行列式概念和性質(zhì)

1、關(guān)于行列式概念與性質(zhì)第一張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3.1 行列式的概念3.2 行列式值的和性質(zhì)、記算3.3 若干應(yīng)用(逆陣公式、克拉默法則等)本章的主要內(nèi)容重點(diǎn)內(nèi)容 行列式的計(jì)算第二張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1、概念2、性質(zhì)3.1 行列式的概念和性質(zhì)第三張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一、 概念 對(duì)任一n階矩陣用式子或用大寫字母 D 表示, 常把上述表達(dá)式稱為 A 的行列式 (determinant), 記作det A 表示一個(gè)與 A 相聯(lián)系的數(shù)，而把相聯(lián)系的那個(gè)數(shù)稱為行列式的值.今后，稱上述具有n 行n 列的表達(dá)式為n 階行列式.第四張，PPT共三十

2、一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定義把刪去第i 行及第j 列后所得的(n1)階子矩陣稱為對(duì)應(yīng)于元 aij 的余子矩陣，并以Sij 記之. 對(duì)一n階矩陣對(duì) n = 2, 3, , 用以下公式遞歸地定義 n 階行列式之值：def定義 一階矩陣 a11 的行列式之值定義為數(shù)a11 ，即det a11 defa11第五張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例 設(shè)def，計(jì)算該行列式的值解 因有 S11 = a22 , S12 = a21 , 故+第六張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例 設(shè), 計(jì)算 det A 的值.解def第七張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月若寫出計(jì)算3 階行列式值的

3、公式為第八張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月以下表的形式記 3 階行列式值的計(jì)算公式 說明 三階行列式包括3!項(xiàng),每一項(xiàng)都是位于不同行,不同列的三個(gè)元素的乘積, 其中三項(xiàng)為正, 三項(xiàng)為負(fù). 結(jié)論 n 階行列式的值是 n！個(gè)不同項(xiàng)的代數(shù)和，其中的每一項(xiàng)都是處于行列式不同行又不同列的n 個(gè)元之乘積.第九張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定義 對(duì) n 階行列式 det A，稱det Sij 為元 aij 的余子式 , 稱為元 aij 的代數(shù)余子式.例如第十張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月根據(jù)該定義，可重新表達(dá)行列式的值def其中 A1k 是元 a1k 對(duì)A 或 det A

4、的代數(shù)余子式.相當(dāng)于把行列式按第一行展開注 行列式的每個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式.第十一張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定理1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.說明 行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.2、性質(zhì)定理 對(duì)n 階矩陣 A ，有 行列式的值也可按第1列展開計(jì)算.第十二張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例如推論 若行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式為零.定理2 互換行列式的兩行(列),行列式值反號(hào). 定理3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k, 等于用數(shù) k 乘此行列式.第十三張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)

5、作于2022年6月請(qǐng)問若給n階行列式的每一個(gè)元素都乘以同一數(shù)k，等于用 乘以此行列式.思考推論1 對(duì) n 階行列式A ，有 推論2 行列式中若有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零證第十四張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月推論3一行(或列) 元素全為0的行列式值等于零定理4 若行列式的某一列(行)的元素都是兩數(shù)之和 則 D 等于下列兩個(gè)行列式之和 例如第十五張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月推論把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變例如 行列式等值變形法則第十六張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定理 行列式等于它的任一行(列)的各

6、元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和, 即或表達(dá)為若行列式按列展開，有定理 行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零, 即行列式的展開定理第十七張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證將行列式按第 i 行展開,有如果將行列式中的aij換成akj，那么自然有第十八張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月行列式含有兩個(gè)相同的行, 值為 0 .綜上所述,得公式第十九張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月注 在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí),直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡(jiǎn)化計(jì)算,因?yàn)榘岩粋€(gè)n階行列式換成n個(gè)(n1)階行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量,只是在行列式中某一行或某一列含

7、有較多的零時(shí),應(yīng)用展開定理才有意義，但展開定理在理論上是重要的 利用行列式按行按列展開定理, 并結(jié)合行列式性質(zhì),可簡(jiǎn)化行列式計(jì)算：方法 計(jì)算行列式時(shí), 可先用行列式的性質(zhì)將某一行(列)化為僅含1個(gè)非零元素,再按此行(列)展開,變?yōu)榈鸵浑A的行列式,如此繼續(xù)下去,直到化為三階或二階行列式.第二十張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例 計(jì)算行列式解 第二十一張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定理 設(shè) L 是有如下分塊形式的 ( n +p ) 階矩陣其中 A 是 n 階矩陣， B 是 p 階矩陣，則有在 A、B 是方陣時(shí)也成立定理 若A、B是兩個(gè)同階矩陣，則注意 公式中C 的元之具體值對(duì)

8、結(jié)果無(wú)影響.第二十二張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例 設(shè) 證明 第二十三張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證明 對(duì) 作運(yùn)算 ，把 化為下三角形行列式 設(shè)為對(duì) 作運(yùn)算 ，把 化為下三角形行列式 設(shè)為第二十四張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證明：對(duì) 作運(yùn)算 ，把 化為下三角形行列式 對(duì) D 的前 k 行作運(yùn)算 ，則第二十五張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月對(duì) 作運(yùn)算 ，把 化為下三角形行列式 對(duì) D 的后 n 列作運(yùn)算 ，則第二十六張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月對(duì) D 的前 k 行作運(yùn)算 ，再對(duì)后 n 列作運(yùn)算 ，把 D 化為下三角形行列式故第二十七張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例：設(shè) , D的(i, j)元的余子式和代數(shù)余子式依次記作 Mij 和Aij ，求分析：利用及第二十八張，PPT共三十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年