5、一維隨機(jī)變量及分布

1、復(fù)習(xí)常見(jiàn)的離散型分布 兩點(diǎn)分布 二項(xiàng)分布 泊松分布 全部可能的取值； 取值的概率. 隨機(jī)變量 X 分布列分布函數(shù)概率分布與分布函數(shù)的關(guān)系?連續(xù)型離散型分布函數(shù)的特征概率函數(shù)或分布律或概率分布 F(x)= P(X x)0 pk 1 F(- )= 0， F(+ )= 1; F(x)是 x 的非減函數(shù); P(a a) = 1- F(a);X 0 1pk 1- p p只有兩個(gè)互逆結(jié)果的 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) (n+1)p 二項(xiàng)分布的逼近式其圖形是右連續(xù)的階梯曲線(xiàn)在點(diǎn) xk 處有跳躍，躍度為 pk在一定時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)在空間給定區(qū)域的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)的個(gè)數(shù) 在這個(gè)意義上，我們說(shuō) 對(duì)于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的分布列

2、， 也就知道了該隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律. 離散型隨機(jī)變量由它的分布列唯一確定. 下面，我們將向大家介紹另一種類(lèi)型的隨機(jī)變量我們介紹了離散型隨機(jī)變量及其概率分布. 只要知道了隨機(jī)變量的分布函數(shù)，就可以計(jì)算與該隨機(jī)變量有關(guān)的事件的概率. 連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法. 令 X 為落入后這個(gè)質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn) O 的距離，解 顯然 X 為隨機(jī)變量，3 連續(xù)型隨機(jī)變量全部可能取值有無(wú)窮多，而且充滿(mǎn)一個(gè)(或若干)區(qū)間而不能一一列舉 類(lèi)似于前面對(duì)離散型隨機(jī)變量的討論，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量我們首先關(guān)心的是： 分布函數(shù) 其取值的概率規(guī)律 例1(P.65 例7) 如何描述它取值的概率規(guī)律. ？設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)等可能地落入?yún)^(qū)間0,

3、2內(nèi)， 求 X 的分布函數(shù). 且可能取值充滿(mǎn)了區(qū)間0, 2， 當(dāng) x 0 時(shí)，F(xiàn)(x)= P(X x)故 X 的分布函數(shù)為 = P( )= 0;當(dāng) 0 x 2 時(shí)， F(x)= P(X x)= x / 2； 當(dāng) x 2 時(shí)，F(xiàn)(x)= P(X x)= P(X 0)+ P(0 X 2)+ P(2 X x) = 0 + 2/ 2 + 0 = 1. 非負(fù)函數(shù)不能象離散型那樣, 以指定它取每個(gè)值的概率的方式去給出其概率分布1 . .0 1 2x F . 可積 連續(xù)函數(shù) 簡(jiǎn)稱(chēng)為概率密度或密度. 對(duì)于隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù) F(x), 若存在非負(fù)可積函數(shù) f (x)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù) x，有 則稱(chēng) X 為

4、連續(xù)型隨機(jī)變量， 由定義一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度稱(chēng) f (x)為 X 的概率密度函數(shù)，定義1(P.63定義3) 密度函數(shù)的基本特性： (1) f (x) 0 ；= 1 - 0 1 ； (2) P(x1 X x2) = F(x2) - F(x1) (3)(4) (5) = 0 判定一個(gè)函數(shù) f (x) 為某連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度的充要條件獨(dú)點(diǎn)概率非負(fù)性 規(guī)范性 可微性 概率公式 y O xy = f (x) 面積為1x1 x2 若 f (x) 在點(diǎn) x 處連續(xù)， 則 P( X = x0 ) = 0 . P(aXb)= P(a Xb)= P(aXb )= P(aXb ) 幾乎不可能事件幾乎必

5、然事件 P(A)= 0 A = ； P(B)=1 B = . X 取值于(x , x+x的概率=其密度在此區(qū)間上的積分可積 連續(xù)型的分布函數(shù)必連續(xù) 所以，若已知密度函數(shù)，該連續(xù)型隨機(jī)變量的概率規(guī)律就得到了全面描述. 即在某點(diǎn)密度曲線(xiàn)的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度. 注意，密度函數(shù) f (x) 在某點(diǎn) a 處的值，并不等于 X 取值的概率. 這表明 f (x)x 在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與 P X= xk= pk 在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類(lèi)似. 它表明隨機(jī)變量 X 取值于區(qū)間(x , x+x的概率近似等于 f (x)x；但這個(gè)值越大，則 X 取 a 附近的值的概率就越大.

6、 如果我們把概率理解為質(zhì)量， 恰好是 X 落在區(qū)間 ( x , x+x 上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度 x 之比的極限. 這表明 X 的密度 f (x) 在 x 這一點(diǎn)的值， 若 x 是 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)，則= f (x) 對(duì) f (x) 的進(jìn)一步理解:則 f (x) 相當(dāng)于線(xiàn)密度. 由極限概念知 質(zhì)量 連續(xù)型隨機(jī)變量由它的密度函數(shù)所唯一確定. 例1(P.66例8) 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為(1) 確定常數(shù) A； (2) 求 X 的分布函數(shù) F(x); 解(1) (3) 求 P(0X1). 由概率密度定義知 當(dāng) x 0 時(shí)，當(dāng) 0 x 1)=1- P(X1)F(1) P(0X1) = F(1)-

7、F(0) 用概率密度求 例1(P66.例9) 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為(1) 確定系數(shù) A ; (2)求 P(|X| 0為常數(shù)，記為 XE( ). 2. 指數(shù)分布指數(shù)分布的分布函數(shù)： F(x) O x1 如電子產(chǎn)品或動(dòng)物壽命的分布, 一般地, 當(dāng)隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流中在長(zhǎng) t 的時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)服從參數(shù)為t 的泊松分布時(shí),其相繼出現(xiàn)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的事件間就服從參數(shù)為 的指數(shù)分布. = 1 定義2(P.66定義) 若連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為 f (x) O x 。 壽命 X 服從參數(shù)為0.05 的指數(shù)分布，解 X E(0. 05), (1) P(0 X 20) 例4(P.66例9) 從某項(xiàng)壽命試驗(yàn)

8、的數(shù)據(jù)中知，(1) 求 P(0 80|X 50); 事件 X 80X 50， P(X 80|X 50) 即有 - 0.05 x x ) x ) 0.1 , 則 x 取值應(yīng)在什么范圍內(nèi)？回憶一個(gè)重要的二重積分： 若連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為 則稱(chēng) X 服從參數(shù)為 和 的正態(tài)分布，正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布. 十九世紀(jì)前葉,高斯加以推廣得到正態(tài)分布， 德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)概率的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面.定義3(P.69 定義) 記為 XN( , 2 ). f (x)所確定的曲線(xiàn)叫作正態(tài)曲線(xiàn). 其中 - 0 為常數(shù)， 3. 正態(tài)分布所以通常稱(chēng)為高斯分布.

9、由于連續(xù)型隨機(jī)變量唯一地由它的密度函數(shù)所描述，我們來(lái)看看正態(tài)分布的密度函數(shù)有什么特點(diǎn). 在各種分布中具首要地位正態(tài)分布密度的性質(zhì) (1) 在 x = 處取到最大值故 f (x)以為對(duì)稱(chēng)軸，令 x=+c, x=-c (c0), 分別代入f (x), 可得且 f (+c)=f (-c) f (+c) f (), f (-c)f ()x =為 f (x) 的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo). (2) 正態(tài)分布的密度曲線(xiàn)位于 x 軸的上方,且關(guān)于 x = 對(duì)稱(chēng)，對(duì)密度函數(shù)求導(dǎo)：= 0 ， (3) 密度曲線(xiàn) y = f (x) 有拐點(diǎn)即曲線(xiàn) y = f (x) 向左右伸展時(shí),越來(lái)越貼近 x 軸. 當(dāng) x 時(shí)，f (x)

10、 0+, 決定了圖形中峰的陡峭程度若固定 ，改變 的值，反之亦然， 則密度曲線(xiàn)左右整體平移. (4) f (x) 以 x 軸為水平漸近線(xiàn); 正態(tài)分布 N( , 2 )的密度函數(shù)圖形的特點(diǎn): 兩頭低,中間高,左右對(duì)稱(chēng)的 “峰” 狀 若固定 ，改變 的值， 決定了圖形的中心位置 決定圖形的中心位置; 但每個(gè)因素所起的作用不大. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的股票價(jià)格、產(chǎn)品的銷(xiāo)量等等，都服從或近似服從正態(tài)分布. 正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度；射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差，測(cè)量誤差， 從直方圖，我們可以初步看出, 年降雨量近似服從正態(tài)分布. 用上海99年降雨量的數(shù)據(jù)畫(huà)出了頻率直方圖. 下面是我們用某

11、大學(xué)男大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫(huà)出的頻率直方圖.可見(jiàn), 男大學(xué)生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布. 除了上面提到的年降雨量和某地區(qū)成年男子的身高、體重外,農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長(zhǎng)、株高； 在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中大量的隨機(jī)變量都服從或者近似服從正態(tài)分布.生物學(xué)中同一群體的形態(tài)指標(biāo)， 電子元器件的信號(hào)噪聲、電壓、電流； 擬合的正態(tài)密度曲線(xiàn)有很多分布還可以用正態(tài)分布近似. 而正態(tài)分布自身還有很多良好的性質(zhì). 若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多， 每一因素獨(dú)立， 服從正態(tài)分布若隨機(jī)變量 X N( , 2 )， 則 正態(tài)分布的分布函數(shù)X 的分布函數(shù) 下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 = 0 , = 1 的正態(tài)

12、分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 (x) 和 (x)表示：可查表得其值 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線(xiàn)性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 求 P(X 2. 5)及Y N(0, 1) 設(shè) XN ( , 2 )， P(-1.64 X 2. 5)= 1-(2. 5) P(X 0. 5)= F(0. 5) 查表得= 0. 6915 ; = 1 - 0. 9938 = 0. 0062 ; P(-1.64 X 250) = 1- P(X 250) = 1-(2. 32) = 1- 0. 9898 = 0. 0102 . 再看一個(gè)應(yīng)用正態(tài)分布的例子上一講我們已經(jīng)看到，當(dāng)

13、n 很大，p 接近 0 或 1 時(shí)，二項(xiàng)分布近似泊松分布; 可以證明，如果 n 很大，而 p 不接近于 0 或 1 時(shí)， 二項(xiàng)分布近似于正態(tài)分布. 例8 公共汽車(chē)車(chē)門(mén)高度是按男子與車(chē)門(mén)頂頭碰頭機(jī)會(huì)在 0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的.問(wèn)門(mén)高度應(yīng)如何確定? 解 設(shè)車(chē)門(mén)高度為 h cm, 按設(shè)計(jì)要求應(yīng)有 P(Xh)0.01或 P(X 0. 99 ， h=170+13.98 184 . 設(shè)計(jì)車(chē)門(mén)高度為184mm時(shí)，可使男子與車(chē)門(mén)頂碰頭機(jī)會(huì)不超過(guò)0.01.若 XN( , 2 )時(shí)，要求滿(mǎn)足 P(X x0)= p 的 x0 ： P(X x0)= p 已知1987 年全國(guó)普通高校統(tǒng)考物理成績(jī)XN(42,36),這表明

14、有16%的考生成績(jī)超過(guò)48分， 如果某考生得48分,求有多少考生名列該考生之前?例9 (確定超前百分位數(shù)、排定名次)解 由條件知即求 P(X48)， 查表可知即84%的考生名列該考生之后.= 1-(1), 即成績(jī)高于甲的人數(shù)應(yīng)占考生的16.9%,對(duì)于錄取考試人們最關(guān)心的是 自己能否達(dá)到錄取分?jǐn)?shù)線(xiàn)？ 自己的名次？ 某公司招工300名(正式工280,臨時(shí)工20名),例10 (預(yù)測(cè)錄取分?jǐn)?shù)和考生名次) 解 設(shè)考生成績(jī)?yōu)閄,最低分?jǐn)?shù)線(xiàn)為 x0, 166, X N(166,932)，(1)(預(yù)測(cè)分?jǐn)?shù)線(xiàn)) 考后由媒體得知：考試總平均成績(jī)?yōu)?66分,360分以上的高分考生有31人. 考生甲得256分,問(wèn)他能

15、否被錄用？如錄用能否被錄為正式工？ 有1657人參加考試,考試滿(mǎn)分為400分.高于此線(xiàn)的考生頻率為 300 / 1657 高于360分的考生頻率為(2)(預(yù)測(cè)甲的名次) 當(dāng) X=256 時(shí), P(X256) 這表明高于256分的頻率應(yīng)為0.169,排在甲前應(yīng)有甲大約排在283名. 故甲能被錄取,但成為正式工的可能性不大. P(X360)類(lèi)似計(jì)算可得，= 0. 9974 例11(P73.例13) 設(shè) XN( , 2 )， 解 求 P(|X-| k ) k=1,2,3 . P(|X-| 3 ) = P( - 3 X u ) = 的數(shù) u 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè) 分位數(shù)；定義4(P.74 定義)設(shè) X

16、N(0 , 1 )，0 u )= 1- P(Xu ) 稱(chēng)滿(mǎn)足等式 P(|X|u/2 ) = 的數(shù) u/2 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè) 分位數(shù)； (x) O xu (x) O x / 2 / 2-u/2u/2= ， = 1-(u ) (u )= 1- ， 可查表得值類(lèi)似可得 (u/2 )= 1- /2 ， 若 XN( , 2 )時(shí)，要求滿(mǎn)足 P(X x0 )= 的 x0 ： (u )= 1- u 若某校有200名初一學(xué)生,按能力分成5組參加某項(xiàng)測(cè)驗(yàn),求各組分別應(yīng)有多少人?例12（按能力分組）學(xué)生學(xué)習(xí)能力一般服從正態(tài)分布,解 設(shè)學(xué)習(xí)能力X N (0,1),由三 原則,則每組應(yīng)占6/5的范圍, 由三 原則

17、,可認(rèn)為 X 落在(-3, 3)內(nèi), (x)x-3 3查表可知 由對(duì)稱(chēng)性可知 A 組和E 組應(yīng)有2000.034587 (人) B 組和D 組應(yīng)有2000.2383747 (人) C 組應(yīng)有200-472-72 = 92 (人)現(xiàn)分成組距相同的五組 A,B,C,D,E(如圖), -1.8 -0.6 0.6 1.8A B C D E隨機(jī)變量 X分布函數(shù)離散型連續(xù)型 分布列 密度函數(shù) 復(fù)習(xí)其圖形是右連續(xù)的階梯曲線(xiàn) 其圖形是連續(xù)曲線(xiàn) f (x) 常見(jiàn)的分布均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布離散型連續(xù)型兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布超幾何分布、幾何分布x p(x)0 f (x)x0 特征非負(fù) 規(guī)范 至此，我們

18、已介紹了兩類(lèi)重要的隨機(jī)變量:全部可能的取值取值的概率分布是判定一個(gè)函數(shù)是否為某隨機(jī)變量X的分布列或密度的充要條件.F(X)= P(X x) P x1 X x2 = F( x2) - F( x1) 在 f (x)的連續(xù)點(diǎn)， 由于改變被積函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的值不影響積分結(jié)果的性質(zhì),故可在 沒(méi)意義的點(diǎn)處任意規(guī)定 f (x) 的值.是判定一個(gè)函數(shù) f (x)是否為某連續(xù)型隨機(jī)變量X 的概率密度的充要條件.P( X = x0 )= 0 P(aXb)= P(a Xb)= P(aXb )= P(aXb ) 分布函數(shù)概率分布與分布函數(shù)的關(guān)系?分布函數(shù)的特征 F(x)= P(X x)F(- )= 0， F(+ )= 1; F(x)是