2.4二階張量的標(biāo)準(zhǔn)形

1、及連續(xù)介質(zhì)力學(xué)12.4 二階張量的標(biāo)準(zhǔn)形2.4.1 實對稱二階張量的標(biāo)準(zhǔn)形例：已知一點的應(yīng)力（應(yīng)變）狀態(tài)， 求主應(yīng)力（或主應(yīng)變）。求二階張量的標(biāo)準(zhǔn)形問題：相當(dāng)于在矩陣代數(shù)學(xué)中，通過初等變換將一個矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形與求特征值的問題?？偪梢曰癁閷切蜆?biāo)準(zhǔn)形且主方向互相正交。2.4.1.1 基本概念定義 對于一個實對稱二階張量2（gi 是初始坐標(biāo)系的基矢量），必定存在一組正交標(biāo)準(zhǔn)化基e1，e2，e3，在這組基中，N 化為對角標(biāo)準(zhǔn)形其對應(yīng)的矩陣是對角形的，即稱 N1，N2，N3 為張量 N 的主分量，正交標(biāo)準(zhǔn)化基e1，e2，e3的方向為張量 N 的主軸方向（或主方向），對應(yīng)的笛卡兒坐標(biāo)系稱為張量 N 的主

2、坐標(biāo)系。32.4.1.2 對稱二階張量的特征方程設(shè) a，l 分別為 N 的主方向和主分量，則或即N 的特征方程N 的特征多項式特征方程的解：特征根齊次方程組的非零解矢量：特征矢量42.4.1.3 實對稱二階張量的特征根必為實根反證法（略）2.4.1.4 實對稱二階張量主方向的正交性（1）若l1l2l3,則a1，a2，a3 唯一且互相正交。（3）若l1=l2=l3,則在空間任一組正交標(biāo)準(zhǔn)化基中N 都化為對角標(biāo)準(zhǔn)形，稱這種張量為球形張量，記作P。球形張量的主分量為（2）若l1=l2l3,則a3及任意的a1，a2 a3 為主方向。在a3的平面內(nèi)，任取互相垂直的a1，a2 為其中的二個主方向。 52.

3、4.1.5 實對稱二階張量所對應(yīng)的線性變換a3a2a1Na3=N3a3Na2=N2a2Na1=N1a162.4.1.6 主分量是當(dāng)坐標(biāo)變換時N 的混合分量對交元素之駐值條件極值問題引入拉格朗日乘子l ,求無條件極值問題 取極值得必要條件是 d=0，即7由 的任意性得有非零解得條件是解得l 的三個根，便可求出對應(yīng)的 及相應(yīng)的坐標(biāo) 的方向，即 取駐值的方向。由此可得 82.4.2 非對稱二階張量的標(biāo)準(zhǔn)形不一定能化為對角型標(biāo)準(zhǔn)形且主方向不正交。設(shè)a，l 分別為T 的特征矢量和特征值，則即特征方程由于T 的分量、從而其不變量是實數(shù)，故特征方程是一個實系數(shù)方程，它必定有一個實根，記作l3。設(shè)l3對應(yīng)的特

4、征矢量為g3，則9任選與g3 線性無關(guān)的矢量g1，g2，與g3 構(gòu)成一組基矢量，則進(jìn)一步，依據(jù)特征方程根的性質(zhì)，選擇g1，g2，將T 化為某種形式的標(biāo)準(zhǔn)形（不一定是對角標(biāo)準(zhǔn)形）。102.4.2.1 特征方程無重根的情況（1）特征方程具有3個不等的實根l1,l2亦為實根。3個不等的實根分別對應(yīng)3個線性無關(guān)的特征矢量g1，g2，g3，它們可構(gòu)成一組基矢量（反證法）。在此坐標(biāo)系中，T 可化為對角標(biāo)準(zhǔn)形g1g2g3Tg1=l1g1Tg2=l2g2Tg3=l3g311（2）特征方程具有一個實根與一對共軛復(fù)根l1,l2為一對共軛復(fù)根。設(shè)則仍有式中，與l1,l2 對應(yīng)的特征矢量g1，g2涉及復(fù)數(shù)。為了將T

5、表示成某種實數(shù)形式的標(biāo)準(zhǔn)形（不一定是對角標(biāo)準(zhǔn)形），可令12在 構(gòu)成的坐標(biāo)系中，T 可以化為實數(shù)形式的標(biāo)準(zhǔn)形g1g2g3l1g1Tg1Tg3=l3g3mg2lg2-mg1Tg2132.4.2.2 特征方程有重根的情況 由于實系數(shù)方程的復(fù)根必須成對出現(xiàn)，所以對于T 的特征方程有重根的情況，無論有二重根或三重根，它們都應(yīng)是實根。此時，T 一般可化為約當(dāng)（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)形，這由T 的特征矩陣的初等因子決定。當(dāng)矩陣 的初等因子都是簡單的（即一次的）式時， 經(jīng)過初等變換可以化為對交標(biāo)準(zhǔn)形；當(dāng)矩陣 的初等因子不全是簡單的（即有高于一次的初等因子）時， 化為幾個約當(dāng)塊按對角排列構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)形。 無論哪一種情況，當(dāng)特征方程有重根時，特征方向都不唯一。14特征方程具有二重實根（12）（1）特征矩陣的初等因子全為簡單的，即 經(jīng)過初等變換，可以化為此時T 可化為對角標(biāo)準(zhǔn)形g1g2g3Tg1=l1g1Tg2=l1g2Tg3=l3g315（2）特征矩陣具有2次的初等因子-12以及-)： 經(jīng)過初等變換，可以化為式中Jn(i)稱為對應(yīng)于特征根i的n階約當(dāng)塊。T 可以化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形g1g2g3Tg1=l1g1l1g2Tg3=l3g3Tg2g116求特征矢量