新編數(shù)學(xué)數(shù)列專題復(fù)習(xí)之典型例題含答案

1、數(shù)列知識(shí)點(diǎn)求通項(xiàng)TOC o 1-5 h z一、由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)：觀察法和分拆與類比法猜測證明（略）二、由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)annnn例1已知數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S=3n1,則它的通項(xiàng)公式為a=.nnn答案23T練1已知數(shù)列a的前n項(xiàng)和S=3n22n+1,則其通項(xiàng)公式為nn2n=1答案a=L匚“n16n5,n三2三、由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)例3、（1）設(shè)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S.已知a=a,a=S+3n,ngN*.設(shè)nn1n+1nb=S-3n，求數(shù)列b的通項(xiàng)公式；nnn答案：b二S3n二（a3）2n-1,ngN*.nn22(2)(4)在數(shù)列a中，a二1,a二2，且a二(1+q)aqa(n2

2、,q豐0).n12n+1nn1(I)設(shè)b二aa(ngN*)，證明b是等比數(shù)列;nn+1nn(II)求數(shù)列a的通項(xiàng)公式;n答案:n,1qn11qq豐1,q=1.(3)在數(shù)列ta中，a=2,a=ka+九n+1+(2九)2n(ngN*)，其中九0n1n+1n求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；n求數(shù)列a的前n項(xiàng)和S；nn答案：a=(n1)九n+2nSnn(n一1)尢n+2一n九n+1+九2(1九)2+2n+12(九豐1)n(n1)+2n+12(九=1)4)n+1已知數(shù)列a滿足：a=3,a+a-=2n+2(neN*)n21)求數(shù)列a的通項(xiàng)公式;n2)答案：an設(shè)T=1+1+L+naaaa1234r1-qn-11+1-

3、qn,1aa2n-12nq豐1,q=1.求limTnns注意：由數(shù)列的遞推式求通項(xiàng)常見類型(請同學(xué)們查看高一筆記)1.a二a+f(n)2a二f(n)a.3a二pa+q(其中p,q均為常數(shù)，TOC o 1-5 h zn+1nn+1nn+1n(pq(p-1)豐0)。4.a二pa+=pa+qn(其中p，q均為常數(shù), HYPERLINK l bookmark101 o Current Document n+1nn+1n(pq(p-1)(q-1)豐0)。(或a二pa+rqn,其中p，q,r均為常數(shù))(2)n+1na二pa+an+b(p豐l、O,a豐0)5.遞推公式為a二pa+qa(其中p，q均為n+1n

4、n+2n+1nfs+1二p常數(shù))先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為a-sa=t(a-sa)其中S，t滿足5 HYPERLINK l bookmark97 o Current Document n+2n+1n+1n6、遞推公式為S與a的關(guān)系式。(或S二f(a)7、a二par(p0,a0)nnnnn+1nn8an+1f(n)ang(n)a+h(n)n9.a+a二pn+q或a-a二pqnn+1nn+1n10.雙數(shù)列型數(shù)列知識(shí)點(diǎn)求和問題一、掌握數(shù)列求和的常見方法：cn(a+a)n(n一1)”1.公式法求和：(1)等差數(shù)列S=1n=na+d;q=1q豐1n212na12)等比數(shù)列a(1一qn)a一aq1=1n1一q1

5、一q錯(cuò)位相減法：主要用于求數(shù)列ab的前n項(xiàng)和，其中a、b中一個(gè)為等差數(shù)nnnn列，另一個(gè)為等比數(shù)列。裂項(xiàng)相消法：一般適用于通項(xiàng)為的前n項(xiàng)和，其中a為等差數(shù)列。aannn+1常見的裂項(xiàng)技巧有：1n(n+k)1丄kn)(其中k為整數(shù))(2)1+k+-Jn1n+k(3)1(2n-1)(2n+1)12n+1n(n+1)(n+2)=21n(n+1)(n+1)(n+2)倒序相加法：分類相加法：將數(shù)列適當(dāng)拆分，重新組合，變成幾個(gè)可以求和的部分再分別求和。分奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)求和二、例題鞏固例1.求和：111(1)(1+1)+(-+4)+(+7)+(+3n-2)aa2an-1(2)sin21+sin22+sin2

6、3+八+sin288+sin289解：(1)a=1時(shí),(3n+1)n;a豐1時(shí)，(3n-1)n89a-1222n-1丿例2.求和sn=i+i+2j+i+2+4jJ+2+4宀解：Sn=2n2(】_1_2-12n2.例3.（08安徽卷）在等差數(shù)列a中，a=1，前n項(xiàng)和S滿足條件TOC o 1-5 h zn1nS4n+22,n1,2,，Sn+1n求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；n記bapan(p0)，求數(shù)列b的前n項(xiàng)和T。nnnn解：(I)annI)Tn(n+1)2P(1-Pn)(1-P)2p1npn+11-p例4.在數(shù)列a中，a1=1,當(dāng)n2時(shí)，其前n項(xiàng)和S滿足S2=a|Sn2n1nnnS求S”的表達(dá)式；設(shè)b

7、n=2n+1，求bn的前n項(xiàng)和Tn.11(1An解(1)S=7.(2)T=212T1=匸7.丿n2n1n2|2n十1丿2n+1例5.正數(shù)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S，且對任意的ngN*,滿足a2-2aS+1二0nnnnn求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；n記b=，數(shù)列b前n項(xiàng)和為T，求證：T2(+1-1)nSnnnn解：(1)a=.n一1(ngN)n+數(shù)列知識(shí)點(diǎn)數(shù)列的單調(diào)性例1、已知函數(shù)f(x)=(x2)(1)求f(x)的反函數(shù)f-i(x)；(2)設(shè)a二1,#x241=f-i(a)(nwN*),求a；(3)設(shè)S二a2+a2+a2,b=SS否annn12nn2n+1nn+1m存在最小正整數(shù)m，使得對任意nwN*,有b

8、1,a=匸3n+(1)n-1-2n+(1)nn5假設(shè)對任意n1有aa，求a的取值范圍.nn101解：a0的取值范圍為(，3)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)數(shù)列的綜合應(yīng)用一、數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用例1(2012南昌模擬)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S”，已知對任意的nN*，點(diǎn)(n,S”)均在函數(shù)y=bx+r(b0且bH1,b,r均為常數(shù))的圖象上.求r的值；當(dāng)b=2時(shí)，記bn=n+14a(nN*),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)1n+13n+3r=1.(2)Tn=22n盯=2廿.練1(2011.福建)已知等比數(shù)列an的公比q=3,前3項(xiàng)和S3=y.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；n若函數(shù)fx)=Asin(2x+p)(A

9、O,OV0Vn)在x=g處取得最大值，且最大值為a3,求函數(shù)fx)的解析式.解an=|x3n-1=3n-2.(2)函數(shù)fx)的解析式為fx)=3sin(2x+6)二、數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用TOC o 1-5 h z12例2、設(shè)數(shù)列a的前n項(xiàng)和S,ax2“+】+,n=l,2,3,33求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an；2nn3(II)設(shè)T=，n=1,2,3,.，證明:T-nSJ2n解：(I)a=4n2n,n=1,2,3,，n練2在數(shù)列IaI,IbI中,產(chǎn)2,nn1b=4,且a,1nb,na成等差數(shù)列,n+1b，a，b成nn+1n+1等比數(shù)列（ngN*）(I)求a2,a3，a4及b2，b3，b4,由此猜測|a|

10、,|b|的通項(xiàng)公式,n并證明你的結(jié)論；(II)證明:11+a+ba+b112215+6時(shí)，|S2|1.nn五、數(shù)陣問題例5練習(xí)n2(n4)個(gè)正數(shù)排成幾行幾列:aaan1n2n3an4annaaaaa111213141naaaaa212223242naaaaa313233343n其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等，已知a24-1，a424316試求a+a1122HFa的值.nn解：S二2-2導(dǎo).2n-12n數(shù)列知識(shí)點(diǎn)求通項(xiàng)一、由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)：觀察法和分拆與類比法猜測證明（略）二、由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)annnnTOC o 1-5 h z例1已知數(shù)列a的

11、前n項(xiàng)和為S=3“一1,則它的通項(xiàng)公式為a=.答案23“一練1已知數(shù)列a的前n項(xiàng)和S=3n設(shè)T=丄+丄+L+1，求limT2n+1,則其通項(xiàng)公式為.nn2n=1答案a匚“6“一5,n三2三、由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)例3、（1）設(shè)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S.已知a=a,a=S+3“,ngN*.設(shè)nn1n+1nb=S-3n，求數(shù)列b的通項(xiàng)公式；nnn答案：b二S3n二(a3)2n-1,ngN*.nn(2)在數(shù)列a中，a=2,a=ka+九n+1+(2九)2n(ngN*)，其中九o.n1n+1n求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；n求數(shù)列a的前n項(xiàng)和S；nn(n-1)九n+2-n九n+1+九2-答案：a二(n1)九n+2nS

12、=+2n+12(九H1)nn(1九)2S二n(n1)+2n+12(九二1)n2(3)已知數(shù)列a滿足：a2=naaaaaa心竝n12342n12n,a+a1=2n+2(ngN*)n2nn+1求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；n1qn11+H,q豐1,答案:a=n1qn,q=1.(4)在數(shù)列a中,a二1,a二n12(I)設(shè)b二aa(ngN*),nn+1n(II)求數(shù)列a的通n公式;r1qn11+H?q豐1,答案:a=2,q豐0).n+1nn-1請同學(xué)們查看高一筆記)a=pa+q(其中p，q均為常數(shù),n+1n1.a二a+f(n)2a二f(n)a.3TOC o 1-5 h zn+1nn+1n(pq(p1)豐0)。4

13、.a二pa+=pa+qn(其中p,q均為常數(shù),q,n+1nn+1n(pq(p1)(q1)豐0)。(或a二pa+rqn,其中p,q,r均為常數(shù))(2)n+1na二pa+an+b(p豐l、0,a豐0)5.遞推公式為a二pa+qa(其中p,q均為n+1nn+2n+1nIs+1二p常數(shù))先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為a-sa=t(a-sa)其中s,t滿足5n+2n+1n+1n6、遞推公式為S與a的關(guān)系式。(或S二f(a)7、a二par(p0,a0)nnnnn+1nn8an+1f(n)ang(n)a+h(n)n9.a+a二pn+q或a-a二pqnn+1nn+1n10.雙數(shù)列型數(shù)列知識(shí)點(diǎn)求和問題一、掌握數(shù)列求和的常

14、見方法：1.公式法求和：n(a+a)(1)等差數(shù)列S=1上n2=na+n(nza)d122）等比數(shù)列na1a(1-qn)a-aq1=1n1-q1-q2.錯(cuò)位相減法：主要用于求數(shù)列ab的前n項(xiàng)和，其中a、b中一個(gè)為等差數(shù)nnnn列，另一個(gè)為等比數(shù)列。3.裂項(xiàng)相消法：一般適用于通項(xiàng)為的前n項(xiàng)和，其中a為等差數(shù)列。aannn+111_1(1-厶)(其中k為整數(shù))n(n+k)knn+k11=n+k+；nk常見的裂項(xiàng)技巧有：(3)=-(一)(2n-1)(2n+1)22n-12n+11_1n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)4.倒序相加法5.分類相加法6.分奇數(shù)項(xiàng)，二、例題鞏固例1.求

15、和：將數(shù)列適當(dāng)拆分，重新組合，變成幾個(gè)可以求和的部分再分別求和。偶數(shù)項(xiàng)求和(1)(1+1)+(丄+4)+(丄+7)+(丄+3n-2)aa2an-i(2)sin21+sin22+sin23+八dsin288+sin289解：(1)a=1時(shí),(3n+1)n;a豐1時(shí);0=(3n-1)n2a-12例2.求和sn=i+(i+2j+(i+2+4+(1+2+42n_i丿解和式中第k項(xiàng)為11,i1k/i、ak=i+2+423=T=2(i_2丿2+剳2例3.(08安徽卷)在等差數(shù)列l(wèi)an中，ai=1，前n項(xiàng)和$滿足條件(I)求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；n(II)記b=apan(P0)，求數(shù)列b的前n項(xiàng)和T。nnnna

16、+ai2=3，所以a=2,a2iS4n+2解：(I)設(shè)等差數(shù)列l(wèi)a的公差為d，由才=得：Sn+1na+nd+a2f21xn2(a+nd+a)=n1=a+an14n+2=S即d=aa=1，又2in+12nSn2a+an1xn22(a+n+1)n，所以a=noa+1nn(II)由b=apan，得b=npn。所以T=p+2p2+3p3+(n1)pn-i+npn，nnnn當(dāng)p=1時(shí)，=n(n+1)n2當(dāng)p豐1時(shí),pT=p2+2p3+3p4+(n-1)pn+npn+1,(1-P)Tn-p+p2+p3+pn-1+pn-npn+1=(1)-npn+11-pp二1n(n+1)2-p(1-pn)npn+1n日仃

17、Tp(1pn)nPn+1日仃丁,p主1、(1-p)21-pn(1-p)21-pn例4在數(shù)列an中，=1,當(dāng)n$2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足S2=as.S求Sn的表達(dá)式；設(shè)bn=2nJp1，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解(l).S2=a(S-2j,a=SS,n$2),n2丿nnn1、7(1AS2=(SSJS-2丿，即2S上=S4-S，nnn1n2丿n1nn1n由題意Sn1，曠，式兩邊同除以Sn1，Sn，得;1一S=2n1f1數(shù)列是首項(xiàng)為.、n丿占=1，公差為2的等差數(shù)列.S1a1亍=1+2(n1)=2n1，Sn=2nn又bn=2n+1=(2n-1；2n+1)=2礦2n+.T=b1+b_+b=2n12n21

18、-3丿+3-5丿+(11YJ2n12n+1J_il12n+1j=2n+r-例5.正數(shù)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S，且對任意的neN*，滿足a2-2aS+1=0nnnnn(1)求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；nTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark12 o Current Document (2)記b=，數(shù)列b前n項(xiàng)和為T，求證：T2(、：n+1-1)nSnnnn解:(1)Va22aS+1=0，令n1，:a22aS+1=0nnn111/aS,a0，:a111n1TaSS，:(SS)22(SS)S+10nnn1nn1nn1nS2S21(n2且neN)nn1+數(shù)列S2是以1為首項(xiàng)，1為公差

19、的等差數(shù)列，S2nnn/a0，.:Sjnnn:.a=：nxin一1(n2且neN)n+當(dāng)n1時(shí)，a1、111a=pn、$n一1(neN)n+2)bnS訪nn+pnTb+b+b+bn123n111+ HYPERLINK l bookmark121 o Current Document 2(J2p1+f2+4：3+pn+1pn)2(pn+11)14分?jǐn)?shù)列知識(shí)點(diǎn)數(shù)列的單調(diào)性例1、已知函數(shù)f(x)(xV2)(1)求f(x)的反函數(shù)f-1(x)；(2)設(shè)a1，x2-41-f-1(a)(neN*)，求a；(3)設(shè)Sa2+a2+a2,bS-S否annn12nn2n+1nn+1m存在最小正整數(shù)m，使得對任意n

20、eN*，有bV成立？若存在，求出m的值；若不存n25在，說明理由.例2.設(shè)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S.已知aa，aS+3n，ngN*.nn1n+1n(I)設(shè)bS-3n，求數(shù)列b的通項(xiàng)公式；TOC o 1-5 h znnn(II)若a上a，ngN*，求a的取值范圍.n+1n解：(I)依題意，S-SaS+3n，即S2S+3，由此得 HYPERLINK l bookmark57 o Current Document n+1nn+1nn+1nS-3n+12(S-3n).因此，所求通項(xiàng)公式為bS-3n(a-3)2”-1,ngN*n+1nnn(II)由知S3n+(a3)2n-1,ngN*，于是,n當(dāng)n2時(shí)，aS

21、S3“+(a3)x2nt-3n-1(a3)x2n-2nnn-112,2x3n-i+(a3)2“-2,a-a4x3n-1+(a-3)2n-22n-2n+1n當(dāng)n三2時(shí)，a三ao12n+1nI+a-3三0oa三-9.又aa+3a.211綜上，所求的a的取值范圍是-9,+8).例3設(shè)a為常數(shù)，且a3n-1-2a(ngN)TOC o 1-5 h z0nn-1證明對任意n1,a3n+(-1)n-12n+(-1)n-2nan50假設(shè)對任意n1有aa，求a的取值范圍.nn-10(1)證法一：(i)當(dāng)n=l時(shí)，由已知a1=12a0，等式成立；（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k三1）等式成立，則a,k二13k+(-1)k

22、-12k-(-1)k2a,50k+1那么a二3k-2a二3k-23k+(-1)k-12k-(-1)k2k+1ak50=3k+1+(-1)k2k+1+(-1)k+12k+1a.50也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立.根據(jù)（i）和（ii）,可知等式對任何nN，成立.1證法二：如果設(shè)a二3n12(aa3n-1),用a二3n12a代入，可解出a二.n-1nn-1nn-15九|是公比為一2,首項(xiàng)為5a-3的等比數(shù)列.15:.a曽=(12a5)(-2)n-1(neN).053n+(1)n12n+(-1)n2na.02）解法一：由a通項(xiàng)公式na-ann-12X3n-1+(1)n-13X2n-1+(-1)n

23、3X2n-1a.0aann-1(neN)等價(jià)于(1)n-1(5a01)(3)n-2(neN).2(i)當(dāng)n=2k1，k=1，2，時(shí),式即為(I)2k-2(5a1)()2k-3即為a1(3)2k-3+10525式對k=1,2,都成立，有丄x(3)-1+1=15253(ii)當(dāng)n=2k，k=1，2，時(shí)，式即為(-1)2k-1(5a0一1)-1X(3)2k-2+1.525式對k=1，2，都成立，有12x1-2+=0.51故a0的取值范圍為（，3）.1綜上，式對任意nN*，成立，有0a0an-1（N*）成立，特別取n=1，2有a1-a0二1-3a0aa二6a0.2101因此0a02x2n-1+3x2n

24、-1-5x3x2n-1二0當(dāng)n=2k,k=1,2時(shí)，5(aa)=2x3n-13x2n-1+5x3x2n-1ann-102x3n-13x2n-101故a0的取值范圍為(，3)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)數(shù)列的綜合應(yīng)用一、數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用例1（2012南昌模擬）等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S”，已知對任意的nN*，點(diǎn)（n,S”）均在函數(shù)y=bx+r（b0且bH1,b,r均為常數(shù)）的圖象上.(1)求r的值；n1當(dāng)b=2時(shí)，記b=4A(nN*),求數(shù)列化的前n項(xiàng)和Tn.n審題視點(diǎn)第(1)問將點(diǎn)(n,Sn)代入函數(shù)解析式，利用你二Sn-Sn_(n2)，得到a，再利用a二S可求r.n11第(2)問錯(cuò)位相減求和解(1)由題意

25、，S=Bn+r,當(dāng)n三2時(shí)，S1=Bn-1+r,所以a=SS.=Bnnn1nnn1-】(b1),由于b0且bHl,所以n2時(shí)，an是以b為公比的等比數(shù)列，又a=br,a2=b(b1),斜b,即時(shí)b解得r=1.n+1n+1(2)由(1)知，nN*,an=(b1)bn-1=2n-1，所以bn=4X2n_1=2；廠=2|3,4.n+1Tn=22十23十24+2n+1，1t丄+色2Tn23+24n|n+12+12+2，1211兩式相減得匚二習(xí)+刃+刃1n12n12n23_丄n+142+12+2，31n13n322n2nl22nlTn此類問題常常以函數(shù)的解析式為載體，轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，常用的數(shù)學(xué)思想方法有

26、“函數(shù)與方程”“等價(jià)轉(zhuǎn)化”等二、數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用12例2、設(shè)數(shù)列a的前n項(xiàng)和S=了a一二x2n+1+亍=1,2,3,nn3n33求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an；2nn3(II)設(shè)T=，n=l,2,3,.,證明:TSi=12n412解：（1I)由SaX2n+1+T,n1,2,3,n3n33412得a=SaX4+ll3l33所以al=2TOC o 1-5 h z412再由有s=aJ2n+，n=2,3,n-13n-13341將和相減得a二S-S二(a-a)-x(2n+1-2n),n二2,3,nnn-13nn-13整理得a+2n二4(a+2n-1),n=2,3,nn-1因而數(shù)列a+2n是首項(xiàng)為a,+2=4

27、，公比為4的等比數(shù)列，即n1a+2n=4x4-1=4nn=1,2,3,n因而a=4n2n,n=1,2,3,n(II)2n將a=4n-2n代入得T=3x-丄-=3x(丄-nn2(2n+1-1)x(2n-1)22n-12n+11所以，工T=3工(丄i22i-1i=1i=1-1)=-x(2i+1-1221-1-)32n+1-12練2在數(shù)列IaI,IbI中,nna1=2,b1=4,且a,1nb，na成等差數(shù)列，b,n+1na,b成n+1n+1等比數(shù)列(ngN*)(I)求a2,a3,a4及b2，b3，b4,由此猜測|a|，|b|的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；n11(II)證明：+-a+ba+b1122+1

28、5-a+b12nn解：(I)由條件得2b=a+a,nnn+1a2=bbn+1nn+1由此可得a=6,b=9,a=12,223b=16,a=20,34猜測a=n(n+1)b=(n+1)2.nn用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即a=k(k+1)b=(k+1)2,kk那么當(dāng)n=k+1時(shí)k11二(k+2)2.bka二2b-a二2(k+1)2-k(k+1)二(k+l)(k+2),bTOC o 1-5 h zk+1kkk+1所以當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立由，可知a二n(n+1),b二(n+1)2對一切正整數(shù)都成立.nn HYPERLINK l bookmark15

29、1 o Current Document 115(ID7=,2(n+1)n.nna+b111+a+b221+a+bnn一+11)+3x4n(n+1)丿TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark103 o Current Document 1111+.+334n6時(shí)，S2nan12nnn2n兀兀解（I）因?yàn)楣?,a2=2,所以a=(1+cos2)a+sin2=a+1=2,32121a=(1+cos2兀)a+sin2兀二2a=4.n22(2k1加2k1a2k-1一般地，當(dāng)n=2k1(kgN*)時(shí)，a=1+cos2a+sin2兀2k+12=a+1,2k-1即aa=1.2k+

30、12k-1所以數(shù)列a是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此a2k-12k-1故數(shù)列a的通項(xiàng)公式為a=6時(shí)，|S2|6時(shí)，：+2)1成立.2n證法(1)當(dāng)n=6時(shí)，十=昔=46)時(shí)不等式成立，即1.2k(k+1)(k+3)k(k+2)(k+1)(k+3)(k+1)(k+3)則當(dāng)n=k+1時(shí)，=x1.2k+12k2k(k+2)(k+2后k由(1)、(2)所述，當(dāng)n36時(shí)，1，即當(dāng)n26時(shí)，|S-26),則c-cn+1n(n+1)(n+3)n(n+2)_3-n22n+1222n+16時(shí)，c6時(shí)，cc_6時(shí)，6時(shí)，|S-2nn例3三、數(shù)列與解析幾何的綜合應(yīng)用（點(diǎn)列問題）如圖，從點(diǎn)P1（0,0）作x軸的垂

31、線交于曲線y=ex于點(diǎn)Q（0,1），曲線在Q點(diǎn)處的切線與x軸交與點(diǎn)P2。再從P2作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)Q2，依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：P1，Qi；P2,Qj.Pn，Qn，記丫點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0）歸,2,，n）。（I）試求xk與xk_i的關(guān)系3）；(II)求|PQ|+|PQ+|PQ|+.+|PQ|112233nnQ3,解(I)設(shè)P(x,0)，由y=ex得Q(x,e)點(diǎn)處切線方程為k-1k-1k-1k-1y-exk-1二exk-1(x-x),k-1由y=0得x二x1(2k,即k時(shí)，4k2IPPI2+51+9=10.22211而此時(shí)0II1,所以21PP|28x1+2二10.故2IPP|24k2

32、丨PP|2+5.2knn1111當(dāng)0IkI，即kg(-,0)50,三)時(shí)，4k2IPPI2+51,所以2IPPI28x1+2二10.故2IPPI24k2IPPI2+5.2knn13四、數(shù)陣問題例5練習(xí)n2（n4）個(gè)正數(shù)排成幾行幾列:aaan1n2n3an4annaaaaa111213141naaaaa212223242naaaaa313233343n其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等，已知a24二1,a4216試求a+aHFa的值.1122nn解：設(shè)第一行數(shù)列公差為d，各列數(shù)列的公比為q，則第四行數(shù)列公差是dq3,于是可得a=(a240，從而有a=d112k于是對任意的1k冬n，有akk=aqk-i=a+(k一1)dqk-11k11S=1+?+A+丄,222232n丄s=丄+A+A+.+丄22223242n+111111nTOC o 1-5 h z兩式相減后得:懇S-+-2222232n2n+11n所以S二2-一-.2n-12n例6(I)設(shè)a是集合2t+2s10st,且s,teZ中所有的數(shù)從小到大排列成的n數(shù)列，即a二3,a二5,a二6,a二9,a二10,a二12,.123456將數(shù)列a各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表：n1210(i)寫出這個(gè)三角