2022年主元法破解極值點偏移問題

1、. .主元法破解極值點偏移問題2022 年全國 I 卷的第 21 題是一道導數(shù)應用問題,出現(xiàn)的形式特別簡潔,考察了函數(shù)的雙零點的問題,也是典型的極值點偏移的問題, 是考生實力與潛力的綜合演練場雖然大多同學懂得其題意,但對于極值點偏移的本質懂得的深度欠佳,面對此類問題大多感到“ 似懂非懂或“ 云里霧里所謂主元法就是在一個多元數(shù)學問題中以其中一個為“ 主元,將問題化歸為該主元的函數(shù)、方程或不等式等問題,其本質是函數(shù)與方程思想的應用作為一線的訓練教學工作者,筆者嘗試用 主元法破解函數(shù)的極值點偏移問題,理性的對此類進展剖析、探究,旨在為今后的高考命題和高考復習教學供應一點參考 . 一、試題再現(xiàn)及解析一

2、題目2022年全國 I 卷函數(shù)fxx2exa x12有兩個零點1求 a 的取值圍；2設 x x 是 f x 的兩個零點,證明：x 1 x 2 2此題第 1小題含有參數(shù)的函數(shù) f x 有兩個零點,自然想到爭論其單調性,結合零點存在性定理求得 a 的取值圍是 0,第 2小題是典型的極值點偏移的問題,如何證明呢？二官方解析2不妨設x 1x ,由 1知,x 1,1 ,x 21,2x 2,1, fx 在,1 上單調遞減,所以x 1x 22等價于fx 1f2x 2,即fx 2f2x 2212,.word.zl.由于f2x22 x ex 2a x212,而fx 2x22ex 2a x22所以f2x 2fx

3、22 x ex 2x 22e x 2e2xex,令g x2 xexxx e ,那么gxx1x 2所以當x1時,gx0,而g10,gx 20,故x 1故當x1時,g x10從而g x 2f2. . .二、對解析的分析本問待證是兩個變量的不等式,官方解析的變形是 x 1 2 x ,借助于函數(shù)的特性及其單調性,構造以 x 為主元的函數(shù)由于兩個變量的位置一樣,當然也可調整主元變形為 x 2 2 x ,同理構造以 1x 為主元的函數(shù)來處理此法與官方解析正是極值點偏移問題的處理的通法不妨設 x 1 x ,由 1知,2 x 1 ,1 , x 2 1, ,2 x 1 1, f x 在 1, 上單調遞增,所以

4、x 1 x 2 2 等價于 f x 2 f 2 x 1,即 f x 1 f 2 x 1 02 x x令 u x f x f 2 x xe 2 x e x 1,那么x 2 xu x x 1 e e 0,所以 u x u 1 0,即 f x f 2 x x 1,所以 f x 1 f x 2 f 2 x 1；所以 x 2 2 x ,即 x 1 x 2 2 . 三、例談主元法破解極值點偏移問題對文獻 1的四道例題,筆者都能運用主元法順當破解,驗證主元法破解極值點偏移問題的可行性例 1 2022年省市二模第20 題設函數(shù)fxx eaxa ,其圖象與 x 軸交于A x 1,0,B x 2,0兩點,且x 1

5、x 1求 a 的取值圍；2證明：fe 2,x x 20 fx 1x 為函數(shù) fx 的導函數(shù)；ln ,a上單解： 1a,且0lnax , f 2x 在 0,ln a 上單調遞減,在調遞增；2要證明fx x 20,只需證fx 1x20,即fx 12x2flna,.word.zl.2由于fxx ea 單調遞增,所以只需證x 1x 2lna ,亦即x 22lnax ,2只要證明fx 2fx 1f2lnax 1即可；. . .f令g xfxf2lnaxxlna ,那么gxfxf2lnaxexa22a0,ex所以 g x 在 0,ln a 上單調遞減,g xglna0,得證例 2 2022年 XX 理科

6、21 題函數(shù)f x xexxR . 1 求函數(shù)f x 的單調區(qū)間和極值；2略 3假如x 1x ,且f x 1f x 2,證明x 1x 22解： 1 f x 在,1上是增函數(shù),在1,上是減函數(shù),f x 微小值f11；e3證明：f ex1x ,f x 1f x 2,亦即x ex 1x ex2,且x 11x ,2欲證明x 1x 22,即x 22x ,只需證fx 2f2x 10,即fx 1f2x 10令g xfxf2xx1,那么g xxex2x x e2,由于gx1xexx e20,所以 g x 在,1 上單調遞增,故g xg10,得證例 3 2022年理科 21 題函數(shù)f x lnx2 ax2a x

7、1爭論f x 的單調性；2設a0,證明：當0 x1時,f1xf1x；aaa3假設函數(shù)yf x 的圖象與 x 軸交于A B 兩點,線段AB 中點的橫坐標為0 x ,證明：x00在解：1假設a0,f x 在 0,上單調增加；假設a0,f x 在0,1上單調遞增,a1 , a上單調遞減；2略. .word.zl. .3由 1可得a0,f 12ax2a在 0,上單調遞減,f10,xa不妨設A x 1,0,B x 2,0,0 x 1x ,那么0 x 11x 2,x 2,a欲證明fx00,即fx 0f1,只需證明x0 x 12x21,即x 12aaa只需證明fx2fx 1f2x2a由 2得f2x 2f11

8、x2f11x2fx 2,得證aaaaa1,例 4 2022年文科第 21 題函數(shù)fx1xex.1x21求 fx 的單調區(qū)間；2證明 :當fx 1fx 2x 1x 2時,x 1x 20. 解： 1 fx在,0 上單調遞增,在0,上單調遞減；2由1知當x1時,fx0不妨設x 1x ,由于fx 1fx 2,即1x 1ex 11x 2ex 2,那么x 10 x 212 x 11x 22要證明x 1x 20,即x 1x 20,只需證明fx 1fx 2,即fx 2fx 2而f x 2fx 2等價于12 x ex 21x20,令g x 12 x ex1x x0,那么g x 12 2 x ex1,令h x 2

9、 1 2 x ex1,那么h x 2 4 xex0,所以h x 單調遞減,h x h00,即gx0,所以 g x 單調遞減,所以g xg00,得證對文獻 3的例 1,朱老師供應了 更為簡捷？3 種方法,筆者也可運用主元法順當破解,請看以下解析,豈不例 5 函數(shù)fxx443 x 與直線ya a1交于A x a B x a ,證明：x 1x 22. 33. .word.zl. .解：函數(shù)fxx443 x ,fx4x2x1,那么 fx 在,1 上單調遞減, 在 1,3上單調遞增,且f4f00；0 x 12x 21,只需證明30 x 11,1x 24,要證明x 1x 22,即1假設3fx 1f2x 2

10、,即fx 2f2x 213在 1,上單調遞增,fxf2xx1,那么g x16x令g x3故g xg10；2假設x 10,x 24,同理可證x 1x 22,得證3四、通法提煉 一般地,主元法破解極值點偏移問題思路是：第一步：依據(jù)fx 1fx 2x 1x 2建立等量關系,并結合fx 的單調性,確定x x 的取 1 2值圍；其次步：不妨設 x 1 x ,將待證不等式進展變形,進而結合原函數(shù)或導函數(shù)的單調性等價轉化如例 1、例 3 中的待證是導函數(shù)的值的不等式,因此應用導函數(shù)的單調性等價轉化,例 2、例 4 中的待 證是應用原函數(shù)的單調性等價轉化；第三步：構造關于1x 或2x 的一元函數(shù)T xfx i

11、f2 ax ii1,2,應用導數(shù)爭論其單調性,并借助于單調性,到達待證不等式的證明五、通性通法的感悟 極值點偏移問題在高考中幾乎年年可見,深受高考命題專家的青睞,年年歲歲意相像,歲歲年 年題不同,屬于高考高頻題型對于此類問題的爭論,多位方家已經(jīng)作了探討文1從高等數(shù)學的視角闡述了問題的背景,指明并提煉出極值點偏移問題的解題策略：假設fx 的極值點為x ,那么依據(jù)對稱性構造一元差函數(shù)F xfx 0 xf2x 0 x ,巧借 F x的單調性以及F00,借助于fx 1fx2fx 0 x 0 x 2與x2x 的大小有了這fx0 x 0 x2f2x 0 x 2,比擬x 與2x 0 x 的大小,即比擬0 x

12、 與種解題策略,我們師生就克制明白題的盲目性,細細咀嚼不得不為其巧妙的想法喝彩,但是,此解. .word.zl. .法并不利于同學思維的提升,比擬突兀,有“ 模式化的曲高和寡之嫌疑,明顯不是自然的想法,“ 想說愛你不簡單老師的自然想法卻讓同學屢屢想不到、想不通、學不會,加重其自卑感；順 應同學的思維,才能對接同學的認知,貼近同學“ 最近開展區(qū),化用于無痕,活用于無間,妙用 于無限,神用于無形,走有限之路,飲不竭之泉文2結合文 1的四個例題驗證了轉化為對數(shù)平均的求解的可行性,提煉出極值點偏移問題的又一解題策略：依據(jù)fx 1fx 2建立等式,通過消參、恒等變形轉化為對數(shù)平均,捆綁構造函數(shù),利用對數(shù)平均不等式鏈求解這種解題策略,師生都感到運算量紛雜,有肯定的技巧要求,而且對 數(shù)平均數(shù)的不等式鏈也有超綱的嫌疑,在解答過程中存在能否直接運用的疑問 4,“ 想你,但,我不 會愛你！其實,解決極值點偏移問題的上兩種方法,實質上都是把雙變量的等式或不等式轉化為一元變 量問題求解,途徑都是構造一元函數(shù),因此,主元法才是破解極值點偏移問題的通法,親切自然,美感靈氣這一點也可以從官方答案得到印證對于官方供應的參考答案,是命題專家經(jīng)過反復考 量的,承載著新課程改革的理念和導向,滲透著創(chuàng)新精神和實踐才能的培育,表達著高考改革的開 展趨向,同時也包蘊著命題者解題的思維歷程,包蘊著其問題的本質我們多一