1)6(cos isin )6(1i0)6.(2)sin eq f(2,3)icos eq f(2,3) eq f(r(3),2)i( eq f(1,2) eq f(r(3),2) eq f(1,2)i.探究點(diǎn)3復(fù)數(shù)三角形式的乘除法運(yùn)算 計(jì)算下列各式的值：(1)8(sin eq f(,6)icos eq f(,6)3；(2) eq r(3)(cos eq f(7,4)isin eq f(7,4)(cos eq f(3,4)isin eq f

4、(3,4).【解】(1)8(sin eq f(,6)icos eq f(,6)38(cos eq f(,3)isin eq f(,3)38(cos isin )8(1)8.(2) eq r(3)(cos eq f(7,4)isin eq f(7,4)(cos eq f(3,4)isin eq f(3,4) eq r(3)cos ( eq f(7,4) eq f(3,4)isin ( eq f(7,4) eq f(3,4) eq r(3)(cos isin ) eq r(3). 復(fù)數(shù)三角形式的乘除法運(yùn)算只需要利用復(fù)數(shù)乘除法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可 化簡下列各式：(1)5(cos eq f(4,3)

5、isin eq f(4,3) eq blcrc(avs4alco1(2（cos f(5,6)isin f(5,6)）) ；(2) eq f(（cos isin ）2,blcrc(avs4alco1(cos （）isin （）)blcrc(avs4alco1(cos （）isin （）).解：(1)5(cos eq f(4,3)isin eq f(4,3) eq blcrc(avs4alco1(2（cos f(5,6)isin f(5,6)）) eq f(5,2) eq blcrc(avs4alco1(cos （f(4,3)f(5,6)）isin （f(4,3)f(5,6)）) eq f(5,2

6、) eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,2)isin f(,2) eq f(5,2)i.(2) eq f(（cos isin ）2,blcrc(avs4alco1(cos （）isin （）)blcrc(avs4alco1(cos （）isin （）) eq f(cos 2isin 2,cos 2isin 2)1.1.將復(fù)數(shù)1 eq r(3)i化成三角形式，正確的是()A2(cos eq f(2,3)isin eq f(2,3)B 2(cos eq f(5,6)isin eq f(5,6)C2(cos eq f(5,3)isin eq f(5,3)D2(cos eq f(1

7、1,6)isin eq f(11,6)解析：選A1 eq r(3)i2( eq f(1,2) eq f(r(3),2)i)2(cos eq f(2,3)isin eq f(2,3)，故選A2.復(fù)數(shù)zsin 100icos 100的輻角主值是()A80B100C190D260解析：選Czsin 100icos 100cos 10isin 10cos 190isin 190，故選C3兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2的模與輻角分別相等，是z1z2成立的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選A復(fù)數(shù)z1，z2的模與輻角分別相等，則z1z2成立；反之輻角不一定相等，可以相差2的整數(shù)

8、倍，故選A4.復(fù)數(shù)z(sin 25icos 25)3的三角形式是()Acos 195isin 195Bsin 75icos 75Ccos 15isin 15Dcos 75isin 75解析：選Az(sin 25icos 25)3(cos 65isin 65)3cos 195isin 195，故選A5設(shè)34i的輻角主值為，則(34i)i的輻角主值是()A eq f(,2)B eq f(,2)C eq f(,2)D eq f(3,2)解析：選A(34i)i5(cos isin )(cos eq f(,2)isin eq f(,2)5 eq blcrc(avs4alco1(cos （f(,2)）is

9、in （f(,2)）)，因?yàn)?4i的輻角主值為，則(34i)i的輻角主值是 eq f(,2).A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1下列表示復(fù)數(shù)1i的三角形式中， eq r(2) eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,4)isin f(,4)； eq r(2) eq blcrc(avs4alco1(cos blc(rc)(avs4alco1(f(,4)isin f(,4)； eq r(2) eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(9,4)isin f(9,4)； eq r(2) eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,4)isin f(3,4)；正確的個(gè)數(shù)是()A1B2C

10、3D4解析：選B因?yàn)閞 eq r(1212) eq r(2)，cos eq f(r(2),2)，sin eq f(r(2),2)，所以輻角主值為 eq f(,4)，所以1i eq r(2) eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,4)isin f(,4) eq r(2) eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(9,4)isin f(9,4)，故的表示是正確的，的表示不正確，故選B2設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，arg z1，arg z2，則arg(z1z2)有可能是下列情況中的哪些？()；2；2()；.ABCD解析：選B，均為銳角時(shí)，z1z2的輻角主值為，輻角主值均為鈍角時(shí)

11、，z1z2的輻角主值為，若，均大于時(shí)，z1z2的輻角主值為2.3. 設(shè)z112i，z21i，z313i，則arg z1arg z2arg z3()A eq f(,2)B eq f(3,2)C eq f(5,2)D eq f(7,2)解析：選Cz112i在第四象限，設(shè)輻角主值為，z313i在第二象限設(shè)輻角主值為，則tan 2，tan 3, 所以tan ()1，所以 eq f(9,4)，z21i的輻角主值為 eq f(,4)，所以arg z1arg z2arg z3 eq f(5,2).4設(shè)z為復(fù)數(shù)，且z的輻角主值為 eq f(,6)，z2的輻角主值為 eq f(2,3)，則復(fù)數(shù)z為()A eq

12、r(3)2iB2 eq r(3)iC1 eq r(3)iD1 eq r(3)i解析：選D設(shè)z的輻角為，因?yàn)閦的輻角主值為 eq f(,6)，所以z位于第一象限且tan eq f(r(3),3)，故選D5已知|z|1，且非零復(fù)數(shù)(zi)2的輻角主值是 eq f(,2)，則這樣的z共有()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)解析：選A設(shè)zcos isin ， eq blcrc)(avs4alco1(0，2)，則2(cos isin )i2cos ( eq f(,2)isin ( eq f(,2)；因?yàn)閺?fù)數(shù)(zi)2的輻角主值是 eq f(,2)，所以0，故選A 6若復(fù)數(shù)z滿足| eq f(z1,z)| eq

13、f(1,2)，arg( eq f(z1,z) eq f(,3)，則z_解析：設(shè) eq f(z1,z)z0，則|z0| eq f(1,2)，arg z0 eq f(,3)，所以z0 eq f(1,2)(cos eq f(,3)isin eq f(,3) eq f(1,4) eq f(r(3),4)i，從而可由 eq f(z1,z) eq f(1,4) eq f(r(3),4)i解得z1 eq f(r(3),3)i.答案：1 eq f(r(3),3)i7若動(dòng)點(diǎn)P對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，且滿足|z4i|2，則z的輻角主值的范圍為_，|z|取得最大值時(shí)，z_解析：結(jié)合圖形，即把代數(shù)問題幾何化、圖形化，見下圖：

14、|z4i|2表示動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)(0，4)距離為2的點(diǎn)組成的曲線，|z|取得最大值時(shí)即曲線上的點(diǎn)|y|取最大值時(shí)，即點(diǎn)(0，6)，對應(yīng)z6i.答案： eq f(,3)， eq f(2,3)6i8. eq f(1,1r(3)i) 的三角形式為_解析： eq f(1,1r(3)i) eq f(1,4)(1 eq r(3)i) eq f(1,2)cos ( eq f(4,3)isin ( eq f(4,3).答案： eq f(1,2)cos ( eq f(4,3)isin ( eq f(4,3)9設(shè)復(fù)數(shù)z1 eq r(3)i，復(fù)數(shù)z2滿足|z2|2，已知z1z eq oal(sup1(2),sdo1(2)

15、的對應(yīng)點(diǎn)在虛軸的負(fù)半軸上且arg z2(0，)，求z2的代數(shù)形式解：因?yàn)閦12 eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,6)isin f(,6)，設(shè)z22(cos isin )，(0，)，所以z1z eq oal(sup1(2),sdo1(2)8cos eq blc(rc)(avs4alco1(2f(,6)isin eq blc(rc)(avs4alco1(2f(,6).由題設(shè)知2 eq f(,6)2k eq f(3,2)(kZ)，所以k eq f(2,3)(kZ).又(0，)，所以 eq f(2,3)，所以z22(cos eq f(2,3)isin eq f(2,3)1 eq

16、 r(3)i.10已知z eq f(1i,i)2i，z1 eq o(z,sup6()z20，arg z2 eq f(7,12)，若z1，z2在復(fù)平面上分別對應(yīng)點(diǎn)A，B，且|AB| eq r(2)，求z1的立方根解：由題設(shè)知z1i，因?yàn)閨AB| eq r(2)，即|z1z2| eq r(2)，所以|z1z2| eq o(z,sup6()z2z2|(1i)z2z2|iz2|z2| eq r(2)，又arg z2 eq f(7,12)，所以z2 eq r(2)(cos eq f(7,12)isin eq f(7,12)，z1 eq o(z,sup6()z2(1i)z2 eq r(2)(cos eq

17、f(,4)isin eq f(,4) eq r(2)(cos eq f(7,12)isin eq f(7,12)2(cos eq f(5,6)isin eq f(5,6)，所以z1的立方根為 eq r(3,2)(cos eq f(f(5,6)2k,3)isin eq f(f(5,6)2k,3)，k0，1，2，即 eq r(3,2)(cos eq f(5,18)isin eq f(5,18)， eq r(3,2)(cos eq f(17,18)isin eq f(17,18)， eq r(3,2)(cos eq f(29,18)isin eq f(29,18).B能力測試11在復(fù)平面內(nèi)有五個(gè)點(diǎn)與

18、方程x51i的五個(gè)根相對應(yīng)，則這五個(gè)點(diǎn)中有兩個(gè)點(diǎn)在()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限解析：選Bx51i eq r(2)(cos eq f(3,4)isin eq f(3,4)，x eq r(10,2)(cos eq f(f(3,4)2k,5)isin eq f(f(3,4)2k,5)，k0，1，2，3，4，故選B12設(shè)復(fù)數(shù)2i和3i的輻角主值分別為，則()A135B315C675D585解析：選C復(fù)數(shù)2i和3i均位于第四象限，(270，360)，因?yàn)閠an ()1，所以675 .13若一個(gè)復(fù)數(shù)z的模為2，輻角為 eq f(2,3)，則 eq f(z,i)()A1 eq r(3)iB1

19、 eq r(3)iC eq r(3)iD eq r(3)i解析：選D由復(fù)數(shù)z的模為2，輻角為 eq f(2,3)，可得z2 eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(2,3)isin f(2,3)1 eq r(3)i.所以 eq f(z,i) eq f(1r(3)i,i) eq f(blc(rc)(avs4alco1(1r(3)i)i,1) eq r(3)i.故選DC拓展探究14(多選)任何一個(gè)復(fù)數(shù)zabi(其中a，bR，i為虛數(shù)單位)都可以表示成zr eq blc(rc)(avs4alco1(cos isin )的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：zn eq

20、blcrc(avs4alco1(rblc(rc)(avs4alco1(cos isin )nrn(cos nisin n)(nN)，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理根據(jù)以上信息，下列說法正確的是()A eq blc|rc|(avs4alco1(z2) eq blc|rc|(avs4alco1(z)2B當(dāng)r1， eq f(,3)時(shí)，z31C當(dāng)r1， eq f(,3)時(shí)， eq o(z,sup6() eq f(1,2) eq f(r(3),2)iD當(dāng)r1， eq f(,4)時(shí)，若n為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)zn為純虛數(shù)解析：選AC對于A選項(xiàng)，zr(cos isin )，則z2r2 eq blc(rc)(avs4alco1(cos 2isin 2)，可得|z2|r2 eq blc(rc)(avs4alco1(cos 2isin 2)|r2，|z|2|r(cos isin )|2r2，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)r1， eq f(,3)時(shí)，z3 eq blc(rc)(avs4alco1