2022年中學數(shù)學圓錐曲線教案

1、終結(jié)圓錐曲線大題十個大招招式一：弦的垂直平分線問題. 2招式二：動弦過定點的問題 . 3 招式四：共線向量問題 . 5 招式五：面積問題 . 12招式六：弦或弦長為定值、最值問題. 15招式七：直線問題 . 19 招式八：軌跡問題 . 23 招式九：對稱問題 . 31 招式十、存在性問題 . 34招式一：弦的垂直平分線問題例題 1、過點 T-1,0 作直線 l 與曲線 N ：y2x 交于 A、B 兩點,在 x 軸上是否存在一點E0 x ,0,使得ABE是等邊三角形,如存在,求出0 x ；如不存在,請說明理由；解： 依題意知,直線的斜率存在,且不等于0；設(shè)直線l:yk x1,k0,A x y 1

2、,B x 2,y 2；由yk x1消 y 整理,得2 2k x2k21 xk20y 2x；由直線和拋物線交于兩點,得2k21 24 k44 k210即0k214由韋達定理,得：x 1x 22 k221,x x 21；就線段 AB 的中點為2 k221 1 ,2 kk2 k線段的垂直平分線方程為：y11x1 2 k2令 y=0,得x 02121,就E121,02 kk2k2k22k2ABE 為正三角形,E121,0到直線 AB 的距離 d 為3AB ；2k22ABx 1x 22y 1y 221k4k21k2d1k222k3 124k21k21k2解得k39滿意式此時x 05；2k2k133【涉及

3、到弦的垂直平分線問題】這種問題主要是需要用到弦 AB 的垂直平分線 L 的方程, 往往是利用點差或者韋達定理 產(chǎn)生弦 AB 的中點坐標 M ,結(jié)合弦 AB 與它的垂直平分線 L 的斜率互為負倒數(shù),寫出弦的垂直平分線 L 的方程,然后解決相關(guān)問題,比如：求 L 在 x 軸 y 軸上的截距的取值范疇,求 L 過某定點等等；有時候題目的條件比較隱蔽,要分析后才能判定是有關(guān)弦 AB 的中點問題,比如：弦與某定點 D 構(gòu)成以 D 為頂點的等腰三角形（即D 在 AB 的垂直平分線上）、曲線上存在兩點 AB 關(guān)于直線 m 對稱等等；例題分析 1：已知拋物線 y=-x2+3 上存在關(guān)于直線 x+y=0 對稱的

4、相異兩點 A、B,就 |AB|等于解：設(shè)直線 AB 的方程為 yxb ,由yx23x2yxb30bx 1x 2x21,進而可求出 AByxb的中點M1,1b ,又由M1,1b 在直線x0上可求出1,x20,由弦2222長公式可求出AB1 1 21 24 23 2招式二：動弦過定點的問題例題 2、已知橢圓C：2 x2 y1 ab0的離心率為3,2 ab22且在 x 軸上的頂點分別為A 1-2,0,A 22,0；（I）求橢圓的方程；（II ）如直線 l x t t 2 與 x 軸交于點 T,點 P 為直線 l 上異于點 T 的任一點,直線 PA1,PA2 分別與橢圓交于 M 、N 點,試問直線 M

5、N 是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論解：（ I）由已知橢圓C 的離心率ec3,a2,就得c3,b1；從而橢圓的方程為2 xy21a24（II ）設(shè)M x y 1,N x 2,y 2,直線A M 的斜率為1k ,就直線A M 的方程為yk x2,由yk x2消 y 整理得142 k 1x216k x 2162 k 1402 和x 1是方程的兩個根,2 x4y242x 12 16 k 14就x 122 8 k 1,y 114k 1,即點 M 的坐標為22 8 k 1,14k 1,12 4 k 112 4 k 142 k 112 4 k 12 4 k 1同理,設(shè)直線A 2N 的斜率為 k2,就得點

6、 N 的坐標為2 8 k 22,14 k 214 k242 k 22ypk t2,ypk2t2k 1k 22,直線 MN 的方程為：yy 1y 2y 1,k 1k 2txx 1x 2x 1令 y=0,得xx y 2 1x y 1 2,將點 M 、N 的坐標代入,化簡后得：x4y 1y 2t又t2,042橢圓的焦點為 3,043,即t4 3tt3故當t4 3時, MN 過橢圓的焦點；3招式三：過已知曲線上定點的弦的問題2 2例題 4、已知點 A、B、C 是橢圓 E：x2 y2 1 a b 0 上的三點, 其中點 A 2 3,0 是橢圓的右頂點,a b直線 BC 過橢圓的中心 O,且 AC BC

7、0,BC 2 AC ,如圖； I求點 C 的坐標及橢圓 E 的方程； II如橢圓 E 上存在兩點 P、Q,使得直線 PC 與直線 QC 關(guān)于直線 x 3 對稱,求直線 PQ 的斜率；解： I BC 2 AC ,且 BC 過橢圓的中心 O OC AC AC BC 0 ACO 又 A 2 3,0 點 C 的坐標為 3, 3 ；2A 2 3,0 是橢圓的右頂點,a 2 3,就橢圓方程為：2 2x y2 112 b將點 C 3, 3 代入方程,得 b 24,橢圓 E 的方程為2 2x y 112 4II 直線 PC 與直線 QC 關(guān)于直線 x 3 對稱,設(shè)直線 PC 的斜率為 k ,就直線 QC 的斜

8、率為 k ,從而直線 PC 的方程為：y 3 k x 3,即 y kx 31 k ,由 y2 kx2 31 k 消 y,整理得：x 3 y 12 02 2 21 3 k x 6 3 1 k x 9 k 18 k 3 0 x 3 是方程的一個根,x P 3 9 k 21 183 k k2 3 即 x P 9 k31 3 218 kk 2 3 同理可得：x Q 9 k31 3 218 kk 2 3y P y Q kx P 31 k kx Q 31 k k x P x Q 2 3 k 12 k231 3 k x Px Q9k218 k239k218 k2336k2k PQy Py Q1313 k31

9、3k313 kx Px Q3就直線 PQ 的斜率為定值1 3；招式四：共線向量問題1：如下列圖,已知圓 C : x 1 2y 2,8 定點 A ,1 0 , M 為圓上一動點,點 P 在 AM 上,點 N 在 CM 上,且滿意 AM 2 AP , NP AM ,0 點 N 的軌跡為曲線 E.I ）求曲線 E 的方程； II ）如過定點 F（0,2）的直線交曲線 E 于不同的兩點 G、H（點 G 在點 F、H 之間）,且滿意 FG FH,求 的取值范疇 . 解：（ 1）AM 2 AP , NP AM 0 . NP 為 AM 的垂直平分線,|NA|=|NM| 又 | CN | | NM | 2 2

10、 , | CN | | AN | 2 2 2 .動點 N 的軌跡是以點C（ 1,0）, A（1,0）為焦點的橢圓 .且橢圓長軸長為 2a 2 2 ,2焦距 2c=2. a 2 , c ,1 b 2 1 .曲線 E 的方程為 x y 21 .22（2）當直線 GH 斜率存在時,設(shè)直線 GH 方程為 y kx ,2 代入橢圓方程 xy 2,12得 1k 2 x 24 kx 3 0 . 由 0 得 k 2 3 . 設(shè) G x 1 , y 1 , H x 2 , y 2 ,2 2就 x 1 x 21 4k k2 1 82 kk 2 1 , x 1 x 21 3k 2 1 62 k 2 2 2 2又 F

11、G FH , x 1 , y 1 2 x 2 , y 2 2 x 1 x 2 , x 1,x 21 2 1 32 k 2 32 2 23 1 2 k 2 3 12 2 k2 3 32 16 1 16 1k , 4 . 4 2 . 解得 .32 3 12 2 3 3 3k又 0 ,1 1 1 .3又當直線 GH 斜率不存在,方程為 x ,0 FG 1FH , 1 . 1,1 即所求 的取值范疇是 11, 3 3 3 32：已知橢圓 C 的中心在坐標原點,焦點在 x 軸上,它的一個頂點恰好是拋物線 y 1x 的焦點,離心率為 242 5.（ 1）求橢圓 C 的標準方程； （2）過橢圓 C 的右焦點

12、作直線 l 交橢圓 C 于 A 、 B 兩點, 交 y 軸于 M5點,如 MA 1 AF ,MB 2 BF,求證：1 2 10. 2 2解：設(shè)橢圓 C 的方程為 x2 y2 1（ a b 0 ）拋物線方程化為 x 24 y ,其焦點為 0,1 ,a b2 2就橢圓 C 的一個頂點為 0,1 ,即 b 1 由 e c a2 b 2 5,a 25,橢圓 C 的方程為a a 52x y 21（ 2）證明：右焦點 F 2,0,設(shè) A x y 1 , B x 2 , y 2 , M 0, y 0 ,明顯直線 l 的斜率存在,設(shè)直52線 l 的方程為 y k x 2,代入方程 x y 21 并整理,得52

13、 21 5 k 2 x 220 k x 220 k 25 0 x 1 x 2 20 k2,x x 1 2 20 k2 5又 MA x y 1 1 y 0 ,1 5 k 1 5 kMB x 2 , y 2 y 0 ,AF 2 x 1 , y 1 ,BF 2 x 2 , y 2 ,而 MA 1 AF ,MB 2 BF ,即 x 1 0, y 1 y 0 1 2 x 1 , y 1 , x 2 0, y 2 y 0 2 2 x 2 , y 2 1 x 1,2 x 2,所以 1 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 x x 2102 x 1 2 x 2 2 x 1 2 x 2 4 2 x 1 x

14、 2 x x 23、已知 OFQ 的面積 S=2 6 , 且 OF . FQ m；設(shè)以 O 為中心, F 為焦點的雙曲線經(jīng)過 Q,|OF|c,m61 c2,當|OQ 取得最小值時,求此雙曲線方程；,4解： 設(shè)雙曲線方程為x2y21,Q（ x0, y0）；a2b2FQx0c ,y0,SOFQ=1|OF|y0|26,y04c62OF .FQ c , 0 x 0c ,y0=cx 0c=61 c2x06c；446OQx22 y 03 c29623 ,0c28當且僅當3 c296,即c4 時|,OQ|最小,此時Q6,6或6,8c2所以661a24 . 故所求的雙曲線方程為12x2y21；a2b216b2

15、412a2b2類型 1 求待定字母的值2例 1 設(shè)雙曲線 C：x2 y 21 a 0 與直線 L：x+y=1 相交于兩個不同的點 A 、B,直線 L 與 y 軸交a于點 P,且 PA= 5 PB,求 a 的值12思路： 設(shè) A、 B 兩點的坐標,將向量表達式轉(zhuǎn)化為坐標表達式,再利用韋達定理,通過解方程組求 a的值；解： 設(shè) Ax 1,y1,Bx 2,y2,P0,1 PA= 5 PB , x 1 , y 1 1 5 x 2 , y 2 1 ,x 1= 5 x . 12 12 12x y 1聯(lián)立 x 22,消去 y 并整理得, 1a2x2+2a2x2a2=0 * 2 y 1a1 a 20,A 、B

16、 是不同的兩點,4 a 48 a 2 1 a 2 0,0a2 且 a1. 于是 x 1+x 2=2 a22且 x 1 x 2=2 a22,2=289 ,60B 和 C, 且滿意1a1a即17x 22 a22,且5x 222 a22,消去 x 2 得,2 a2121a121a1a3交于不同的兩點a=17, 0a0）過 M （2,2 ） ,N 6 ,1兩點, O 為坐標原點,a b（I）求橢圓 E 的方程；（II ）是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A,B, 且 OA OB ？如存在,寫出該圓的方程,并求 |AB |的取值范疇,如不存在說明理由；解:（1）由于

17、橢圓 E: x 22 y2 21（ a,b0）過 M （2,2 ） , N 6 ,1兩點 , a b所以 a 42b 22 1解得 a 12 18 所以 a2 28 橢圓 E 的方程為 x 2y 2162 12 1 12 1 b 4 8 4a b b 4（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A,B, 且 OA OB ,y kx m設(shè)該圓的切線方程為 y kx m解方程組 x 2y 21 得 x 22 kx m 28 ,即8 42 2 21 2 k x 4 kmx 2 m 8 0 , 2 2 2 2 2 2 2 2就 = 16 k m 41 2 k 2 m

18、 8 88 k m 4 0 ,即 8 k m 4 0 x 1 x 2 4 km21 2 k ,2x x 1 2 2 m2 81 2 k2 2 2 2 2 2y y 2 kx 1 m kx 2 m k x x 22 km x 1 x 2 m 2 k 2 m2 8 4 k m2 m 2 m 8 k2 要使1 2 k 1 2 k 1 2 k2 2 22 m 8 m 8 k 2 2OA OB ,需使 x x 2 y y 2 0 ,即 2 2 0 ,所以 3 m 8 k 8 0 ,所以1 2 k 1 2 k2 3 m 28 2 2 m 22 2 8 2 6 2 6k 0 又 8 k m 4 0 ,所以

19、2 ,所以 m ,即 m 或 m ,由于直8 3 m 8 3 3 3線 y kx m 為圓心在原點的圓的一條切線 ,所以圓的半徑為r1 mk 2 , r 21 mk 221 3 mm 228 83 , r 2 63 ,所求的圓為 x 2y 2 83 ,此時圓的切線8y kx m 都滿意 m 2 6或 m 2 6,而當切線的斜率不存在時切線為 x 2 6與橢圓3 3 3x 2 y 22 6 2 6 2 6 2 61 的兩個交點為 , 或 , 滿意 OA OB ,綜上 , 存在圓心在原點8 4 3 3 3 3的圓 x 2y 2 8,使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A,B, 且 OA

20、 OB . 3x 1 x 2 4 km2由于 12 2 k , x x 2 21 m2 k 2 82 2 2所以 x 1 x 2 2 x 1 x 2 24 x x 2 4 km2 24 2 m2 8 88 k m2 2 4, 1 2 k 1 2 k 1 2 k 2 2| AB | x 1 x 2 2y 1 y 2 21 k 2 x 1 x 2 21 k 2 88 k m2 2 41 2 k 4 2 232 4 k4 5 k2 1 321 4 k2 , 3 4 k 4 k 1 3 4 k 4 k 1當 k 0 時 | AB | 323 14 k 2 112 4 k由于 4 k 2k 12 4 8

21、 所以 04 k 2 112 4 18 ,所以 323 323 14 k 2 112 4 12 , k k所以4 6 | AB | 2 3 當且僅當 k 2時取 ”=”. 3 2 當 k 0 時, | AB | 4 6. 3 當 AB 的斜率不存在時 , 兩個交點為 2 6, 2 6 或 2 6, 2 6 ,所以此時 | AB | 4 6, 3 3 3 3 3綜上 , |AB | 的取值范疇為 46 | AB | 2 3 即 : | AB | 46, 2 33 32、在平面直角坐標系 xOy 中,經(jīng)過點 0,2 且斜率為 k 的直線 l 與橢圓 x 2y 2 1 有兩個不同的交點 P 和2Q

22、（I）求 k 的取值范疇； （II ）設(shè)橢圓與 x軸正半軸、 y 軸正半軸的交點分別為 A,B,是否存在常數(shù) k ,使得向量 OP OQ 與 AB 共線？假如存在,求 k 值；假如不存在,請說明理由2解：（）由已知條件,直線 l 的方程為 y kx 2,代入橢圓方程得 x kx 2 2 12整理得 1k 2x 22 2 kx 1 0 直線 l 與橢圓有兩個不同的交點 P 和 Q 等價于28 k 24 1k 24 k 22 0,解得 k 2或 k 2即 k 的取值范疇為2 2 2,2 2,2 2（）設(shè) P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,就 OP OQ x 1 x 2,y 1 y 2 ,

23、由方程,x 1 x 2 4 2 k21 2 k又 y 1 y 2 k x 1 x 2 2 2而 A 2 0,B 0 1,AB 2 1, 所以 OP OQ 與 AB 共線等價于x 1 x 2 2 y 1 y 2 ,將代入上式,解得 k 2由（）知 k 2或 k 2,故沒有符合2 2 2題意的常數(shù) k 2 23、設(shè) F 、1 F 分別是橢圓 2 x y 1 的左、右焦點 . （）如 P 是該橢圓上的一個動點,求 PF 1PF 2 的5 4最大值和最小值；（） 是否存在過點 A（5,0）的直線 l 與橢圓交于不同的兩點 C、D,使得 |F2C|=|F2D|？如存在,求直線 l 的方程；如不存在,請說

24、明理由 . 解：易知 a 5 , b 2 , c ,1 F 1 1 0, , F 2 1 0, ,設(shè) P（x,y）,就 PF 1 PF 2 1 x , y 1 x , y x 2y 2 1,x 24 4 x 21 1 x 23 x 5 , 5 ,5 5當 x 0,即點 P 為橢圓短軸端點時,PF 1PF 2 有最小值 3；當 x 5,即點 P 為橢圓長軸端點時,PF 1PF 2 有最大值 4 （）假設(shè)存在滿意條件的直線 l 易知點 A（5,0）在橢圓的外部,當直線 l 的斜率不存在時,直線 l 與橢圓無交點,所在直線 l 斜率存在,設(shè)為 k,直線 l 的方程為 y k x 5 2 2x y由方

25、程組 5 4 1,得 5 k 24 x 250 k x 2125 k 220 0y k x 5依題意 2016 80 k 2 0,得 5k 5當 5k 5時,設(shè)交點 C x 1 , y 1 、D x 2 , y 2 ,5 5 5 5CD 的中點為 R x 0y 0 ,就 x 1 x 2 502 k 2, x 0 x 1 x 2 252 k 25 k 4 2 5 k 42y 0 k x 0 5 k 252 k5 202 k. 又|F2C|=|F2D| F 2 R l k k F 2 R 15 k 4 5 k 4k k F 2 R k 0 5 k 2022 k4 20 k 22 120k 2=20

26、k 24,而 20k 2=20k 24 不成立,所以不存1 252 k 4 20 k5 k 4在直線 l ,使得 |F2C|=|F2D|綜上所述,不存在直線 l,使得 |F2C|=|F2D| 2 24、橢圓 G：x2 y2 1 a b 0 的兩個焦點為 F1、F2,短軸兩端點 B 1、B2,已知 F1、 F2、B1、B 2四點a b共圓,且點 N（0,3）到橢圓上的點最遠距離為 5 2 .（1）求此時橢圓 G 的方程；（ 2）設(shè)斜率為 k（k 0）的直線 m 與橢圓 G 相交于不同的兩點 E、F,Q 為 EF 的中點,問 E、F 兩點能否關(guān)于過點 P（0,3 ）、3Q 的直線對稱？如能,求出

27、k 的取值范疇；如不能,請說明理由解：（ 1）依據(jù)橢圓的幾何性質(zhì),線段F1F2 與線段 B1B2 相互垂直平分,故橢圓中心即為該四點外接圓的圓心故該橢圓中a22 b2c ,即橢圓方程可為x22y22 b2,H（x,y ）為橢圓上一點,就有最大|HN|2x2y3 2y322 b218 ,其中byb,0b3,就yb 時|, HN2|值b26b92,b6 b950 得b352（舍去）,b3 , 當y3 時|,HN2 |有最大值2 b218,2 b21850 得b16所求橢圓方程為2 x32y2116（2）設(shè)E x 1,y 1,Fx22 x 12 y 11兩式相減得x 02 ky 00 ,y2,Q x

28、 0,y0,就由32162 x 2y2 21又直線 PQ直線 m 3216y01x03直線 PQ 方程為y1 x k3將點 Q（x 0, y0）代入上式得,3k3由得 Q（233k,3 3）, Q 點必在橢圓內(nèi)部2 x 02 y 01,94時, E、F 兩點3216由此得k247,又k0,94k0 或0k94故當k940, 0 ,22222關(guān)于點 P、Q 的直線對稱5、已知橢圓C:x2y21ab0的離心率為3,過右焦點 F的直線l與C相交于 A 、B 兩點, 當l的a2b232 斜率為 1時,坐標原點O到l的距離為 2（I）求a,b的值；（II ）C上是否存在點 P,使得當l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時

29、,有OPOAOB 成立？如存在,求出全部的P的坐標與l的方程；如不存在,說明理由；解：（）設(shè)F,c 0,當 l 的斜率為1 時,其方程為xyc0,O到 l 的距離為y2）,00cc,故c2,c1,2222由ec3,得a3,ba2c2=2a3（） C 上存在點 P ,使得當 l 繞 F 轉(zhuǎn)到某一位置時,有OPOAOB成立；由 （）知橢圓C 的方程為2 2x +2 3y =6. 設(shè)A x 1,y 1,B x 2,y2. 當l不垂直x 軸時,設(shè)l的方程為ykx1 假設(shè)C上存在點 P,且有OPOAOB 成立,就P 點的坐標為（x 1x2,y 12 x 1 x 2 23 y 1 y 2 26,整理得 2

30、 x 1 23 y 1 22 x 2 23 y 2 24 x 1 x 2 6 y 1 y 2 62 2 2 2又 A、B 在 C 上,即 2 x 1 3 y 1 6 , 2 x 2 3 y 2 6故 2 x 1 x 2 3 y 1 y 2 3 0 2 2將 y k x 1 代入 2 x 3 y ,6 并化簡得2 2 2 2 2 3 k x 6 k x 3 k 6 0 于是 x 1 x 22 6 k3 2k 2 , x 1x 2 = 32 k 23 k 62 , y 1 y 2 k 2 x 1 1 x 2 2 2 43 kk 22,代入解得,k 2 2,此時 x 1 x 2 32于是 y 1 y

31、 2 k x 1 x 2 2 = k, 即 P 3, k2 2 2因此,當 k 2 時,P 3, 2 ,l的方程為 2 x y 2 0；2 2當 k 2 時,P 3 , 2 ,l的方程為 2 x y 2 0；2 2（）當 l 垂直于 x 軸時,由 OA OB 2 , 0 知, C 上不存在點 P 使 OP OA OB 成立；綜上, C 上存在點 P 3, 2 使 OP OA OB 成立,此時 l 的方程為 2 x y 2 0 . 2 22 2x y6、已知直線 x 2 y 2 0 經(jīng)過橢圓 C :a 2b 2 1 a b 0的左頂點 A和上頂點 D,橢圓C 的右頂點10l : x為 B ,點S

32、是橢圓C上位于x軸上方的動點,直線 AS BS 與直線 3 分別交于 M N 兩點；（I）求橢圓C 的方程；（）求線段 MN 的長度的最小值；1（）當線段 MN 的長度最小時,在橢圓C 上是否存在這樣的點T ,使得TSB的面積為5 ？如存在,確定點T的個數(shù),如不存在,說明理由（I）由已知得,橢圓C 的左頂點為A 2,0,上頂點為D0,1,a2,b12故橢圓 C 的方程為 x y 2 14（）直線 AS 的斜率 k 明顯存在,且 k 0,故可設(shè)直線 AS 的方程為 y k x 2,從而 M 10 16 , k 3 3y k x 2由 x 22 得 1 4 k 2 x 216 k x 216 k

33、24 0 y 14設(shè) S x 1 , y 1 , 就 2, x 1 16 k 22 4 得 x 1 2 8 k2 2,從而 y 1 4 k2 即 S 2 8 k 22 , 4 k2 ,1 4 k 1 4 k 1 4 k 1 4 k 1 4 k又 B 2,0, 由x y10 4 1 k x 2得 xy 1031 N 103 ,3 1k 故 | MN | 163 k3 1k3 3 k又 k 0, | MN | 16 k 12 16 k 1 8,當且僅當16 k 1,即 k 1時等號成立3 3 k 3 3 k 3 3 3 k 4k 1時,線段 MN 的長度取最小值 84 3（）由（）可知,當 MN

34、取最小值時,k 146 4 4 2此時 BS 的方程為 x y 2 0, , , | BS |5 5 5要使橢圓 C 上存在點 T ,使得 TSB 的面積等于 1,只須 T 到直線 BS 的距離等于 2,所以 T 在平5 4行于 BS 且與 BS 距離等于 2 的直線 l 上；4設(shè)直線 l : x y t 0,就由 | t2 2|4 2 , 解得 t 32 或 t 527、已知雙曲線 x 2y 22 的左、右焦點分別為 F ,F ,過點 F 的動直線與雙曲線相交于 A,B 兩點（I）如動點 M 滿意 F M F A F B FO （其中 O 為坐標原點）,求點 M 的軌跡方程；（II ）在 x

35、 軸上是否存在定點 C ,使 CA CB 為常數(shù)？如存在,求出點 C 的坐標；如不存在,請說明理由解：由條件知 F 1 2 0, ,F 22 0, ,設(shè) A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 解法一：（ I）設(shè)Mx,y,就F M 1x2,y,F A 1x 12,y 1,x 2F B 1x 22,y 2,FO 12 0, ,由F M 1F A 1F B 1FO 得 1x2x 1x 26,即x 1x 2x4,yy 1y 2y 1y 2y于是 AB 的中點坐標為x24,y2當 AB 不與 x 軸垂直時,y 1y2x2y2xy8,即y 1y 2xy8x 12 4x 1x2又由于 A,B兩點在雙曲線

36、上,所以2 x 12 y 12,x22 y 22,兩式相減得2x 1x 2x 1x 2y 1y 2y 1y 2,即x 1x 2x4y 1y 2y 將y 1y2xy8x 1x 2代入上式,化簡得x62y24當 AB 與 x 軸垂直時,x 1x 22,求得M8 0, ,也滿意上述方程所以點 M 的軌跡方程是x2 62 y4（II ）假設(shè)在 x 軸上存在定點C m, ,使 CA CB 為常數(shù)當 AB 不與 x 軸垂直時,設(shè)直線AB 的方程是yk x2k1代入x2y22有1k2x22 4 k x4k220就x 1,x 2是上述方程的兩個實根,所以x 1x 24 k21,x x 24k22,k2k211

37、于是CA CBx 1m x 2m k2x 12x 22k21x x 22k2m x 1x24k2m2k214 k224k22k21m 4 k22 mk21k221 2 m k222 m21 2 424m2 mk21k1由于 CA CB 是與 k 無關(guān)的常數(shù),所以44m0,即m1,此時 CA CB =當 AB 與 x 軸垂直時,點A,B的坐標可分別設(shè)為2,2, 2,2,x 相切于坐標原點O 橢此時CA CB1,2 1,21半徑為 2 2 的圓 C 與直線 y故在 x 軸上存在定點C , ,使 CA CB 為常數(shù)8、在平面直角坐標系xoy 中,已知圓心在其次象限、圓x 2y 21與圓 C 的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10a291求圓 C 的方程；2摸索究圓 C 上是否存在異于原點的點Q ,使 Q 到橢圓右焦點F 的距離等于線段OF 的長如存在,懇求出點 Q 的坐標；如不存在,請說明理由解： 1設(shè)圓心坐標為 m,