高中數(shù)學(xué)選修2-1配北師版-課后習(xí)題Word版-第二章　空間向量與立體幾何§6　距離的計(jì)算

1、6距離的計(jì)算課后篇鞏固提升A組1.已知向量n=(1,0,-1)與直線l垂直,且l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3,1),則點(diǎn)P(4,3,2)到l的距離為() A.32B.22C.2D.322答案B2.已知平面的一個(gè)法向量n=(-2,-2,1),點(diǎn)A(-1,3,0)在平面內(nèi),則點(diǎn)P(-2,1,4)到的距離為()A.10B.3C.83D.103答案D3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,則點(diǎn)A1到對(duì)角線BC1所在的直線的距離為()A.62aB.aC.2aD.a2答案A4.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是線段BB1,B1C1的中點(diǎn),則直線MN與平面ACD1間的距離是(

2、)A.12B.22C.13D.32答案D5.已知直線l過(guò)定點(diǎn)A(2,3,1),且方向向量為s=(0,1,1),則點(diǎn)P(4,3,2)到l的距離為.答案3226. 如圖,已知ABC是以B為直角的直角三角形,SA平面ABC,SA=BC=2,AB=4,M,N,D分別是SC,AB,BC的中點(diǎn),則點(diǎn)A到平面SND的距離為.答案637.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)棱PA底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E為PD的中點(diǎn).在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N,使NE平面PAC,并分別求出點(diǎn)N到AB和AP的距離.解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則由題意有A(0,0,0),C(3,1,0),D(

3、0,1,0),P(0,0,2),E0,12,1.所以AC=(3,1,0),AP=(0,0,2).因?yàn)辄c(diǎn)N在側(cè)面PAB內(nèi),故可設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x,0,z),則NE=-x,12,1-z.由NE平面PAC,可得NEAP=0,NEAC=0,即-x,12,1-z(0,0,2)=0,-x,12,1-z(3,1,0)=0.化簡(jiǎn),得z-1=0,-3x+12=0.所以x=36,z=1,即點(diǎn)N的坐標(biāo)為36,0,1,從而點(diǎn)N到AB和AP的距離分別為1,36.8.已知三棱柱ABC-A1B1C1是各條棱長(zhǎng)均為a的正三棱柱,D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn).求點(diǎn)C到平面AB1D的距離.解(方法一)如圖,連接A1B,交AB1于點(diǎn)M,連

4、接DM,則DM平面AA1B1B,所以A1BDM.又A1BAB1=(ABAA1)(AB+AA1)=|AB|2-|AA1|2=0,A1BAB1.A1B平面AB1D.即A1B是平面AB1D的一個(gè)法向量.故點(diǎn)C到平面AB1D的距離d=|ACA1B|A1B|=|AC(A1A+AB)|2a=|ACAB|2a=12a22a=24a.(方法二)如圖,以B為原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B與BC垂直的直線為x軸,BC所在的直線為y軸,BB1所在的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),A32a,a2,0,A132a,a2,a,B1(0,0,a),D0,a,a2,C(0,a,0).可知AB1=-32a,-a2,a,AC=

5、-32a,a2,0,A1B=-32a,-a2,-a.取AB1的中點(diǎn)M,則M34a,a4,a2.DM=34a,-34a,0,DMA1B=34a-32a+-34a-a2+0(-a)=0.DMA1B.又A1BAB1=-32a,-a2,-a-32a,-a2,a=34a2+a24-a2=0,A1BAB1.A1B平面AB1D.即A1B是平面AB1D的一個(gè)法向量,故點(diǎn)C到平面AB1D的距離d=|ACA1B|A1B|=-32a,a2,0-32a,-a2,-a2a=24a.B組1.已知ABCD-EFGH是棱長(zhǎng)為1的正方體,若點(diǎn)P在正方體內(nèi)部且滿足AP=34AB+12AD+23AE,則點(diǎn)P到AB的距離為()A.5

6、6B.18112C.10306D.56答案A2.定義:兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,則異面直線AC與BC1之間的距離是()A.55B.77C.66D.67答案D3.如圖,BCD與MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=23,則點(diǎn)A到平面MBC的距離為.答案21554.如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,E,F,M,N分別是所在棱的中點(diǎn),則平面A1EF與平面B1NMD1間的距離為.答案235.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=6,AA1=4,

7、M是A1C1的中點(diǎn),P在線段BC上,且|CP|=2,Q是DD1的中點(diǎn),求:(1)點(diǎn)M到直線PQ的距離;(2)點(diǎn)M到平面AB1P的距離.解如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(4,0,0),M(2,3,4),P(0,4,0),Q(4,6,2),B1(0,0,4).(1)QM=(-2,-3,2),QP=(-4,-2,-2),QM在QP上的投影為|QMQP|QP|=|8+6-4|16+4+4=566,點(diǎn)M到直線PQ的距離為|QM|2-(566)2=17-256=4626.(2)設(shè)平面AB1P的法向量n=(x,y,z),則nAB1,nAP,AB1=(-4,0,4),AP=(-4,4,0),nAB1=-4x+

8、4z=0,nAP=-4x+4y=0,令x=1,解得y=1,z=1,n=(1,1,1),又MA=(2,-3,-4),點(diǎn)M到平面AB1P的距離d=|MAn|n|=|2-3-4|3=533.6.如圖,平面PAD平面ABCD,ABCD為正方形,PAD=90,且PA=AD=2,E,F分別是線段PA,PD的中點(diǎn).問(wèn):線段CD上是否存在一點(diǎn)Q,使得點(diǎn)A到平面EFQ的距離為45?若存在,求出CQ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解由題意知PA,AD,AB兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),D(0,2,0),E(0,0,1),F(0,1,1).假設(shè)在線段CD上存在一點(diǎn)Q滿足題設(shè)條件.令CQ=m(0m2),則DQ=2-m.點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2-m,2,0),EQ=(2-m,2,-1).而EF=(0,1,0),設(shè)平面EFQ的法向量為n=(x,y,z),則nEF=0,nEQ=0,y=0,(2-m)x+2y-z=0,令x=1,則n=(1