數(shù)字信號(hào)處理辦法研究生課程

1、第四章 功 率 譜 估 計(jì) 4.1 引言 4.2 經(jīng)典譜估計(jì) 4.3 現(xiàn)代譜估計(jì)中的參數(shù)建模 4.4 AR模型譜估計(jì)方法 4.5 最大熵譜估計(jì)方法4.1 引 言功率譜定義估計(jì)質(zhì)量評(píng)價(jià)功率譜估計(jì)的方法功率譜估計(jì)的應(yīng)用1、功率譜的定義信號(hào)的功率譜和其自相關(guān)函數(shù)服從一對(duì)傅里葉變換關(guān)系 對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，服從各態(tài)歷經(jīng)定理，集合平均可以用時(shí)間平均代替令l=n+m, 則 2、估計(jì)質(zhì)量評(píng)價(jià)無(wú)偏性：一致性：3、功率譜估計(jì)的方法經(jīng)典譜估計(jì)方法間接方法：BT法直接方法：周期圖法現(xiàn)代譜估計(jì)方法參數(shù)法：ARMA模型法（AR模型、MA模型、ARMA模型）非參數(shù)法：諧波分解法、多分量法4、功率譜估計(jì)的應(yīng)用在信號(hào)處理的許多

2、場(chǎng)所，要求預(yù)先知道信號(hào)的功率譜密度(或自相關(guān)函數(shù))；常常利用功率譜估計(jì)來(lái)得到線性系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)；從寬帶噪聲中檢測(cè)窄帶信號(hào)。 4.2 經(jīng) 典 譜 估 計(jì)BT法周期圖法改進(jìn)的周期圖法4.2.1 BT法BT法是先估計(jì)自相關(guān)函數(shù), 然后進(jìn)行傅里葉變換得到功率譜。有偏自相關(guān)函數(shù)估計(jì)的誤差相對(duì)較小，是一種漸近一致估計(jì)：4.2.2 周期圖法 周期圖法的定義如下: 1. 周期圖與BT法的等價(jià)關(guān)系 令 m=k-n, 即k=m+n，則 利用有偏自相關(guān)函數(shù)的BT法和周期圖法是等價(jià)的。 2. 周期圖法譜估計(jì)質(zhì)量分析 1) 周期圖的偏移 式中 上式在頻域表示為： 式中 周期圖的統(tǒng)計(jì)平均值等于它的真值卷積三角譜窗函數(shù)，因

3、此周期圖是有偏估計(jì)，但當(dāng)N時(shí)，wB(m)1，三角譜窗函數(shù)趨近于函數(shù)，周期圖的統(tǒng)計(jì)平均值趨于它的真值，因此周期圖屬于漸近無(wú)偏估計(jì)。 2) 周期圖的方差 為分析簡(jiǎn)單起見(jiàn)， 假設(shè)x(n)是實(shí)的零均值的正態(tài)白噪聲信號(hào)，方差是x2，即功率譜是常數(shù)x2 ，其周期圖用IN()表示，N表示觀測(cè)數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度。 用這種方法估計(jì)的功率譜在2x附近起伏很大，故周期圖是非一致估計(jì)，是一種很差的功率譜估計(jì)方法。 圖 4.2.2 白噪聲的周期圖 4.2.3 經(jīng)典譜估計(jì)方法改進(jìn)Bartlett平均周期圖法窗口處理法平均周期圖Welch法（修正的周期圖求平均法）1. Bartlett平均周期圖法 主要思想：對(duì)序列x(n)進(jìn)行L次

4、獨(dú)立觀測(cè)或?qū)⑵浞殖蒐段，計(jì)算每組觀測(cè)數(shù)據(jù)的周期圖，再將L個(gè)周期圖加和后求平均。 假設(shè)隨機(jī)信號(hào)x(n)的觀測(cè)數(shù)據(jù)區(qū)間為：0nM-1，共進(jìn)行了L次獨(dú)立觀測(cè)，得到L組記錄數(shù)據(jù)，每一組記錄數(shù)據(jù)用xi(n), i=1, 2, 3, ,L表示； 或?qū)﹂L(zhǎng)為N的數(shù)據(jù)x(n)分成L段，每段有M個(gè)數(shù)據(jù)，N=LM，第i段數(shù)據(jù)表示為xi(n)= x(n+iM-M)。 第i組的周期圖用下式表示： 估計(jì)方法： 將得到的L個(gè)周期圖進(jìn)行平均，作為信號(hào)x(n)的功率譜估計(jì)， 公式如下： 估計(jì)效果分析： 平均周期圖的估計(jì)方差是周期圖的方差的1/L，L越大方差越小，功率譜越平滑；相應(yīng)的，M越小，偏移越大，分辨率越低；估計(jì)的均方誤差

5、也減少； 以分辨率的降低換取了估計(jì)方差的減少，估計(jì)量的方差和分辨率是一對(duì)矛盾。圖 4.2.3 平均周期圖法 2、窗口處理法平均周期圖主要思想：用一適當(dāng)?shù)墓β首V窗函數(shù)W(ej)與周期圖進(jìn)行卷積，來(lái)達(dá)到使周期圖平滑的目的的。 式中 -(M-1)nM-1 估計(jì)方法：那么 又 偏移分析： 估計(jì)效果分析：可得 周期圖的窗函數(shù)法仍然是有偏估計(jì), 其偏移和wB(m)、w(m)兩個(gè)窗函數(shù)有關(guān)。 如果w(m)窗的寬度比較窄，M比N小得多，這樣|m|p 4.4 AR譜估計(jì)的方法AR譜估計(jì)方法可歸結(jié)為求解AR模型系數(shù)或線性預(yù)測(cè)器系數(shù)的問(wèn)題。AR模型參數(shù)估計(jì)方法：信號(hào)預(yù)測(cè)誤差最小原則（或預(yù)測(cè)誤差功率最?。┳韵嚓P(guān)法（L

6、evison遞推法）Burg法協(xié)方差法修正協(xié)方差法（前后向線性預(yù)測(cè)最小二乘法）最大熵原則最大熵譜估計(jì)方法1、 自相關(guān)法列文森（Levinson）遞推 估計(jì)方法：自相關(guān)法的出發(fā)點(diǎn)是選擇AR模型的參數(shù)使預(yù)測(cè)誤差功率最??；采用Levison-Durbin遞推方法求解Yule-Walker方程得到AR模型參數(shù)。 預(yù)測(cè)誤差功率為 假設(shè)信號(hào)x(n)的數(shù)據(jù)區(qū)間在0nN-1范圍，有P個(gè)預(yù)測(cè)系數(shù)，N個(gè)數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)沖激響應(yīng)為api(i=0,1, 2, , P)的濾波器， 輸出預(yù)測(cè)誤差e(n)的長(zhǎng)度為N+P， 因此應(yīng)用下式計(jì)算: 預(yù)測(cè)誤差功率最小，得到 采用Levinson-Durbin遞推法求解Yule-Walker

7、方程： 由k=1開(kāi)始遞推，遞推到k=p，依次得到a11,21，a21,a22, 22，ap1,ap2,app,2p。 AR模型的各個(gè)系數(shù)以及模型輸入白噪聲方差求出后， 信號(hào)功率譜用下式計(jì)算： 圖 4.5.1 利用列文森遞推法計(jì)算功率譜的流程圖 性能分析：該方法需要基于有限的觀測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)序列，當(dāng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度較短時(shí)，估計(jì)誤差會(huì)比較大，AR參數(shù)的計(jì)算就會(huì)引入很大的誤差。從而導(dǎo)致功率譜估計(jì)出現(xiàn)譜線分裂與譜峰頻率偏移等現(xiàn)象。2、 伯格（Burg）遞推法 估計(jì)方法：直接由時(shí)間序列計(jì)算AR模型參數(shù)的方法，求前、后向預(yù)測(cè)誤差平均功率最小時(shí)的反射系數(shù)kp，進(jìn)而求AR模型參數(shù)ak和2w。 設(shè)信號(hào)x(n)觀測(cè)數(shù)據(jù)

8、區(qū)間為：0nN-1，前向、后向預(yù)測(cè)誤差功率分別用p,e和p,b表示，預(yù)測(cè)誤差平均功率用p為 其中，前向、后向預(yù)測(cè)誤差公式分別為 求預(yù)測(cè)誤差平均功率p最小時(shí)的反射系數(shù)kp，令 基于反射系數(shù)kp，由Levinson-Durbin遞推關(guān)系求AR模型參數(shù)ak和2w，進(jìn)而求得功率譜Pxx圖 4.5.2 伯格遞推法流程圖 性能分析：該方法避免了采用有限數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算，適合短序列參數(shù)估計(jì)，克服了L-D遞推中的某些缺點(diǎn)，計(jì)算量小。但對(duì)正弦信號(hào)的譜估計(jì)，仍存在某些譜線分裂與頻率偏移現(xiàn)象。3、 協(xié)方差法與修正協(xié)方差法（1）. 協(xié)方差法 估計(jì)方法：利用使預(yù)測(cè)誤差功率最小的方法求模型參數(shù) 該公式中使用的觀測(cè)

9、數(shù)據(jù)均已得到，不需要在數(shù)據(jù)兩端補(bǔ)充零點(diǎn)， 因此比較自相關(guān)法去掉了加窗處理的不合理假設(shè)。 性能分析： 適用于非平穩(wěn)信號(hào)；一些實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明它的分辨率優(yōu)于自相關(guān)法，另外對(duì)于純正弦信號(hào)數(shù)據(jù)，可以有效地估計(jì)正弦信號(hào)的頻率。 （2）. 修正協(xié)方差法（前后向線性預(yù)測(cè)最小二乘法）： 估計(jì)方法：修正協(xié)方差法使用前向和后向預(yù)測(cè)誤差平均值最小的方法， 估計(jì)AR模型的參數(shù)，進(jìn)而估計(jì)信號(hào)的功率譜。 前向和后向預(yù)測(cè)誤差功率pe、pb分別用下式表示： 預(yù)測(cè)誤差平均功率最小 性能分析： 該方法去掉了Burg法所用的Levinson的約束條件，估計(jì)得到的譜在譜線分裂和頻率偏移時(shí)較Burg法有較大改善；該方法也適用于非平穩(wěn)信號(hào)。

10、 幾種方法的比較：自相關(guān)法可以用Levinson遞推算法，運(yùn)算量小，但分辨率受窗長(zhǎng)度的限制；協(xié)方差法，去除了自相關(guān)法加窗處理的不合理假設(shè)，分辨率高，運(yùn)算量較大；修正協(xié)方差法，分辨率高，在譜線分裂和偏移上較Burg法有較大改善，運(yùn)算量大；Burg算法，可用改進(jìn)的Levinson遞推算法，分辨率高，但對(duì)正弦信號(hào)存在譜線分裂和偏移現(xiàn)象。 例 已知信號(hào)的四個(gè)觀察數(shù)據(jù)為x(n)=x(0), x(1), x(2), x(3)=2, 4, 1, 3， 分別用自相關(guān)法和協(xié)方差法估計(jì)AR（1）模型參數(shù)。 解（1） 自相關(guān)法： (2) 協(xié)方差法: 4、 關(guān)于AR模型階次的選擇對(duì)于白噪中的AR信號(hào)，其階次的選擇應(yīng)折

11、衷考慮。如選擇AR模型，其階次應(yīng)加大，較低的階次會(huì)使譜估計(jì)產(chǎn)生偏移， 降低分辨率。信噪比愈低，平滑作用愈嚴(yán)重，愈需要高的階次， 因此信噪比低應(yīng)選高的階次。階次愈高，分辨率愈高；但階次太高，會(huì)使估計(jì)誤差加大，譜峰分裂。圖 4.5.3 AR模型階次太小時(shí)的平滑作用最終預(yù)測(cè)誤差（FPE）準(zhǔn)則 阿凱克信息論準(zhǔn)則自回歸傳遞函數(shù)準(zhǔn)則（CAT） 4.5 最大熵譜估計(jì) 估計(jì)思想：采用最大熵原則，外推自相關(guān)函數(shù)方法估計(jì)信號(hào)功率譜。它基于將已知的有限長(zhǎng)度自相關(guān)序列以外的數(shù)據(jù)用外推的方法求得，而不是把它們當(dāng)作是零。 1. 利用最大熵的原則外推自相關(guān)函數(shù) 按照Shannon對(duì)熵的定義， 當(dāng)隨機(jī)變量X取離散值時(shí)，熵的定義為 式中