補充知識球坐標系下拉普拉斯方程的求解

1、補充知識四球坐標系下拉普拉斯方程的求解球坐標系下有：X=rsincos,Y=rsinsin,Z=rcos;可導出：Hr=1，H =r，H=rsin拉普拉斯方程具有如下形式：12u1 2 u1u A = u = r2 r rr + r2sin sin + r2sin2 2= 0采用分離變量法求解。首先把表示距離的變數(shù)r 與表示方向的變數(shù) 和分離，以u（r, , ）=R（r）Y（, ）代入12u1 2 u1ur + r2sin += 0r r2rsin r sin 222得Y112Y1 2 R11R r rr = Y sin sin Y sin2 2左邊是 r 的函數(shù)，跟（, ）無關(guān)；右邊是（,

2、）的函數(shù)，跟 r無關(guān)。要等式成立只有為同一個常數(shù)，設(shè)這個常數(shù)為 l（l+1）。于是有：d r2 dR l（l + 1）R = 0drdrY112Y1sin sin + Y sin2 2 +l（l + 1）Y = 0常微分方程d r2 dR l（l + 1）R = 0drdr是所謂的歐勒型常微分方程，它的解是Drl+1R(r) = Crl +偏微分方程Y112Y1sin sin + Y sin2 2 +l（l + 1）Y = 0稱為球函數(shù)方程。進一步分離變數(shù)，Y, = （）（）代入得1 d2sin dd2d sin d +l(l + 1)sin = d2 = 對（）d2d2 + = 0和自然的周

3、期條件 + 2 = 本征值是 = m2，（m=0，1，2，3，）本征函數(shù) = Acosm + Bsinm對常微分方程sin ddsin d+ l(l + 1)sin2 = dsinsin d+ l(l + 1)sin2 = 0dddm21ddsin d sin d +l(l + 1) sin2 = 0令x=cos，=arc cosx，dx = sin ,d = d dx = sin ddddx ddxm2d2) ddx (1 xdx +l(l + 1) 1 x2 = 0這叫l(wèi) 階締合勒讓德方程。如果球坐標的極軸是對稱軸，則 u 與無關(guān)，m=0，上式退化為2) d2d(1 x 2x dx + l

4、(l + 1) = 0dx2叫做l 階勒讓德方程。取(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + +an xn +代入方程可得：(k l)(k + l + 1)=aak+2k(k + 2)(k + 1)K=0，1，2，3，(x) = c00(x) + c11(x)偶函數(shù)和奇函數(shù)（勒讓德方程的兩個線性獨立的特解）的線性組合。在l 為整數(shù)的條件下，勒讓德方程的兩個線性獨立的特解之一退化為l 次多項式，叫做 l 階勒讓德多項式，記作 Pl(x)。這就是本征函數(shù)。通常約定，用適當?shù)某?shù)乘本征函數(shù)，使得最高次冪項 xl 的系數(shù)(2l)!2l(l!)2a =l則(2l 2n

5、)!n! 2l 2l(l n)! (l 2n)!= (1)nal2n這樣，勒讓德多項式具體表達式為 l 或l122Pl(x) =k=0(2l 2k)!(1)k k! 2l 2l(l k)! (l 2k)! xl2k于是有：Pl(1) = 1, P0(x) = 1，P1(x) = x = cos,P2(x) = 1 (3x2 1) = 1 (3cos2 + 1)。24勒讓德多項式還有微分表達式dl12)lPl(x)= 2ll! dxl(x 1勒讓德多項式的正交關(guān)系+1Pk(x)Pl(x)dx = 01+1(k l)2Pl(x)Pl(x)dx = 2l + 11廣義傅里葉級數(shù)f(x) = f1Pl (x)l=01(1 1)2l + 1()()fl = f1xPlxdx2f() = f1Pl (cos)l=012l + 1fl =1 f0()Pl(cos)sind2例：展開1 =r 1d12rcos +r21dBll= A r + P (cos)llrll=0考慮原點的有限性，Bl=0。當=0 時，有11 r= A rlP(1)lll=0同時，1= 1 + r + r2 + r3 + r4 + r5 +rn +1