關(guān)于梯形有關(guān)概念教材編寫及二次開發(fā)研究（一）

1、 關(guān)于梯形有關(guān)概念教材編寫及二次開發(fā)研究（一） 劉慧Summary現(xiàn)行教材中關(guān)于梯形有關(guān)概念的編寫，一是概念探索活動的設(shè)計缺乏從生活中探究、抽象、提煉出概念的過程，致使思維含量很低;二是有的概念表述不嚴謹或存在科學(xué)性錯誤;三是梯形上下底概念界定不明確導(dǎo)致理解的混亂。分析認為，這與對“淡化概念”教學(xué)理解的偏頗，致使教學(xué)中“形式”與“實質(zhì)”全面淡化不無關(guān)系。Key教材編寫;梯形;高;上底;下底G623.5A 1007-9068（ 2020） 20-0001-06梯形是學(xué)生在小學(xué)第二學(xué)段學(xué)習(xí)的基本圖形之一。關(guān)于梯形的有關(guān)概念，國內(nèi)各版本教材安排的時間有所不同：人教版教材安排在四年級第一學(xué)期;滬教版教

2、材安排在五年級第一學(xué)期;北師大版教材把梯形的概念安排在四年級第一學(xué)期，而把梯形的上下底和高安排在五年級第一學(xué)期;其他版本教材都是安排在四年級第二學(xué)期。由于梯形在生活中有著非常廣泛的應(yīng)用，且內(nèi)容比較簡單，各版本教材在編寫時都較充分地體現(xiàn)了新課改的教育理念，注重與生活的聯(lián)系和探索活動的設(shè)計。然而，研讀、分析教材的編寫以及教學(xué)實證后發(fā)現(xiàn)，教材編寫存在著一些不足，有必要對其進行二次開發(fā)。本研究在分析了教材對于梯形有關(guān)概念的編寫存在不足的基礎(chǔ)上，對教材進行了二次開發(fā)，并進行教學(xué)實踐且取得了良好的效果。一、梯形概念探索活動的比較分析綜觀各版本教材，關(guān)于梯形概念探索活動的設(shè)計雖然大同小異，但從外在形式來看可

3、分為三種情況。1.“圖形一概念一圖形”的設(shè)計諸多教材中，直接從圖形人手探討梯形概念的只有北師大版教材（如圖1）。它是通過對四邊形進行分類，引導(dǎo)學(xué)生觀察、對比后發(fā)現(xiàn)梯形的特征，提煉出概念，再找出梯形的圖形。這是單純從圖形到圖形的設(shè)計，前后都沒有聯(lián)系生活，學(xué)生不能從生活當(dāng)中體會到學(xué)習(xí)的必要性，也看不到在生活中的應(yīng)用。值得肯定的是，通過對比四邊形，學(xué)生可能較容易發(fā)現(xiàn)梯形的特征。2.“構(gòu)造圖形一概念一生活”的設(shè)計有些教材是讓學(xué)生先通過操作活動構(gòu)造幾個梯形圖形，再歸納圖形的特征，進而得出梯形的概念，而后找一找生活中的梯形。如，滬教版教材（如圖2）和浙教版教材（如圖3）的設(shè)計。這體現(xiàn)了讓學(xué)生動手動腦進行探

4、索的先進教育理念，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用。雖然兩者的構(gòu)造方法不同，但教材都是直接給出“圖形的一組對邊平行，另一組對邊不平行”，學(xué)生不用思考與探討就能獲得梯形的特征，思維含量很低。另外，聯(lián)系生活也僅僅是說明了生活中有梯形這種圖形而已。3.“生活一圖形一概念”的設(shè)計有些教材是從生活中常見的實物（如梯子、跳箱、足球門、河壩、房頂、畫架、籃球場等）圖片人手，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中含有一些梯形，再引導(dǎo)學(xué)生探討梯形的特征，提煉出有關(guān)概念。這樣編寫的教材有人教版教材（如圖4）、蘇教版教材（如圖5）、青島版教材（如圖6-1和圖6-2）、西師大版教材（如圖7）、冀教版教材（如圖8）。這種設(shè)計能讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)知識來源于

5、生活，體會到知識的應(yīng)用價值。從另一個角度來看，教材中呈現(xiàn)的屋頂、水渠和河壩橫截面等嚴重脫離小學(xué)生的生活，要讓他們想象出來很困難;再者，教材也只是告訴學(xué)生生活中有梯形而已，這還是從圖形來探討梯形的概念。綜上可知，各版本教材對梯形概念探索活動的設(shè)計實質(zhì)上都是從圖形到圖形，即使聯(lián)系生活也是浮于表面，流于形式，思維含量很低。因為設(shè)計沒有真正觸及生活，沒有從生活中抽象、提煉出“這種圖形為什么叫梯形”“為什么只有一組對邊平行，而另一組對邊不平行”“為什么上底比下底短”“生活中的很多事物為什么要設(shè)計成這種形狀”等相關(guān)知識。實際上，這些都能讓學(xué)生從生活中探索、抽象、提煉出來（詳見研究（二），進而真正理解梯形的

6、有關(guān)概念，體會到知識的廣泛應(yīng)用，做到終身不忘。二、有的概念表述缺乏嚴謹性或存在科學(xué)性錯誤眾所周知，數(shù)學(xué)中的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識與進行思維的起點和基礎(chǔ)。正確理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，進行科學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)能力的前提。但是，一些教材對概念表述缺乏嚴謹性，甚至存在科學(xué)性錯誤，主要表現(xiàn)在以下方面。1.對梯形的高的表述缺乏嚴謹性或存在錯誤西師大版教材將梯形的高表述為“梯形的高是與兩底都垂直的線段”（如圖7）。顯然，這表述相當(dāng)不嚴謹。眾所周知，梯形的高是夾在兩底間的垂線段，并不是與兩底都垂直的線段就是高。北師大版教材在五年級上冊一次性就給出了三角形、平行四邊形和梯形的高。首先，給出了“從一個頂

7、點向底引出的、與底垂直的線段就是高”（如圖9）。這不僅犯了與西師大版教材同樣的錯誤，而且“從一個頂點”的前提對平行四邊形和梯形的高來說存在局限性，束縛了學(xué)生的思維。也許編者認識到了存在的問題，于是又給出了“平行四邊形可以從邊上任意一點向?qū)叜嫶咕€，畫出的這些線段都是高”。這僅僅補充了對平行四邊形的高的定義，還是沒說清畫垂線畫到哪里為止。若按上述教材的定義，一個梯形（包括三角形和平行四邊形）的高的長度就可以是任意長度。雖然梯形有無數(shù)條高，但長度是相等的，不是有無數(shù)條長度不同的高，二者不能混淆，毋庸多言。其次，以下教材中對梯形的高的表述本質(zhì)是一樣的，只是個別字詞不同，但都存在問題。具體地說，浙教版

8、教材（如圖10）把梯形的高定義為“從梯形上底的一點向下底作一條垂線，這個點和垂足間的線段叫做梯形的高”。滬教版教材（如圖2）把梯形的高定義為“從上底上一點向下底畫垂線，這個點和垂足之間的線段叫做梯形的高”。冀教版教材（如圖8）把梯形的高的定義為“從梯形上底的任意一點向下底引一條垂線，這一點和垂足之間的線段叫做梯形的高”。若根據(jù)這三個版本教材的定義，從梯形下底上一點向上底引一條垂線，這個點和垂足之間的線段就不是梯形的高了？顯然，這些定義有失偏頗，且嚴重束縛了學(xué)生的思維。2.四邊形的概念表述錯誤雖然四邊形的概念不屬于梯形的教學(xué)內(nèi)容，但梯形是四邊形。然而浙教版教材（如圖3）一開始就給出：“畫出與下面

9、各組平行線相交的2條不平行直線，構(gòu)成一些四邊形。構(gòu)成的圖形是哪一類四邊形？”這樣的四條直線構(gòu)成的圖形是四邊形？浙教版教材第80頁“平行四邊形的邊與角”一節(jié)存在同樣的問題：“在一組平行線上，畫出另一組與它們相交的平行線，構(gòu)成四邊形。這些四邊形有什么特點？”（如圖11）由此可見，這些表述不是失誤或印刷錯誤造成的，是嚴重的科學(xué)性錯誤。眾所周知，上述描述中構(gòu)成的圖形不是四邊形，而是高等幾何（射影幾何）中的簡單四線形，數(shù)學(xué)辭海也將其稱為簡單四線形。只能說這樣構(gòu)成的圖形中有四邊形，或圖形的一部分是四邊形。再者，教材給出的圖形與由四條不共線的線段首尾依次相接圍成的（凸）封閉圖形四邊形，是一樣的圖形嗎？當(dāng)然，

10、上述教材中概念不嚴謹或存在錯誤的問題，可能是考慮到小學(xué)生的接受能力，為了體現(xiàn)“淡化概念”的教育理念而精心設(shè)計的?？墒?，其他版本教材給出的嚴謹、科學(xué)的定義，難道學(xué)生就接受不了嗎？這個問題值得我們數(shù)學(xué)教育工作者深思。三、梯形上下底界定的不明確導(dǎo)致理解混亂關(guān)于梯形上底和下底的概念，所有教材中都沒有給出明確的界定。有的教材連底的定義都沒有給出，只是在圖形中標(biāo)出了上底、下底，如人教版教材（如圖4）、青島版教材（如圖12）、北師大版教材（如圖9）;其他教材（如圖2、圖3、圖7、圖8），以及圖13都給出了類似的定義：互相平行的一組對邊分別叫做梯形的上底和下底?？傻降啄臈l是上底，哪條是下底均沒有明確界定，僅僅

11、是在圖中標(biāo)了出來。最重要的是，所有教材中標(biāo)出上下底的梯形都是將上下底水平（橫著）放置，且上面的底比下面的底短。這樣一來就導(dǎo)致學(xué)生對上底和下底的理解產(chǎn)生混亂：到底在上邊的叫上底，還是短的叫上底？如果上下底不是水平放置的梯形呢？如果上下底是水平放置的梯形，但短的底在下，長的底在上，又怎么辦呢？這不僅給學(xué)生造成了困惑，還讓不少教師也感到困惑。筆者于2019年7月7日6：05上百度搜索“梯形的上底和下底怎么區(qū)分？”得到了“百度為您找到相關(guān)結(jié)果約9，290，000個”的結(jié)果，可見不少人處于困惑之中。擁有4億用戶的“100作業(yè)幫（ https：/question/f443f3e088199da30ac4l

12、cba257ecf53html）給出了一個教師與教研組討論及查資料后的“優(yōu)質(zhì)解答”，主要內(nèi)容如下：關(guān)于梯形上下底的界定，大致有以下觀點：一、不論位置上或下，其中較短的一條叫上底，較長的一條叫下底;二、不管它的長短，位置在上的叫上底，位置在下的叫下底。三、如果梯形是橫著放的，平行的一組對邊，上面的叫上底，下面的叫下底;如果梯形是豎著放的，平行的一組對邊畫有高時，有垂直符號的稱下底，另一條稱上底。陜西人民教育出版社出版的小學(xué)教材全解101頁寫道：“梯形中互相平行的一組對邊中，通常把上邊叫做梯形的上底，下邊叫做梯形的下底?！比嗣窠逃霭嫔绯霭娴慕處熃虒W(xué)用書93頁提到：“要注意說明，通常把較短的底叫上

13、底，較長的底叫下底。”疑惑中，個人還是比較支持第一種觀點，因為如果以方位定上下底（即上面的為上底，下面的為下底），那“豎放的梯形”也就是說梯形的兩底在側(cè)面，叫它上、下底也不恰當(dāng)其實，梯形的上下底之爭完全不必太較真，即使人教版的教學(xué)用書也只是用了“通?！倍郑褪橇?xí)慣上，沒什么科學(xué)道理的，也是相對而言的，無論怎樣區(qū)分都不影響梯形的特性。我想這大約也是為什么教科書沒有給出明確定義的原因吧對于梯形上下底的理解處于一片混亂狀態(tài)之中，不僅導(dǎo)致教師教學(xué)模棱兩可或回避不談，學(xué)生更是稀里糊涂，家長指導(dǎo)學(xué)生完成家庭作業(yè)時也一籌莫展。關(guān)于梯形的上下底是不是沒有明確的界定？其實，數(shù)學(xué)辭海在“梯形”條目中明確定義：“

14、通常把短的稱為上底，長的稱為下底?！痹僬?，在不同版本的教師教學(xué)用書中，有的提出了類似的教學(xué)建議，有的避而不談。既然有明確界定，那為什么各版本教材中都不說明呢？是為了“淡化概念”，還是和上面那位教師一樣，認為“通常”二字就是習(xí)慣，沒有科學(xué)道理？抑或是當(dāng)梯形的上下底不水平放置（橫放），或水平放置（橫放）時長的底在上面，上下的方位與感覺不相符或矛盾，不好解釋，也解釋不通？抑或是不管上底下底，只要不影響梯形面積的計算就行了？其實，梯形的上下底界定為“短的是上底，長的是下底”是具有科學(xué)性的，也沒必要加“通?！倍郑驗樗鼇碓从谌藗兊默F(xiàn)實生活，是對事物抽象的結(jié)果（詳見研究（二），不是隨意而為的。四、原因分

15、析眾所周知，數(shù)學(xué)概念是整個數(shù)學(xué)大廈的奠基石，它對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性毋庸置疑。若說概念探討流于形式還尚無大礙，但概念表述的科學(xué)性是必須保證的。當(dāng)然，由于數(shù)學(xué)的嚴謹性和抽象性等特征，再加上小學(xué)生認知特征的制約，小學(xué)教材不可能建立在嚴格的理論體系之上，用通俗易懂的、生活化的語言對數(shù)學(xué)概念進行宏觀描述是可以的，也是必要的。但是，這些不能成為教材中概念表述不嚴謹，甚至存在科學(xué)性錯誤，或回避概念的理由。回顧課程改革的歷程，基于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困難和減負的需要，“淡化概念”教學(xué)成為一種“理念”和時尚，課程標(biāo)準(zhǔn)也降低了對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的要求。筆者于2019年7月6日8：10在百度搜索“淡化概念教學(xué)”，得到“百度為您找到相關(guān)結(jié)果約3，190，000個”的結(jié)果，且絕大多數(shù)文章都提出要淡化概念教學(xué)，只有極個別的文章提出異議。研讀一些專家的有關(guān)論述，發(fā)現(xiàn)“淡化概念”主要有以下觀點：一是不要求學(xué)生死記硬背，不出單純考數(shù)學(xué)