如何理解最大分散度組合

1、目 錄 HYPERLINK l _TOC_250010 文獻概述 3 HYPERLINK l _TOC_250009 前言 4 HYPERLINK l _TOC_250008 分散度與最大分散度組合 4 HYPERLINK l _TOC_250007 最大分散度組合的特征 5 HYPERLINK l _TOC_250006 預(yù)期收益率與波動率成比例時組合最優(yōu) 5 HYPERLINK l _TOC_250005 其他組合特征 6 HYPERLINK l _TOC_250004 實證結(jié)果 8 HYPERLINK l _TOC_250003 測算方法 8 HYPERLINK l _TOC_25000

2、2 最大分散度組合表現(xiàn)更優(yōu) 9 HYPERLINK l _TOC_250001 為何最大分散度組合表現(xiàn)更優(yōu)？ 12 HYPERLINK l _TOC_250000 6.總結(jié) 13文獻概述文獻來源：Choueifaty, Y. & Coignard, Y. (2008). Toward maximum diversification. The Journal of Portfolio Management, 35(1), 40-51.文章摘要：近期出現(xiàn)的各類研究嘗試從不同角度探索不依賴于資產(chǎn)市值的指數(shù)構(gòu)建方法。本文介紹以分散度為核心的組合構(gòu)建方法。作者們介紹了一個用于衡量組合分散程度的指標(biāo):分散

3、度 (diversification ratio)。并使用該指標(biāo)構(gòu)建了一個有效利用風(fēng)險的最為分散的組合：最大分散度組合 (Maximum Diversification Portfolio)。作者將得到的最大分散度度組合的理論性質(zhì)及實證結(jié)果與其他流行的組合(市值加權(quán)組合、等全組合以及最小方差組合)進行了對比，發(fā)現(xiàn)了最大分散度組合優(yōu)于這些流行的組合。這一發(fā)現(xiàn)的意義在于，長期看，最大分散度組合相比被動跟蹤于指數(shù)的方法更有可能獲得穩(wěn)健優(yōu)異的表現(xiàn)。投資者應(yīng)該注意到最大分散度組合的優(yōu)勢。文章解讀：傳統(tǒng)均值方差框架下的組合構(gòu)建方法依賴于對于資產(chǎn)預(yù)期收益率以及協(xié)方差矩陣的有效預(yù)測。其中資產(chǎn)協(xié)方差矩陣相對穩(wěn)定

4、，基于歷史數(shù)據(jù)可以獲得協(xié)方差矩陣穩(wěn)健的預(yù)測。而單純依賴于歷史數(shù)據(jù)無法獲得對資產(chǎn)預(yù)期收益率的有效預(yù)測。實踐中投資者往往通過對收益率預(yù)測增添結(jié)構(gòu)約束(CAPM、Black-Litterman 等)的方式進行改進。值得注意的是，這些改進方法通常都假設(shè)資產(chǎn)市值包含了預(yù)期收益率的信息。假設(shè)的成立依賴于資本資產(chǎn)定價模型(CAPM)可以有效描述市場均衡狀態(tài)。而對于并不認可 CAPM 能有效描述市場均衡狀態(tài)的投資者而言，這類方法的可行性也會存疑。也因此，由 CAPM 以外理論出發(fā)，不依賴于資產(chǎn)市值信息的組合構(gòu)建方法在投資實踐中很有意義。本文中作者提出了以組合分散度為核心的組合構(gòu)建方法作為一種新的思路。這一方法

5、基于分散投資是投資中唯一的免費午餐的角度出發(fā)，設(shè)計了以最大化組合分散度為目標(biāo)的組合構(gòu)建方法。這一方法有效的規(guī)避了對于預(yù)期收益率預(yù)測以及對資產(chǎn)市值信息的依賴，而僅僅依靠于協(xié)方差矩陣這一可以穩(wěn)健估計的變量。也因此最大分散度的方法非常穩(wěn)健，實證中使用不同方法估計協(xié)方差矩陣對最大分散度組合的表現(xiàn)沒有顯著的影響。此外其不依賴于市值信息的特點在中國市場債券等大類資產(chǎn)市值難以確定的環(huán)境下也很有實踐意義。結(jié)合歐洲與美國股票市場的數(shù)據(jù)，作者對最大分散度組合(Maximum Diversification Portfolio)表現(xiàn)進行了測算。他們發(fā)現(xiàn)最大分散度組合相比市值組合、最小方差組合以及等權(quán)組合具有更優(yōu)的夏

6、普比率(更高的收益以及更低的風(fēng)險)。這很有可能代表了最大分散度組合更為有效的使用了風(fēng)險，捕捉了更多的資產(chǎn)風(fēng)險溢價。這一現(xiàn)象發(fā)生的原因可能在于會使得最大分散度組合最優(yōu)的假設(shè)(資產(chǎn)預(yù)期收益率與波動率成比例)相比傳統(tǒng)組合構(gòu)建方式所依賴的假設(shè)更貼近市場真實情況。前言分散投資風(fēng)險是近 50 年來金融學(xué)理論研究的核心所在。馬科維茨在他劃時代的研究(Markowitz, 1952)中提出了均值方差框架下的組合構(gòu)建方法，并認為，分散投資是金融領(lǐng)域中唯一的免費午餐。此后研究者在這一均值方差的框架下展開了諸多研究。其中最為有名的成果是 Sharpe(1964)提出的資本資產(chǎn)定價模型(CAPM)。盡管資本資產(chǎn)定價模

7、型由于其清晰明了的經(jīng)濟內(nèi)涵而廣受認可，這一模型是否可以有效代表市場的真實狀況卻飽受爭議。與之相應(yīng)，資本資產(chǎn)定價模型相關(guān)的結(jié)論(市場組合是風(fēng)險收益最優(yōu)的切線組合)能否有效應(yīng)用于組合管理也有待進一步驗證。也因此，其他一部分研究者從與組合動態(tài)相關(guān)的其他角度探索組合構(gòu)建的方法。Fernholz & Shay(1982)認為定期調(diào)倉至固定權(quán)重的組合相比買入并持有組合(Buy-and-Hold)具有更高的收益。Booth & Fama(1992)將固定權(quán)重組合更高的收益歸因為其更加充分的投資分散。他們的分析更多的是從組合權(quán)重固定后的再平衡角度進行，也因此對于組合權(quán)重的構(gòu)建并沒有直接的意義。盡管均值方差的框

8、架是最為傳統(tǒng)的構(gòu)建并理解資產(chǎn)組合的方法，它在實踐中面臨了諸多挑戰(zhàn)。以參數(shù)估計為例，穩(wěn)健的協(xié)方差矩陣估計相對容易獲得，有效的預(yù)期收益率估計卻難以獲得。投資者通常依賴 CAPM 以及 Black-Litterman 等模型對預(yù)期收益率進行預(yù)測。這兩種方法從不同角度出發(fā)，但都涉及到市值加權(quán)的市場組合的信息，或者以市值加權(quán)的組合為出發(fā)點進行組合構(gòu)建。除此之外，也存在一些其他經(jīng)驗性的組合構(gòu)建方法(如:基本面變量加權(quán)、等權(quán)等)也存在。在本篇文章中，我們探索以分散度(diversification)為核心指標(biāo)的組合構(gòu)建方法。我們將以最大化分散度指標(biāo)為目標(biāo)的最大分散度組合和其他常見的指數(shù)組合構(gòu)建方式（市值加權(quán)

9、指數(shù)、最小方差組合、等權(quán)組合等）進行對比。尤其專注于理解最大分散度理論與實證結(jié)果上和其他常見組合的差異。分散度與最大分散度組合我們首先給出組合分散度度量的定義。假設(shè)1, 2, 是投資域U 中的風(fēng)險資產(chǎn)。為了簡化分析，我們在這里假設(shè)對應(yīng)了股票資產(chǎn)。以 V 代表風(fēng)險資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣，并以 C 代表了風(fēng)險資產(chǎn)的相關(guān)性矩陣。同時假設(shè) = 1, 2, . . . , 對應(yīng)了風(fēng)險資產(chǎn)的波動率向量。=1對于任意權(quán)重為P = 1, 2, . . . , , = 1的組合，我們定義組合 P 的分散度(diversification ratio) D(P)為公式 1：D(P) =PTPTVP(1)組合的分散度以該

10、組合的加權(quán)波動率與組合波動率的比值衡量。再來看最大分散度組合。以指代在構(gòu)建組合 P 的優(yōu)化過程中所使用的線性約束。一個常見的組合約束是禁止做空的約束(此時所有資產(chǎn)權(quán)重非負)。我們將在的約束下在投資域 U 中構(gòu)建的具有最大化分散度的組合稱作最大分散度組合 (Most Diversified Portfolio)。并以M(, U)代表。我們使用接下來的兩個例子來解釋最大分散度組合所對應(yīng)的經(jīng)濟含義。例子 1假設(shè)我們的投資域由 A 與 B 兩個股票構(gòu)成，他們的相關(guān)性小于 1，且分別具有 15與 30的年化波動率。在這個例子下，分散投資意味著兩只股票對組合波動率有著相等的風(fēng)險貢獻。也因此在A 與 B 構(gòu)

11、成的最大分散度組合中，他們的權(quán)重分別為 66.6與 33.3，與他們的波動率的倒數(shù)成比例。例子 2我們對上述的例子進行更進一步的拓展，假設(shè)投資域有三只股票構(gòu)成。假設(shè)其中兩只股票同屬于銀行行業(yè)，兩者互相之間具有 0.9 的相關(guān)性。而第三只股票來自其他行業(yè)，與前兩只股票分別具有 0.1 的相關(guān)性。如果三只股票的波動率相等，則在最大分散度組合中，兩只銀行股票的權(quán)重都為 25.7，而第三只股票的權(quán)重為 48.6。和其他資產(chǎn)具備最低相關(guān)性的第三只股票具有最高的權(quán)重。最大分散度組合的特征預(yù)期收益率與波動率成比例時組合最優(yōu)參考分散度的定義，可以發(fā)現(xiàn)，任意多頭組合的分散度都是大于 1 的。只有當(dāng)所有資產(chǎn)之間相

12、關(guān)性都為 0 的時候，組合的分散度指標(biāo)才有可能等于 1。當(dāng)資產(chǎn)的預(yù)期超額收益率與他們的波動率成比例時(所有的資產(chǎn)具有相同的夏普比率)，最大分散度組合(Most-Diversified Portfolio)就是最優(yōu)的切線組合(Tangency Portfolio)。此時ER(P) = kPT，K 是一個常數(shù)，最大化分散度的優(yōu)化等價于最大化夏普比率( () )優(yōu)化。PTVP為了便于更好的理解這一結(jié)果，我們簡化了數(shù)學(xué)運算，假設(shè)所有股票具有相等的預(yù)期波動率。同樣假設(shè)投資者可以以相等的利率任意去借入或借出資金。使用公式 2 定義合成資產(chǎn)(synthetic asset) 1, 2, 。Yi = Xi +

13、 (1 1 )rf(2)ii其中rf對應(yīng)了無風(fēng)險資產(chǎn)收益。此時我們獲得了一個由合成資產(chǎn)構(gòu)成的新的投資域Us。在這個投資域內(nèi)，所有資產(chǎn)的波動率si都等于 1，也因此 = (1, 1, . . . ,1)。在這一投資域內(nèi)，由合成資產(chǎn)組成的組合 S 的分散度可以表達為() =ST。 是合成資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣。當(dāng)ST= 1時，最大化 D(S)的優(yōu)STVS化等價于最大化 1 的優(yōu)化。這是因為所有的合成資產(chǎn)都具有相等的STVS波動率 1，而資產(chǎn)的相關(guān)性卻不隨杠桿的縮放而產(chǎn)生變化。V與原投資于的相關(guān)性矩陣C 是相等的，此時最大化分散度的優(yōu)化可以寫為最小化公式 3 的優(yōu)化。STCS(3)也因此，在一個所有資產(chǎn)具

14、有相等波動率的世界里，最大分散度組合等價于最小方差組合。而如果把無風(fēng)險資產(chǎn)也納入考慮，則此時的最大分散度組合如公式 4： = ( 1 , 2 , . . . , , (1 )（4）12=1 其中最后一項對應(yīng)了組合中投資于無風(fēng)險資產(chǎn)的權(quán)重。其他組合特征當(dāng)相關(guān)性矩陣 C 可逆，在構(gòu)建最大分散度組合的過程中沒有引入任何約束的情況下，此時 = (, )是唯一存在的，且具有如下式的解析結(jié)果 11(5)合成資產(chǎn)的權(quán)重S 等于相關(guān)性矩陣的逆乘以 1 向量。我們可以通過使用原資產(chǎn)波動率進行放縮的方式將公式 5 轉(zhuǎn)化為原資產(chǎn)的組合：M 1 C11(6)接下來我們觀察最大分散度組合所能具備的性質(zhì)。我們可以計算任意

15、一個組合P 與最大分散度組合M 的相關(guān)性，因為 M 與和C 是成比例的，我們可以將最大分散度組合 M 寫成如下形式：M = k 1 C11(7)此處 k 是一個常數(shù)，則任意一個組合 P 與最大分散度組合的相關(guān)性可以寫作：, = k 1 C11= = () (8) 參考公式 8 可以發(fā)現(xiàn)，任意一個組合 P 與最大分散度組合 M 的相關(guān)性和組合 P 自身的最大分散度 D(P)成比例。我們再來考慮單只股票與最大分散度組合之間的相關(guān)性。單只股票的組合由于并不存在任何分散投資，它的分散度等于 1。參考公式 8，我們可以將單個股票i 當(dāng)作在股票 i 的權(quán)重為 1，在其他所有股票權(quán)重為 0 的組合。則這只股

16、票 i 與最大分散度組合的相關(guān)性為：, = (9)所有單只股票與最大分散度組合之間的相關(guān)性都是相等的。也因此最大分散度組合等價于與所有資產(chǎn)相關(guān)性都相等的組合。當(dāng) P 就是最大分散度組合時，可以帶入公式 8 求解常數(shù) k，常數(shù) k 等于： = ()(10)把 k 的值帶入公式 8 中，我們可以得到任意組合 P 與最大分散度組合的相關(guān)性:,= ()()(11)在獲得了任意資產(chǎn)相對最大分散度組合的相關(guān)性后，我們可以類比CAPM 的方式構(gòu)建以分散度為單因子的因子模型：ppMpR= + P D(P) R+ (12)M D(M)其中Rp代表了組合 p 相比現(xiàn)金的超額收益率，而p與p分別代表了由回歸得到的常

17、數(shù)項以及殘差項。在現(xiàn)實世界中，投資者通常在組合構(gòu)建中添加約束限制，也因此并不會是空集。禁止空頭倉位就是最為常見的線性約束之一。前一節(jié)中提及的最大分散度組合所具備的性質(zhì)也需要更進一步的分析。接下來我們將更為關(guān)注多頭下的最大分散度組合的性質(zhì)。對組合添加禁止做空的約束通常有兩個意義。一是通過這一約束來減少預(yù)期收益率估計誤差對組合的影響。其次使用這一約束可以確保組合具備對股權(quán)風(fēng)險溢價的正的暴露。此時，最大分散度組合中具有持倉的資產(chǎn)都與最大分散度組合具有相等的相關(guān)性。而在最大分散度組合中并沒有持倉的資產(chǎn)則與最大分散度組合有著更高的相關(guān)性。當(dāng)投資域中所有的資產(chǎn)具有相等的波動率時，最大分散度組合等價于最小方

18、差組合。而在現(xiàn)實世界中，投資組合再平衡持續(xù)發(fā)生的環(huán)境下，因為最大分散度組合與資產(chǎn)市值獨立，其會獲得相比買入并持有組合 (buy-and-hold)更高的分散收益(Booth & Fama, 1992)。實證結(jié)果在本章的分析中，我們使用歐洲以及美國的股票數(shù)據(jù)來分析最大分散度組合的歷史表現(xiàn)。尤其我們重點關(guān)注最大分散度組合與其他常見組合在收益與特征角度的差異。測算方法在測試最大分散度組合的效果之前，首先需要確定幾個問題。我們需要確定投資域內(nèi)所包含的資產(chǎn)，搜集資產(chǎn)收益率數(shù)據(jù)，并對資產(chǎn)真實收益率可能會產(chǎn)生影響的拆股、股利以及幸存者偏差的相關(guān)信息進行整理。在獲得了干凈的收益率數(shù)據(jù)后，我們首先來估計資產(chǎn)的方

19、差協(xié)方差矩陣。市場中廣泛使用的方差估計方法包括：滾動樣本方差估計、時間加權(quán)滾 動樣本方差估計、GARCH 模型以及多種基于貝葉斯方法的預(yù)測模型。 盡管估計誤差同樣存在于方差以及相關(guān)性的估計中，研究者通常認為相 關(guān)性的估計比方差的估計更為穩(wěn)定。也因此，我們發(fā)現(xiàn)基于不同協(xié)方差 矩陣估計的最大分散度組合具備非常一致的特性。改變用于協(xié)方差矩陣 估計的數(shù)據(jù)頻率以及估計期間等參數(shù)對于最大分散度組合的結(jié)果的影 響并不明顯。甚至使用未來的數(shù)據(jù)估計協(xié)方差矩陣并構(gòu)建最大分散度組 合，結(jié)果也并沒有與使用歷史數(shù)據(jù)構(gòu)建的最大分散度組合有很大差異。有一點需要注意的是，優(yōu)化器會賦予波動率被低估的因子更高的權(quán)重 (參考Mic

20、haud, 1998)。這對基于有嚴(yán)重多重共線性問題的投資域構(gòu)建的多空組合的影響時尤為顯著的。解決這一問題最簡單的方法是給投資組合加上禁止賣空的優(yōu)化約束。更進一步的給資產(chǎn)添加最大權(quán)重上限也有助于減少估計誤差對優(yōu)化組合的影響。為了便于測試最大分散度組合的歷史表現(xiàn)，我們在每個月的月末以公式 1 為優(yōu)化目標(biāo)構(gòu)建最大分散度組合，并將組合的歷史測算結(jié)果與市值加權(quán)指數(shù)、最小方差組合以及等權(quán)組合的測算結(jié)果進行對照。我們分別分析了美國以及歐洲市場中最大分散度組合的效果。針對美國市場，我們使用標(biāo)普 500 指數(shù)自 1990/12 至 2008/2 的日頻收益率數(shù)據(jù)。對于歐洲市場，我們使用道瓊斯歐洲大盤指數(shù)(Do

21、w Jones Euro Stoxx Large Cap Index)自 1990/12 至 2008/2 的日頻收益率。最大分散度組合表現(xiàn)更優(yōu)表 1 與表 2 分別總結(jié)了最大分散度組合在歐洲市場與美國市場的表現(xiàn)。在兩個市場中，最大分散度組合都獲得了相比其他三類組合更優(yōu)的風(fēng)險調(diào)整收益。與預(yù)期一致，最大分散度組合的風(fēng)險小于市值加權(quán)的指數(shù)(歐洲市場波動率 13.9 vs 17.9, 美國市場波動率 12.7 vs 13.4)。為了便于更進一步的分析最大分散度組合在不同的市場情況下的表現(xiàn)，我們還把全樣本進一步劃分為 1992-2000 以及 2001-2008 兩個子樣本進行表現(xiàn)測算與分析。圖 1：

22、歐洲股票指數(shù)回測結(jié)果 (1992-2008)數(shù)據(jù)來源：Choueifaty et al (2008)表 1：歐洲股票指數(shù)回測結(jié)果 (1992-2008)數(shù)據(jù)來源：Choueifaty et al (2008)圖 2：美國股票指數(shù)回測結(jié)果 (1992-2008)數(shù)據(jù)來源：Choueifaty et al (2008)表 2：美國股票指數(shù)回測結(jié)果 (1992-2008)數(shù)據(jù)來源：Choueifaty et al (2008)需要注意的是，所有不以市值加權(quán)的指數(shù)相比市值加權(quán)指數(shù)都會有更小的大市值暴露。為了度量最大分散度組合相比傳統(tǒng)市值加權(quán)指數(shù)的風(fēng)格偏移，我們對所有 4 種指數(shù)進行 Fama-Macb

23、eth 的回歸，并在表 3 與表 4中分別展示了歐洲股票與美國股票在不同樣本內(nèi)的結(jié)果。表中的 HML對應(yīng)了價值因子，而 SMB 對應(yīng)了市值因子。表 3 中可以發(fā)現(xiàn)，在全樣本的 Fama-Macbeth 的回歸中，最大分散度組合以 4.14 的 t 統(tǒng)計量獲得了 6的超額收益。最小方差組合的這兩個數(shù)據(jù)分別為3.51 以及5.1。等權(quán)組合的這兩個數(shù)值分別為1.16 以及0.6。表 4 中的美國市場的回歸結(jié)果與歐洲市場的回歸結(jié)果有所類似，最大分散度組合以 1.83 的 t 統(tǒng)計量獲得了 3.1的超額收益率。最小方差組合的這兩個量是 1.4 以及 2.2。而等權(quán)組合的這兩個量分別是 2.27 以及1.

24、2。我們還使用績效歸因工具(Lehman Brothers Equity Risk Analysis)對歐洲市場的最大分散度組合進行了歸因分析。股票的特異風(fēng)險，而不是某一或某些風(fēng)格的持續(xù)暴露可以解釋大部分(48中的 18)的超額收益率。表 3：歐洲股票指數(shù) Fama-Macbeth 回歸系數(shù) (1992-2008)數(shù)據(jù)來源：Choueifaty et al (2008)表 4：美國股票指數(shù) Fama-Macbeth 回歸系數(shù) (1992-2008)數(shù)據(jù)來源：Choueifaty et al (2008)圖 3 中給出了基于歐洲股票市場的最大分散度組合的分散度量的時間序列走勢?？梢园l(fā)現(xiàn)最大分散度

25、組合的分散比率也隨資產(chǎn)相關(guān)性的變化而波動。整體上來說，最大分散度組合的分散程度是市值加權(quán)指數(shù)的 1.5倍左右。圖 3：歐洲股票最大分散度組合的分散度量 (1992-2008)數(shù)據(jù)來源：Choueifaty et al (2008)為何最大分散度組合表現(xiàn)更優(yōu)？前文中我們發(fā)現(xiàn)最大分散度組合相比市值組合以及最小方差組合有更高的夏普比率。這意味著最大分散度組合更為接近有效前沿。這三種不同組合在不同的假設(shè)下可以對應(yīng)最優(yōu)的切線組合(tangency portfolio，夏普最高)。最大分散度組合對應(yīng)的更好的表現(xiàn)可能來源于其對應(yīng)的假設(shè)更為貼近市場真實情況。我們先來回顧使得這三種組合是最優(yōu)組合所需對應(yīng)的資產(chǎn)預(yù)

26、期收益率假設(shè)。當(dāng)資產(chǎn)的預(yù)期收益率與資產(chǎn)波動率成比率時，最大分散度組合是最優(yōu)組合。此時E(Ri) = Ki,其中 k 是一個常數(shù)。當(dāng)資產(chǎn)的預(yù)期收益率由其相對于市場組合 M 的敏感性決定時，市值加權(quán)組合是最優(yōu)組合。這一描述也對應(yīng)了資本資產(chǎn)定價模型下對預(yù)期收益率決定因素的描述(公式 13)E(Ri) = iE(RB) = i,B i E(RB)(13)B這里為了簡化分析，我們假設(shè)無風(fēng)險收益為 0，更進一步的，如果我們假設(shè)市場組合的預(yù)期收益率E(RB)以及波動率B已經(jīng)給定,則資產(chǎn)預(yù)期收益率假設(shè)可以簡化為與資產(chǎn)波動率和相關(guān)性乘積成比例(如公式 14)。E(Ri) = K,i(14)其中 K 是一個常數(shù)，也就是說，當(dāng)資產(chǎn)預(yù)期收益率和它的波動率與市場組合相關(guān)性乘積成比例時，市值組合是最優(yōu)組合。而當(dāng)所有資產(chǎn)具有相同的預(yù)期收益率時，最小方差組合就是最優(yōu)組合。此時E(Ri) = K，K 同樣是一個常數(shù)。結(jié)合三種組合對應(yīng)的預(yù)期收益率假設(shè)，我們發(fā)現(xiàn)，雖然最大分散度組合與市值組合差異十分顯著，但是最大分散度組合所需的預(yù)期收益率假設(shè)與市值組合所需的預(yù)期收益假設(shè)十分的