小學(xué)數(shù)學(xué)中的行程問題

1、-. z.小學(xué)數(shù)學(xué)中的行程問題【根本公式】根本概念：行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、行程三者之間的關(guān)系。 根本公式：路程速度時(shí)間；路程時(shí)間速度；路程速度時(shí)間關(guān)鍵問題：確定行程過程中的位置相遇問題：速度和相遇時(shí)間相遇路程請(qǐng)寫出其他公式追擊問題：追擊時(shí)間路程差速度差寫出其他公式流水問題：順?biāo)谐檀偎夙標(biāo)畷r(shí)間 逆水行程船速水速逆水時(shí)間順?biāo)俣却偎?逆水速度船速水速靜水速度順?biāo)俣饶嫠俣? 水 速順?biāo)俣饶嫠俣?流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式?！疽话阈谐虇栴}公式】平均速度時(shí)間=路程；路程時(shí)間=平均速

2、度；路程平均速度=時(shí)間?！痉聪蛐谐虇栴}公式】反向行程問題可以分為相遇問題二人從兩地出發(fā)，相向而行和相離問題兩人背向而行兩種。這兩種題，都可用下面的公式解答：速度和相遇離時(shí)間=相遇離路程；相遇離路程速度和=相遇離時(shí)間；相遇離路程相遇離時(shí)間=速度和?！就蛐谐虇栴}公式】追及拉開路程速度差=追及拉開時(shí)間；追及拉開路程追及拉開時(shí)間=速度差；速度差追及拉開時(shí)間=追及拉開路程?！玖熊囘^橋問題公式】橋長(zhǎng)+列車長(zhǎng)速度=過橋時(shí)間；橋長(zhǎng)+列車長(zhǎng)過橋時(shí)間=速度；速度過橋時(shí)間=橋、車長(zhǎng)度之和。【行船問題公式】1一般公式：靜水速度船速+水流速度水速=順?biāo)俣?；船?水速=逆水速度；順?biāo)俣?逆水速度2=船速；順?biāo)俣?

3、逆水速度2=水速。2兩船相向航行的公式：甲船順?biāo)俣?乙船逆水速度=甲船靜水速度+乙船靜水速度3兩船同向航行的公式：后前船靜水速度-前后船靜水速度=兩船距離縮小拉大速度。求出兩船距離縮小或拉大速度后，再按上面有關(guān)的公式去解答題目。【例題精講】例1、小王騎車到城里開會(huì)，以每小時(shí)12千米的速度行駛，2小時(shí)可以到達(dá)。車行了15分鐘后，發(fā)現(xiàn)忘記帶文件，以原速返回原地，這時(shí)他每小時(shí)行多少千米才能按時(shí)到達(dá)？解答：要求小王返回原地后到城里的速度，就必須知道從家到城里的路程和剩下的時(shí)間。根據(jù)題意，這兩個(gè)條件都可以求出。15分鐘=小時(shí)從家到城里的路程：122=24千米返回后還剩的時(shí)間：2-2=1小時(shí)返回后去城里

4、的速度:241=16千米/時(shí)答：他每小時(shí)行16千米才能按時(shí)到達(dá)。2相遇問題距離=速度和相遇時(shí)間；相遇時(shí)間=距離速度和；速度和=距離相遇時(shí)間。例2、如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時(shí)，平路速度都是4千米/小時(shí)，上坡速度都是2千米/小時(shí)。問：1小和小王分別從A， D同時(shí)出發(fā)，相向而行，問多少時(shí)間后他們相遇？2相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當(dāng)*一個(gè)人到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一人離終點(diǎn)還有多少千米？解答：1小從 A到 B需要 1660 10分鐘；小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5660 25分鐘；當(dāng)小王到達(dá) C點(diǎn)時(shí)，小已在平路上

5、走了 25-1015分鐘，走了41千米。因此在 B與 C之間平路上留下 3-1 2千米由小和小王共同相向而行，直到相遇，所需時(shí)間是：2 4 460 15分鐘。從出發(fā)到相遇的時(shí)間是2515 40分鐘。2相遇后，小王再走30分鐘平路，到達(dá)B點(diǎn)，從B點(diǎn)到 A點(diǎn)需要走 1260=30分鐘，即他再走 60分鐘到達(dá)終點(diǎn)。小走15分鐘平路到達(dá)D點(diǎn)，45分鐘可走：21.5千米小離終點(diǎn)還有2.5-1.5=1千米答：40分鐘后小和小王相遇。小王到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，小離終點(diǎn)還有1千米。3追及問題追及距離=速度差追及時(shí)間；追及時(shí)間=追及距離速度差；速度差=追及距離追及時(shí)間。例3、小轎車的速度比面包車速度每小時(shí)快6千米，小轎車

6、和面包車同時(shí)從學(xué)校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，當(dāng)面包車到達(dá)城門時(shí)，小轎車已離城門9千米，問學(xué)校到城門的距離是多少千米？解答：先計(jì)算，從學(xué)校開出，到面包車到達(dá)城門用了多少時(shí)間。此時(shí)，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時(shí)，因此所用時(shí)間=961.5小時(shí)小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，面包車到達(dá)時(shí)，小轎車離城門9千米，說明小轎車的速度是954千米/小時(shí)面包車速度是 54-648千米/小時(shí)。城門離學(xué)校的距離是481.572千米。答：學(xué)校到城門的距離是72千米。4火車過橋問題我們?cè)谘芯恳话愕男谐虇栴}時(shí)，是不考慮汽車等物體的本身長(zhǎng)度的，因?yàn)檫@類物

7、體的長(zhǎng)度很小，可以忽略不計(jì)?？墒侨绻芯炕疖囆谐虇栴}，因?yàn)檐嚿碛幸欢ǖ拈L(zhǎng)度，一般一百多米，就不能忽略不計(jì)了。火車行程問題中的距離，一般是要考慮火車長(zhǎng)度的?；疖囃ㄟ^一個(gè)固定的點(diǎn)所用的時(shí)間就是火車行駛車身長(zhǎng)度所需要的時(shí)間?；疖囬L(zhǎng)度+橋的長(zhǎng)度通過時(shí)間=火車速度例4、一條隧道長(zhǎng)360米，*列火車從車頭入洞到全車進(jìn)洞用了8秒鐘，從車頭入洞到全車出洞共用了20秒鐘。這列火車長(zhǎng)多少米？解答：分析畫出示意圖：如圖，火車8秒鐘行的路程是火車的全長(zhǎng)，20秒鐘行的路程是隧道長(zhǎng)加火車長(zhǎng)。因此，火車行隧道長(zhǎng)360米，所用的時(shí)間是20-8=12秒鐘，即可求出火車的速度?；疖嚨乃俣仁?6020-8=30米/秒?；疖囬L(zhǎng)308

8、=240米。答：這列火車長(zhǎng)240米。5火車相遇、追及問題錯(cuò)車時(shí)間=甲車身長(zhǎng)+乙車身長(zhǎng)甲車速度+乙車速度超車時(shí)間=甲車身長(zhǎng)+乙車身長(zhǎng)甲車速度-乙車速度例5、客車長(zhǎng)182米，每秒行36米。貨車長(zhǎng)148米，每秒行30米。兩車在平行的軌道上相向而行。從相遇到錯(cuò)車而過需多少時(shí)間解答：兩列火車相向而行，從車頭相遇一直到車尾離開，迎面錯(cuò)車而過，兩列火車所行的路程是兩列火車車身長(zhǎng)度之和，速度是兩列火車的速度之和，時(shí)間是：(182+148)(36+30)=5(秒)答：從相遇到錯(cuò)車而過需5秒。6環(huán)形行程問題封閉環(huán)形上的相遇問題：環(huán)形周長(zhǎng)速度和=相遇時(shí)間封閉環(huán)形上的追及問題：環(huán)形周長(zhǎng)速度差=追及時(shí)間例6、小和小王各

9、以一定速度，在周長(zhǎng)為500米的環(huán)形跑道上跑步。小王的速度是180米/分。1小和小王同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小的速度是多少米/分？2小和小王同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小跑多少圈后才能第一次追上小王？解答：1兩人相遇，也就是合起來跑了一個(gè)周長(zhǎng)的行程。75秒=1.25分。小的速度是5001.25-180=220米/分。2在環(huán)形的跑道上，小要追上小王，就是小比小王多跑一圈一個(gè)周長(zhǎng)，因此需要的時(shí)間是500220-18012.5分。22012.55005.5圈。答：1小的速度是220米/分；2小跑5.5圈后才能追上小王。7流水行船問題流水行船問題比一般的行程問題多了一個(gè)

10、水流的影響，因此它有一些特殊的數(shù)量關(guān)系：順?biāo)俣?船速+水速，逆水速度=船速-水速；水速=順?biāo)俣?船速，船速=順?biāo)俣?水速；水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速；船速=順?biāo)俣?逆水速度2，水速=順?biāo)俣?逆水速度2。例7、甲、乙兩港間的水路長(zhǎng)208千米，一只船從甲港開往乙港，順?biāo)?小時(shí)到達(dá)，從乙港返回甲港，逆水13小時(shí)到達(dá)，求船在靜水中的速度和水流速度。解答：順?biāo)俣龋?088=26千米/小時(shí)逆水速度：20813=16千米/小時(shí)船速：26+162=21千米/小時(shí)水速：26162=5千米/小時(shí)答：船在靜水中的速度為每小時(shí)21千米，水流速度每小時(shí)5千米。8重復(fù)相遇問題例8、兩列火車從A

11、城、B城相向而行，第一次相遇在離A地500公里處，相遇后，兩列車?yán)^續(xù)前進(jìn)，各自到達(dá)目的地后，又折回。第二次相遇在離B城300公里處，問A城、B城相距多遠(yuǎn)？ 解答：如圖，兩列火車從出發(fā)到第二次相遇一共行了三個(gè)全程，分別為：第一列火車從A城到B城；第二列火車從B城到A城；第二列火車從A城出發(fā)與從B城出發(fā)的第一列火車在途中相遇。而這三個(gè)全程還可以從另外一個(gè)角度考察，第一列火車行500公里時(shí)，兩列火車共行了一個(gè)全程，相遇后，兩車速度依然不變，所以第一列火車行駛第二個(gè)500公里時(shí)，兩列火車同樣又共行了一個(gè)全程；當(dāng)?shù)谝涣谢疖囆辛说谌齻€(gè)500公里，即第一列火車行駛5003=1500公里時(shí)，兩列火車正好共行了

12、三個(gè)全程，而這時(shí)，兩列火車第二次相遇，由圖觀察可得，這時(shí)第一列火車又折回了300公里，即第一列火車行駛的1500公里比全程多了300公里，于是，全程即為3500300=1200公里。3500300=1200。答：A城、B城相距1200公里。習(xí)題：1小從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘。他們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇？解答：走同樣長(zhǎng)的距離，小花費(fèi)的時(shí)間是小王花費(fèi)時(shí)間的 36123倍，因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說，在同一時(shí)間，小王騎車走的距離是小步行走的距離的3倍。如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小走了1段，小花費(fèi)的時(shí)間是3631

13、9分鐘。答：兩人在9分鐘后相遇。2小從家到公園，原打算每分種走50米。為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米。問家到公園多遠(yuǎn)？解答：方法1：可以作為追及問題處理。假設(shè)另有一人，比小早10分鐘出發(fā).考慮小以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時(shí)間是50 1075- 50 20分鐘因此，小走的距離是75 20 1500米。答：從家到公園的距離是1500米。方法2：小加快速度后，每走1米，可節(jié)約時(shí)間分鐘，因此家到公園的距離是101500米。3 一輛自行車在前面以固定的速度行進(jìn)，有一輛汽車要去追趕。如果速度是30千米/小時(shí)，要1小時(shí)才能追上；如果速度是 35千米/小時(shí)，要 40分鐘才能追上。問自

14、行車的速度是多少？解答：解法1：自行車1小時(shí)走了301-已超前距離，自行車40分鐘走了35-已超前距離，自行車多走20分鐘，走了3035。因此，自行車的速度是：3035303907020千米/小時(shí)。答：自行車速度是20千米/小時(shí)。方法2：因?yàn)樽飞纤钑r(shí)間=追上距離速度差1小時(shí)與40分鐘是32。所以兩者的速度差之比是23.請(qǐng)看下面示意圖：馬上可看出前一速度差是15。自行車速度是：35- 15 20千米/小時(shí)。4上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他。然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾

15、分？解答：畫一簡(jiǎn)單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44千米。而爸爸騎的距離是 4 8 12千米。這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 1243倍。按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8324千米。但事實(shí)上，爸爸少用了8分鐘，騎行了41216千米。少騎行24-168千米。摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘。881632。答：這時(shí)是8點(diǎn)32分。5小從甲地到乙地，每小時(shí)步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時(shí)步行4千米。兩人同時(shí)出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點(diǎn)1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離。解答：畫一示意圖離中點(diǎn)1千米的地方

16、是A點(diǎn)，從圖上可以看出，小走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米。從出發(fā)到相遇，小比小王多走了2千米。小比小王每小時(shí)多走5-4千米，從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是25-42小時(shí)因此，甲、乙兩地的距離是5 4218千米。6甲、乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，6小時(shí)后相遇于C點(diǎn)。如果甲車速度不變，乙車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)12千米；如果乙車速度不變，甲車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)16千米。求A，B兩地距離。解答：先畫一行程示意圖如下設(shè)乙加速后與甲相遇于D點(diǎn)，甲加速后與乙相遇于E點(diǎn)

17、。同時(shí)出發(fā)后的相遇時(shí)間，是由速度和決定的。不管甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不管在D點(diǎn)相遇，還是在E點(diǎn)相遇，所用時(shí)間是一樣的，這是解決此題的關(guān)鍵。下面的考慮重點(diǎn)轉(zhuǎn)向速度差。在同樣的時(shí)間，甲如果加速，就到E點(diǎn)，而不加速，只能到 D點(diǎn)。這兩點(diǎn)距離是 12 16 28千米，加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時(shí)。因此，在D點(diǎn)或E點(diǎn)相遇所用時(shí)間是285 5.6小時(shí)。比C點(diǎn)相遇少用 6-5.60.4小時(shí)。甲到達(dá)D，和到達(dá)C點(diǎn)速度是一樣的，少用0.4小時(shí)，少走12千米，因此甲的速度是：120.430千米/小時(shí)。同樣道理，乙的速度是160.440千米/小時(shí)。A到 B距離是30

18、406 420千米。答： A，B兩地距離是 420千米。7如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小在A點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.求這個(gè)圓的周長(zhǎng)。解答：第一次相遇，兩人合起來走了半個(gè)周長(zhǎng)；第二次相遇，兩個(gè)人合起來又走了一圈。從出發(fā)開場(chǎng)算，兩個(gè)人合起來走了一周半。因此，第二次相遇時(shí)兩人合起來所走的行程是第一次相遇時(shí)合起來所走的行程的3倍，則從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是803240米240-60=180米1802360米答：這個(gè)圓的周長(zhǎng)是360米。8甲村、乙村相距6千米，小與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，

19、在兩村之間往返行走到達(dá)另一村后就馬上返回。在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇。小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇。問小和小王的速度各是多少？解答：畫示意圖如下：如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時(shí)間是403602小時(shí)。從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小已走了62-210千米。小王已走了 62=8千米。因此，他們的速度分別是小 1025千米/小時(shí)，小王 82=4千米/小時(shí)。答：小和小王的速度分別是5千米/小時(shí)和4千米/小時(shí)。小與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走到達(dá)另一村后就馬上返回，他們?cè)陔x甲村

20、3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇。問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)相遇指迎面相遇？解答：畫示意圖如下：第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此走了3.5310.5千米。從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米。因此，甲、乙兩村距離是10.5-28.5千米。每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程。第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離322倍的行程。其中走了3.5724.5千米，24.5=8.58.57.5千米。就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1千米。答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米。10繞湖一周是24千米，小和小王從湖邊*一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而

21、行。小王以4千米/小時(shí)速度每走1小時(shí)后休息5分鐘；小以6千米/小時(shí)速度每走50分鐘后休息10分鐘。問：兩人出發(fā)多少時(shí)間第一次相遇？解答：小的速度是6千米/小時(shí)，50分鐘走5千米，我們可以把他們出發(fā)后時(shí)間與行程列出下表：121527比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時(shí)10分至3小時(shí)15分之間。出發(fā)后2小時(shí)10分小已走了10611千米，此時(shí)兩人相距：24-811=5千米。由于從此時(shí)到相遇已不會(huì)再休息，因此共同走完這5千米所需時(shí)間是：5460.5小時(shí)。2小時(shí)10分再加上半小時(shí)是2小時(shí)40分。答：他們相遇時(shí)是出發(fā)后2小時(shí)40分。11一個(gè)圓周長(zhǎng)90厘米，3個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓周分成三等分，3只爬蟲A

22、，B，C分別在這3個(gè)點(diǎn)上。它們同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針方向沿著圓周爬行。A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬蟲出發(fā)后多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置？解答：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時(shí)候能到達(dá)同一位置。開場(chǎng)時(shí)，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C5-3厘米。305-315秒。因此15秒后B與C到達(dá)同一位置.以后再要到達(dá)同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要905-345秒。B與C到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是15，60，105，150，195，再看看A與B什么時(shí)候到達(dá)同一位置。第一次是出發(fā)后3010-5=6秒，以后再要到達(dá)同一位置是A追上B一圈。需要9010-518秒，A與B到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是6，24，42，60，78，96，對(duì)照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達(dá)同一位置。答