5非線性規(guī)劃模型

1、5.非線性規(guī)劃模型 前面介紹了線性規(guī)劃問(wèn)題，即目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性函數(shù)的規(guī)劃問(wèn)題，但在實(shí)際工作中，還常常會(huì)遇到另一類更一般的規(guī)劃問(wèn)題，即目標(biāo)函數(shù)和約束條件中至少有一個(gè)是非線性函數(shù)的規(guī)劃問(wèn)題，即非線性規(guī)劃問(wèn)題. 事實(shí)上，客觀世界中的問(wèn)題許多是非線性的，給予線性大多是近似的，是在作了科學(xué)的假設(shè)和簡(jiǎn)化后得到的. 為了利用線性的知識(shí)，許多非線性問(wèn)題常進(jìn)行線性化處理. 但在實(shí)際問(wèn)題中，有一些是不能進(jìn)行線性化處理的，否則將嚴(yán)重影響模型對(duì)實(shí)際問(wèn)題近似的可依賴型. 由于非線性規(guī)劃問(wèn)題在計(jì)算上常是困難的，理論上的討論也不能像線性規(guī)劃那樣給出簡(jiǎn)潔的結(jié)果形式和全面透徹的結(jié)論. 這點(diǎn)又限制了非線性規(guī)劃的應(yīng)用，所

2、以，在數(shù)學(xué)建模時(shí)，要進(jìn)行認(rèn)真的分析，對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行合理的假設(shè)、簡(jiǎn)化，首先考慮用線性規(guī)劃模型，若線性近似誤差較大時(shí)，則考慮用非線性規(guī)劃.非線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式為：非線性規(guī)劃模型按約束條件可分為以下三類： 無(wú)約束非線性規(guī)劃模型： 等式約束非線性規(guī)劃模型： 不等式約束非線性規(guī)劃模型：1) 無(wú)約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題.針對(duì)上述三類非線性規(guī)劃模型，其常用求解的基本思路可歸納如下： 在下降迭代算法中，搜索方向起著關(guān)鍵的作用，而當(dāng)搜索方向確定后，步長(zhǎng)又是決定算法好壞的重要因素. 非線性規(guī)劃只含一個(gè)變量，即一維非線性規(guī)劃可以用一維搜索方法求得最優(yōu)解，一維搜索方法主要有進(jìn)退法和黃金分割法. 二維的非線性規(guī)劃也可以

3、像解線性規(guī)劃那樣用圖形求解. 對(duì)于二維非線性規(guī)劃，使用搜索方法是要用到梯度的概念，最常用的搜索方法就是最速下降法.2) 只有等式約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題通常可用消元法、拉格朗日乘子法或反函數(shù)法，將其化為無(wú)約束問(wèn)題求解.3) 具有不等式約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題解起來(lái)很復(fù)雜，求解這一類問(wèn)題，通常將不等式化為等式約束，再將約束問(wèn)題化為無(wú)約束問(wèn)題，用線性逼近的方法將非線性規(guī)劃問(wèn)題化為線性規(guī)劃問(wèn)題. 下面介紹一個(gè)簡(jiǎn)單的非線性規(guī)劃問(wèn)題的例子，其中的一些約束條件是等式，這類非線性規(guī)劃問(wèn)題可用拉格朗日方法求解.例7（石油最優(yōu)儲(chǔ)存方法）有一石油運(yùn)輸公司，為了減少開(kāi)支，希望作了節(jié)省石油的存儲(chǔ)空間.但要求存儲(chǔ)的石油能滿足客

4、戶的要求.為簡(jiǎn)化問(wèn)題，假設(shè)只經(jīng)營(yíng)兩種油，各種符號(hào)表示的意義如表4所示.其中供給率指石油公司供給客戶的速度.表4 各種符號(hào)表示意義表由歷史數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)公式為 :且提供數(shù)據(jù)如表5所示：表5 數(shù)據(jù)表已知總存儲(chǔ)空間代入數(shù)據(jù)后得到的模型為：模型求解：拉格朗日函數(shù)的形式為： 即:對(duì) 求各個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)，并令它們等于零，得: 解這個(gè)線性方程組得：從而可得最小值是 . 6、多目標(biāo)規(guī)劃模型 在許多實(shí)際問(wèn)題中，衡量一個(gè)方案的好壞標(biāo)準(zhǔn)往往不止一個(gè)，例如設(shè)計(jì)一個(gè)導(dǎo)彈，既要射程最遠(yuǎn)，又要燃料最省，還要精度最高. 這一類問(wèn)題統(tǒng)稱為多目標(biāo)最優(yōu)化問(wèn)題或多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題. 我們先來(lái)看一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃的例子.我們希望購(gòu)買DVD的總數(shù)

5、量最小，即 :由此，可以得到問(wèn)題三的雙目標(biāo)整數(shù)線性規(guī)劃模型如下： 表6 當(dāng) 時(shí)最小購(gòu)買量的 值DVD編號(hào)D01D02D03D04D05D06D07D08D09D10最少購(gòu)買量14211724121719212214DVD編號(hào)D11D12D13D14D15D16D17D18D19D20最少購(gòu)買量18181717172418161823DVD編號(hào)D21D22D23D24D25D26D27D28D29D30最少購(gòu)買量20182214181715121624DVD編號(hào)D31D32D33D34D35D36D37D38D39D40最少購(gòu)買量19222019222213171717DVD編號(hào)D41D42D4

6、3D44D45D46D47D48D49D50最少購(gòu)買量32201621221620152020續(xù)上表DVD編號(hào)D51D52D53D54D55D56D57D58D59D60最少購(gòu)買量24171917191819172021DVD編號(hào)D61D62D63D64D65D66D67D68D69D70最少購(gòu)買量16191920171917212019DVD編號(hào)D71D72D73D74D75D76D77D78D79D80最少購(gòu)買量21221520151412171917DVD編號(hào)D81D82D83D84D85D86D87D88D89D90最少購(gòu)買量18101412211322151317DVD編號(hào)D91D9

7、2D93D94D95D96D97D98D99D100最少購(gòu)買量24171514251522201122 我們利用規(guī)劃模型求得每種DVD的購(gòu)買量后，需要對(duì)其進(jìn)行可行性校驗(yàn)，測(cè)試此結(jié)果是否可以滿足一個(gè)月內(nèi)比例為95%的會(huì)員得到他想看的DVD，且具有盡可能大的總體滿意度.校驗(yàn)方法： （一）根據(jù)訂單和求得的DVD購(gòu)買數(shù)量，利用問(wèn)題二的規(guī)劃模型進(jìn)行第一次分配，對(duì)分配情況：租賃的會(huì)員，DVD的分配情況，剩余的各種DVD數(shù)量作記錄；同時(shí)將已租賃的會(huì)員在滿意指數(shù)矩陣的指數(shù)全變?yōu)?，即不考慮對(duì)其進(jìn)行第二次分配. （二）隨機(jī)從第一次得到DVD的會(huì)員中抽取60%，將這部分人所還回的DVD與第一次分配余下的DVD合在一起，作為第二次分配時(shí)各種DVD的現(xiàn)有量.然后，利用問(wèn)題二的0-1線性規(guī)劃模型對(duì)第一次未分配到DVD的會(huì)員進(jìn)行第二次分配； （三）統(tǒng)計(jì)出經(jīng)過(guò)兩次分配后，得到DVD的會(huì)員的比例，若大于95%，則此次分配成功.利用這種算法進(jìn)行多次隨機(jī)模擬，若大多數(shù)情況下可以使得到DVD的會(huì)員大于95%，則認(rèn)為模型三是合理的.校驗(yàn)結(jié)果： 因?yàn)槊看螜z驗(yàn)需時(shí)約1小時(shí)，我們只對(duì)問(wèn)