03消費(fèi)者理論：對偶與顯示偏好

1、 微觀經(jīng)濟(jì)學(xué):對偶與顯示偏好（Consumers Theory ）What have we learned?馬歇爾需求函數(shù)與間接效用函數(shù)?？怂剐枨蠛瘮?shù)與支出函數(shù)幾個(gè)重要的恒等式需求函數(shù)的性質(zhì)與稟賦2補(bǔ)充：Hicks補(bǔ)償與Slutsky補(bǔ)償兩種補(bǔ)償概念：Hicks補(bǔ)償：在新價(jià)格水平下，保持原來的效用水平，收入必須發(fā)生的變化m=e(p+p, u)-e(p, u)x(p+p, m+m)=x(p+p, e(p+p, u)Slutsky補(bǔ)償：在新價(jià)格水平下，保持原來的購買力，收入必須發(fā)生的變化m= p.x(p, m)等價(jià)性3x0 x1xhHicks補(bǔ)償x0=x(p0,y)x1=x(p1,y)xh=h(p

2、1,u0)=x(p1,y+y)x2x1x1p1y/p2u1u04對偶與顯示偏好Duality and Revealed Preferences5Questions如何從間接效用函數(shù)得到直接效用函數(shù)？消費(fèi)者行為理論中的對偶性理性偏好假設(shè)是必須的嗎？顯示偏好6貨幣測度的效用函數(shù)若偏好滿足嚴(yán)格單調(diào)性，則e(p,u) 對u嚴(yán)格遞增u()對正單調(diào)變換具有不變性用e(p,u)代表效用、偏好 貨幣測度的效用函數(shù) (Chap. 7.5)7貨幣測度的直接效用函數(shù)給定p，對于消費(fèi)束x，為購買與x同樣好的消費(fèi)束所需要的最小支出？m(p,x) e(p, u(x)稱上述m(p,x)為貨幣測度的直接效用函數(shù) Min z0

3、 pz s.t. u(z) u(x)xz8貨幣測度的間接效用函數(shù)給定p，對于(q,m)，至少需要多少貨幣才能達(dá)到(q,m)下所能達(dá)到的效用水平？u(p;q,m) e(p,v(q,m)稱上述u(p;q,m)為貨幣測度的間接效用函數(shù) Min z0 pz s.t. u(z) v(q,m)9貨幣度量的效用函數(shù)含義：在價(jià)格p下，消費(fèi)者需要多少貨幣才能與其消費(fèi)商品束x的境況一樣好？m(p,x)類似于支出函數(shù)(對p單調(diào)、齊次、凹)m(p,x)還是一個(gè)效用函數(shù)(當(dāng)p固定時(shí)，對x)P固定，e(p,u)對u遞增。若偏好滿足連續(xù)性、嚴(yán)格單調(diào)性， e(p,u)對u嚴(yán)格遞增。m(p,x)是效用函數(shù)的正單調(diào)變換。10應(yīng)用

4、：貨幣測度的效用函數(shù)應(yīng)用：幾個(gè)重要的恒等式&貨幣測度的效用函數(shù)例1：已知兩商品經(jīng)濟(jì)下的支出函數(shù)為e(p1,p2,u) = Kp1ap21-au求相應(yīng)的間接效用函數(shù)、直接效用函數(shù)、貨幣測度的效用函數(shù)、需求函數(shù)m = e(p, u)；v(p,m)=u，則有：v(p,m) = m/(Kp1ap21-a)又由貨幣測度的間接效用函數(shù)的定義，有：u(p;q,m) e(p,v(q,m) = p1ap21-a m/(q1aq21-a)直接效用函數(shù)？m(p, x) e(p,u(x)=Kp1ap21-ax1ax21-a11應(yīng)用：貨幣測度的效用函數(shù)應(yīng)用：幾個(gè)重要的恒等式&貨幣測度的效用函數(shù)例2：已知兩商品經(jīng)濟(jì)下的效

5、用函數(shù)為u(x1,x2) = (x1a+x2a)1/a求相應(yīng)的需求函數(shù)、貨幣測度的直接和間接效用函數(shù)由支出最小化，可得e(p,u)= (p1b+p2b)1/b u從而， 替換v(p,m)=u，則有：v(p,m) = m (p1b+p2b)-1/b又由Roy恒等式，可得x1(p,m), x2(p,m) 再由貨幣測度的直接效用函數(shù)的定義，有：m(p,x) e(p,u(x) = (p1b+p2b)1/b (x1a+x2a)1/a以及貨幣測度的間接效用函數(shù)的定義，有：u(p;q,m) e(p,v(q,m) = (p1b+p2b)1/b(q1b+q2b)-1/bm12小結(jié)：e u偏好EMPUMPRoy恒

6、等式Shephard引理恒等式可積性對偶恒等式ph貨幣測度的效用函數(shù)13間接效用函數(shù)與偏好偏好EMPUMP從間接效用函數(shù)能夠恢復(fù)其偏好關(guān)系14偏好EMPUMPRoy恒等式Shephard引理恒等式可積性對偶恒等式ph貨幣測度的效用函數(shù)小結(jié)15定理 在 上擬凹而且可微，一階偏導(dǎo)嚴(yán)格為正，那么間接效用函數(shù) 在 上取得最小值，并且有：如果函數(shù)v(p, m) 滿足間接效用函數(shù)的性質(zhì)，那么該函數(shù)就是一個(gè)間接效用函數(shù)，而且根據(jù)上式所構(gòu)造的函數(shù)就是產(chǎn)生該間接效用函數(shù)的直接效用函數(shù)。16直接效用函數(shù)的構(gòu)造: v u 如果有17從間接效用函數(shù)到直接效用函數(shù)將收入標(biāo)準(zhǔn)化為1，則：從而，直接效用函數(shù)為：18定理 在

7、 上擬凹而且可微，一階偏導(dǎo)嚴(yán)格為正，那么間接效用函數(shù) 在 上取得最小值，并且有：19對偶應(yīng)用：v到u一個(gè)例子：已知v(p1,p2,m)=lnm-alnp1-blnp2，求u(x1,x2)Min p : v(p1,p2,m)=lnm-alnp1-blnp2 st.:p1x1+p2x2=m20應(yīng)用：從v到u由直接效用函數(shù)的求解，21反需求函數(shù)Hotellings Lemma：設(shè) u(x) 是消費(fèi)者的效用函數(shù)，那么商品i 的反需求函數(shù)為 22證明包絡(luò)定理：St.:23例：求反需求函數(shù)24顯示偏好25顯示偏好偏好假設(shè)（or理性偏好or一致偏好）對于現(xiàn)代消費(fèi)者理論是必需的嗎？No顯示偏好 從消費(fèi)者的選擇

8、行為出發(fā)研究消費(fèi)者的需求規(guī)律26顯示偏好古典需求理論對不可觀察的偏好進(jìn)行公理化假設(shè)最優(yōu)化行為Revealed Preferece 可觀察的選擇出發(fā)+一致性假設(shè)需求行為Samuelson（1947）27顯示偏好與偏好顯示偏好：(x1,x2)是(y1,y2)的直接顯示偏好支付得起而未選擇的消費(fèi)束必較不受偏好 （x1, x2） （y1, y2）從顯示偏好到偏好：(x1,x2) (y1,y2)行為假設(shè)：消費(fèi)者總是選擇能支付起的最佳消費(fèi)束28間接顯示偏好 （x1, x2） （y1, y2） （z1, z2）(x1,x2) (z1,z2)思考：經(jīng)過（x1,x2）的無差異曲線位置？恢復(fù)偏好29恢復(fù)偏好經(jīng)過X

9、點(diǎn)的無差異曲線XyZ30顯示偏好弱公理(WARP)若(x1,x2)被直接顯示偏好于(y1,y2)，且兩者不同，則后者不可能被直接顯示偏好于前者違反WARP（圖） （x1, x2） （y1, y2）31顯示偏好弱公理(WARP)滿足WARP（圖） （x1, x2） （y1, y2）32檢驗(yàn)顯示偏好弱公理實(shí)際觀測：計(jì)算購買成本：(p1,p2)(x1, x2)(1,2)(2,1)(1,1)(1,2)(2,1)(2,2) (x1, x2)(p1,p2)(1,2)(2,1)(2,2)(1,2)(2,1)(1,1)54*3*4*53*66433顯示偏好強(qiáng)公理(SARP)若(x1,x2)被直接或間接顯示偏好于(y1,y2)，且兩者不同，則后者不可能被直接或間接顯示偏好于前者這是最優(yōu)化行為對消費(fèi)者的全部要求34習(xí)題已知 求U(X)消費(fèi)者僅消費(fèi)兩種商品，具體信息如下表。問：消費(fèi)者在第二年購買的商品2數(shù)量在什么范圍內(nèi)可以表明： （1）違反顯示偏好弱公理；（2）消費(fèi)者第一年的消費(fèi)束