2.5.1直線與圓的位置關(guān)系 課件（共18張PPT）

1、2.5 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2.5.1直線與圓的位置關(guān)系1.能根據(jù)給定直線與圓的方程,判定直線與圓的位置關(guān)系.2.利用圓的幾何性質(zhì)探索解決直線與圓的位置關(guān)系相關(guān)問題的方法.3.能用直線與圓的方程解決一些簡單數(shù)學(xué)問題與實際問題. 設(shè)圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),直線l:Ax+By+C=0,圓心C(a,b)到直線l的距離d=,由消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,其判別式為.位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)210幾何法dr代數(shù)法0=00)的交點為A、B,d為圓心C(a,b)到直線l的距離,則弦長|AB|=2.()提示:設(shè)線段AB的中點為D,則|CD|=d,在直角

2、三角形ACD中,|AD|2=|AC|2-|CD|2,從而|AB|=2|AD|=2.因此結(jié)論正確.直線與圓的位置關(guān)系的判定1.直線與圓的位置關(guān)系有三種:相交、相切、相離.主要區(qū)別是直線與圓的公共點的個數(shù).2.直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法:由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系進行判斷.(2)代數(shù)法:根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷.(3)直線系法:若直線恒過定點,可通過判斷定點與圓的位置關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系.但有一定的局限性,必須是過定點的直線系.已知圓x2+y2=1與直線y=kx-3k,當k分別為何值時,直線與圓的位置關(guān)系滿足下列條件:相交;相切;相離.

3、解析解法一(代數(shù)法):聯(lián)立消去y,整理得(k2+1)x2-6k2x+9k2-1=0,則=(-6k2)2-4(k2+1)(9k2-1)=-32k2+4=4(1-8k2).當直線與圓相交時,0,即-k;當直線與圓相切時,=0,即k=;當直線與圓相離時,0,即k.解法二(幾何法):圓心(0,0)到直線y=kx-3k的距離d=.由題意知,圓的半徑r=1.當直線與圓相交時,dr,即1,解得-kr,即1,解得k.圓的切線相關(guān)問題的解法 過點P(x0,y0)的圓的切線方程的求法(1)若點P在圓上,求點P與圓心連線的斜率,若斜率存在且不為0,記為k,則切線斜率為-;若斜率為0,則切線斜率不存在;若斜率不存在,

4、則切線斜率為0.(2)若點P在圓外,設(shè)切線斜率為k,寫出切線方程,利用圓心到切線的距離等于半徑r,解出k即可(若僅求出一個k值,則有一條斜率不存在的切線). 切線長的求法過圓外一點P,可作圓的兩條切線,我們把點P與切點之間的線段的長稱為切線長.切線長可由勾股定理來計算.如圖,從圓外一點P(x0,y0)作圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的切線,則切線長為. 過圓上一點的切線僅有一條,可熟記下列結(jié)論(1)若點P(x0,y0)在圓x2+y2=r2(r0)上,則過點P的切線方程為x0 x+y0y=r2;(2)若點P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)上,則過點P的切線方

5、程為(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;(3)若點P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)上,則過點P的切線方程為x0 x+y0y+D+E+F=0.(1)由直線y=x+1上任一點向圓(x-3)2+y2=1引切線,則該切線長的最小值為()A.1B.2C.D.3(2)過點A(4,-3)作圓C:(x-3)2+(y-1)2=1的切線,則其切線長為.解析(1)由題意得,圓心(3,0)到直線y=x+1的距離d=2,圓的半徑為1,故切線長的最小值為=.(2)由題意得圓心C的坐標為(3,1).設(shè)切點為B,則ABC為直角三角形,又|AC|=,|BC|=1,所以|

6、AB|=4,所以切線長為4.答案(1)C(2)4直線與圓相交的弦長及圓的中點弦問題 求圓的弦長的方法(1)交點法:若直線與圓的交點坐標容易求出,則直接利用兩點間的距離公式求解.(2)弦長公式:設(shè)直線l:y=kx+b與圓的兩個交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),將直線l的方程代入圓的方程,消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得弦長公式:|AB|=|x1-x2|=.(3)幾何法:如圖,半徑r、圓心到弦的距離d、弦長l三者之間的關(guān)系為r2=d2+,即弦長l=2. 圖 圓的中點弦問題(1)如講解1中的圖,線段AB是圓C的弦,D是弦AB的中點,則在解題中可應(yīng)用以下性質(zhì):ABCD,如果斜率kAB,kCD都存

7、在,則kABkCD=-1;設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),則x0=,y0=.(2)解決與中點弦有關(guān)的問題,有下列三種常見方法:利用根與系數(shù)的關(guān)系求出中點坐標;設(shè)出弦的兩個端點的坐標,代入圓的方程利用作差法求出斜率,此法即為點差法;利用圓本身的幾何性質(zhì),即圓心與非直徑的弦中點的連線與弦垂直.利用直線、圓的方程解決實際問題與平面幾何問題 解決實際問題的一般步驟(1)閱讀理解,認真審題,了解問題的實際情境,把握問題的數(shù)學(xué)本質(zhì).(2)引進數(shù)學(xué)符號,具體分析問題中的數(shù)量關(guān)系,正確建立數(shù)學(xué)模型,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.(3)利用數(shù)學(xué)方法將得到的數(shù)學(xué)問題(數(shù)學(xué)模型)予以解答,求得結(jié)果.(4)轉(zhuǎn)化為具體問題,做出解答. 用坐標法解決平面幾何問題的思維過程 已知某隧道截面是一圓拱形,路面寬為4米,高為4米.車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛,一輛寬為2.5米、高為3.5米的貨車能否駛?cè)脒@個隧道?請說明理由.(參考數(shù)據(jù):3.74)解析該貨車不能駛?cè)脒@個隧道.理由如下:建立如圖所示的平面直角坐標系.A(-2,0),