2022屆安徽省蕪湖市高三下學期5月教育教學質量監(jiān)控數(shù)學（理）試題（解析版）（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 17 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 17 頁2022屆安徽省蕪湖市高三下學期5月教育教學質量監(jiān)控數(shù)學（理）試題一、單選題1設集合，則（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)集合的并集的運算方法計算即可.【詳解】因為集合，.故選：D.2已知復數(shù)滿足，則（）ABC2D5【答案】B【分析】由題意，根據(jù)復數(shù)的除法運算，求得，再由復數(shù)模的運算，即可求解.【詳解】由題意，復數(shù)滿足，則.故選：B.3（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導公式、逆用差角的正弦計算作答.

2、【詳解】.故選：A4改革開放后，優(yōu)越的區(qū)位條件及政策傾斜使得我國東南地區(qū)尤其是長三角地區(qū)的經濟得到迅速發(fā)展，大幅度提高了長三角地區(qū)對外來人口流入的拉力作用，從而使得該地區(qū)的人口經濟集聚程度進一步提升.為研究長三角地區(qū)人口密度對經濟增長的貢獻效應，經調查統(tǒng)計，得到長三角地區(qū)分階段人口密度與貢獻率，結果如圖1.下列說法中錯誤的是（）A2009年以來，長三角地區(qū)新增人口漸趨平穩(wěn)，人口集聚程度放緩B長三角地區(qū)人口密度對經濟增長的貢獻率呈現(xiàn)由增到減的發(fā)展走勢C人口質量紅利貢獻率與人口數(shù)量紅利貢獻率相比較，人口質量紅利貢獻率的波動性較大D人口數(shù)量紅利和人口質量紅利相比較，人口數(shù)量紅利對經濟增長的貢獻更為突

3、出【答案】D【分析】根據(jù)題目中給的圖表對各個選項進行分析判斷即可.【詳解】A. 從圖形上看，2009年以來，長三角地區(qū)人口增加平穩(wěn)，人口集聚程度緩慢，所以正確；B. 人口密度對經濟增長的貢獻率呈現(xiàn)由增到減的發(fā)展走勢，所以正確；C. 人口質量紅利貢獻率波動性較大，人口數(shù)量紅利貢獻率相對比較平穩(wěn)，所以正確；D.從圖形看，人口質量紅利對經濟增長的貢獻較為突出，所以錯誤；故選：D5設動圓圓心為，該動圓過定點，且與直線相切（），圓心軌跡為曲線.過點的直線與軸垂直，若直線與曲線交于，兩點，則（）ABCD【答案】D【分析】先根據(jù)拋物線的定義求曲線的軌跡，再由定義可求解.【詳解】由題意，設，因為，根據(jù)拋物線的

4、定義可知，曲線的軌跡為，再根據(jù)直線與軸垂直且直線與曲線交于，兩點，從而可知.故選：D6已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）ABC1D2【答案】B【分析】利用等差數(shù)列前項和公式及等差數(shù)列的性質，由代入前8項和公式中，從而求出的值【詳解】由已知，得，故選：B.7為了檢驗某種血清預防感冒的作用，把名使用血清的人與另外名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設：“這種血清不能起到預防感冒的作用”，利用列聯(lián)表計算的結果，認為成立的可能性不足，那么的一個可能取值為（）ABCD【答案】A【分析】由獨立性檢驗的知識直接判斷選項即可.【詳解】若成立的可能性不足，則，由選項知：.故選：A.8在的展開式中，項的

5、系數(shù)為（）A5BC15D【答案】B【分析】用組合思想即可解決三項展開式中的系數(shù).【詳解】，表示5個相乘，展開式中出現(xiàn)有兩種情況，第一種是中選出3個和2個1，第二種是中選出4個和1個，所以展開式中含有項有和，所以項的系數(shù)為.故選：B9設，則，的大小關系正確的是（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性估計的范圍，由此比較，的大小關系.【詳解】，因為函數(shù)為上的增函數(shù)，所以，故，又為R上的增函數(shù)，所以，即，所以，故選：A10已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則將的圖象向左平移個單位后，所得圖象的函數(shù)解析式是（）ABCD【答案】C【分析】由函數(shù)圖象可知最大值和最小正周期，由此可得；利用可得

6、，根據(jù)三角函數(shù)平移變換和誘導公式可化簡得到函數(shù)解析式.【詳解】由圖象知：，則；，解得：；，解得：，又，即平移后的函數(shù)解析式為.故選：C.11已知函數(shù)，若不等式的解集為且，則函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（）ABCD【答案】C【分析】分析可得，且，對比可求得、的值，可得出函數(shù)的解析式，求出，解不等式可得出函數(shù)的單調遞減區(qū)間.【詳解】不等式的解集為且，如下圖所示：所以，且，即，所以，解得，則，所以，由，解得，因此，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.故選：C.12如圖所示，圓柱中，是底面直徑，點是上一點，點是母線上一點，點是上底面的一動點，則（）A存在點，使得B存在唯一的點，使得C滿足的點的軌跡長度是D當時，三棱錐外接球

7、的表面積是【答案】D【分析】建立空間直角坐標系，利用坐標法判斷選項A，B，C的對錯，再通過確定三棱錐外接球的球心及半徑判斷D.【詳解】由圓錐的性質可得平面，如圖以為原點，為的正方向建立空間直角坐標系，設，則，設關于點的對稱點為，因為，所以，所以，又，所以，A錯誤，又，因為，所以，所以，所以，所以滿足的點的軌跡為圓，B錯誤，因為，所以，所以，故，所以滿足的點的軌跡為線段，所以，C錯誤，因為，,所以為直角三角形，取的中點為,又為直角三角形，所以,故為三棱錐外接球的球心，故外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為，D正確，故選：D.二、填空題13設為奇函數(shù)，且時，則_.【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)

8、的性質即可求【詳解】由題可知，故答案為：14已知向量，且在上的投影等于，則_.【答案】4【分析】根據(jù)投影定義直接計算可得，注意數(shù)量積符號.【詳解】因為在上的投影等于，即所以，且，解得.故答案為：415已知雙曲線的左右焦點分別為，過右焦點的直線斜率為，且與雙曲線左右兩支分別交于，兩點，若的周長為，則_.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義求得，再求出點的坐標，最后根據(jù)斜率公式可求解.【詳解】由右焦點，可知，故雙曲線方程為，由雙曲線的定義有,又的周長為，即，從而可得.設，且有，所以,解得，從而可得，即，所以.故答案為：16記為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項積，已知，若，成等比數(shù)列，則_.【答案】10【分析

9、】由已知可得當時，結合可得數(shù)列為等差數(shù)列從而得到通項和，然后利用等比中項進行計算可得答案.【詳解】為數(shù)列的前項積，當時，當時，則，整理得，即數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，,，成等比數(shù)列，即，即，解得，故答案為：10三、解答題17在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若的面積為.(1)求；(2)若，求周長的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】(1)根據(jù)余弦定理和三角形面積公式即可求tanC，從而可求C的值；(2)根據(jù)正弦定理邊化角，用sinA和sinB分別表示a、b，根據(jù)B=用A表示B，利用三角恒等變換和三角函數(shù)值域即可求三角形周長的范圍【詳解】(1)根據(jù)余弦定理得，即，；(2)由

10、正弦定理可得，的周長，則，周長的取值范圍為18如圖，在四棱錐中，平面平面，平面與平面相交于直線.(1)證明：；(2)若，二面角是60，點是直線上異于點的一點，且直線和平面所成角的正弦值是，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面平行的性質得到，再由面面垂直的性質得到線面垂直，最后證明出線線垂直；（2）建立空間直角坐標系，設，用空間向量求解直線和平面所成角的正弦值，列出方程，求出【詳解】(1)因為，平面，平面，所以平面.又因為平面，平面平面，所以.因為平面平面，平面平面，所以平面.故平面，而平面，所以.(2)由（1）可得，故又，所以是等邊三角形.取中點，連，以為坐標原點，為軸，為軸

11、，如圖建系.則，設，平面的法向量為，則，令，得，又則化簡，得：，解得：，故19某校為了宣傳蕪湖市的“紫云英人才計劃”開展多項游戲活動，其中一項為摸球領獎品游戲.游戲規(guī)則如下：在不透明的口袋中有3個紅球2個黑球，這些球除顏色外完全相同，參與者每一輪從口袋中一次性取3個球，將其中紅球的個數(shù)記為該輪得分，記錄完得分后，將取出的球全部放回袋中.當參與者完成輪游戲，累計得分恰好為時，游戲過關，可獲得獎品，同時游戲結束，否則繼續(xù)參與游戲.3輪后仍未過關，則游戲結束，每位參與者只能參與一次游戲.(1)求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；(2)若小明同學參與游戲，求小明獲得獎品的概率.【答案】(1)見解析(2)【分

12、析】（1）寫出隨機變量的可能取值和取每個值所對應的概率，即可得到分布列，結合期望公式即可得解；（2）分別求出小明同學取球1次后，取球2次后，取球3次后可獲得獎品的概率，求和即可得到答案.【詳解】(1)由題意得，隨機變量可取的值為1，2，3，易知，所以，則隨機變量的分布列如下：1230.30.60.1所以(2)由（1）可知，參與者每輪得1分，2分，3分的概率依次為0.3，0.6，0.1，記參與者第輪的得分為，則其前輪的累計得分為若第一輪取球后可領取紀念品，即參與者得2分，則；若第二輪取球后可領取紀念品，即參與者獲得的分數(shù)之和為4分，有“”“”的情形，則；若第三輪取球后可領取紀念品，即參與者獲得的

13、分數(shù)之和為6分，有“”“”的情形，則；記“參與者能夠領取紀念品”為事件，則.20已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左右頂點，為橢圓的上頂點，為橢圓的左焦點，且的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)設過點的動直線交橢圓于、兩點(點在軸上方)，、分別為直線、與軸的交點，證明：為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)橢圓離心率列出用c表示a、b，根據(jù)即可求出c，從而求出a、b和橢圓的方程；(2)設方程為，聯(lián)立直線l方程和橢圓方程得根與系數(shù)關系，求出M和N的坐標，代入化簡即可得結論【詳解】(1)由橢圓的離心率為，得，于是，因此，橢圓的方程為；(2)易知，直線(EF)斜率不為0，設方程為

14、，由得，設，則，則由直線方程，得；由直線方程，得；由此可得，為定值21已知函數(shù)，為的導數(shù).(1)當時，求在處的切線方程；(2)當恰有兩個極值點時，記極大值和極小值分別為，.求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求解；(2)根據(jù)題意，設，再根據(jù)單調性得到函數(shù)的極值點，然后通過統(tǒng)一變量，再求新函數(shù)的最值即可.【詳解】(1)當，切線的斜率為：，切點為，所以切線方程為，即切線方程為.(2)令，所以，設函數(shù)的兩個極值點分別為，則，分別為函數(shù)的極大值點和極小值點，且，其中，所以，由，可得，設，令，可得，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以，即.【關鍵點點睛】解

15、決本題第1問的關鍵是求切線的斜率及切點，解決第2問的關鍵一是統(tǒng)一變量的思想，二是通過求函數(shù)的導數(shù)來確定函數(shù)的單調性.22在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線經過伸縮變換得到曲線.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線的極坐標方程；(2)已知射線與曲線交于、兩點，若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出曲線的參數(shù)方程，化為普通方程，再利用極坐標方程與直角坐標方程之間的轉換關系可得出曲線的極坐標方程；（2）設、，則、為方程的兩根，由已知可得，結合韋達定理可求得的值，利用同角三角函數(shù)的基本關系可求得的值.【詳解】(1)解：由題可得的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則的直角方程為，即，因為，所以，所以曲線的極坐標方程為.(2