人教A版高中數(shù)學(xué)必修五 1.1.1 正弦定理課件

1、1.1.1 正弦定理主題正弦定理1.在RtABC中, 存在怎樣的關(guān)系?提示:在RtABC中,因為sin A= ,故c= ,同理c= ,因此 又因為C=90,故 2.在銳角ABC中,以上關(guān)系式是否仍然成立? 提示:如圖,在銳角ABC中,作CDAB于點D,有 =sin A, =sin B.所以CD=bsin A=asin B.所以 同理,在ABC中, 所以 成立.結(jié)論:1.正弦定理在一個三角形中,各邊和它所對角的_的比相等,即_.正弦2.解三角形(1)三角形的元素:三角形的三個內(nèi)角A,B,C和它們的對邊_.(2)解三角形:已知三角形的幾個元素求_的過程.a,b,c其他元素【對點訓(xùn)練】1.在ABC中

2、,a= b,A=120,則角B的大小為()A.30B.45C.60D.90【解析】選A.由正弦定理 得 sin B= ,因為A=120,得B=30.2.在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=1,A=30,B=45,則b的值為()A. B. C. D.2【解析】選C.由正弦定理 可得: .解得:b= .類型一已知兩角和一邊解三角形【典例1】(1)(2019潮州高二檢測)在ABC中, B=135,C=15,a=3,則邊b=()A.5 B.4 C.3 D.2 (2)已知在ABC中,D為BC中點,cosBAD= ,cosCAD= ,求BAC的值;求 的值.【解題指南】(1)由已知利

3、用三角形內(nèi)角和定理可求角A,再根據(jù)正弦定理可求b的值即可.(2)先求出sinBAD,sinCAD,根據(jù)cosBAC= cos(BAD+CAD)求解.在ABC與ABD中分別利用正弦定理及D為BC中點求解.【解析】(1)選C.因為B=135,C=15,所以A=180-B-C=30,所以由正弦定理 ,可得:b= .(2)因為cosBAD= ,cosCAD= ,所以在ABC中,BAD,CAD為銳角,所以sinBAD= ,sinCAD= ,cosBAC=cos(BAD+CAD) 因為0BAC,所以BAC= 在ABC中, 在ABD中, 又因為BC=2BD,所以 【方法總結(jié)】已知兩角和一邊解三角形的步驟【跟

4、蹤訓(xùn)練】1.在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若A= ,B= ,a=3 ,則b=()A.2 B.2C.3D.3 【解析】選A.在ABC中,由正弦定理得 ,所以b= 2.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b=1,B= ,cos A= ,則a=() 【解析】選A.由cos A= ,得sin A= .由正弦定理 【補償訓(xùn)練】若在ABC中,AC= ,A=45,C=75,求BC,AB及B.【解析】在ABC中,由A+B+C=180得B=180-A-C=60,在ABC中,由正弦定理得 故BC= 類型二已知兩邊及其中一邊的對角解三角形【典例2】(1)在ABC中,角A,B,C所

5、對的邊分別為a,b,c.已知A= ,a=1,b= ,則B=_.(2)已知ABC中,a= ,b= ,A=45,則三角形的解的個數(shù)為_.【解題指南】(1)由正弦定理即可求出角B.(2)利用正弦定理求角B的值,從而確定解的個數(shù).【解析】(1)依題意,由正弦定理知 得出sin B= .由于0Ba,故B=60或B=120,所以三角形的解的個數(shù)為2.答案:2【延伸探究】1.若本例(1)條件不變,試求邊長c. 【解析】由本例(1)解析知B= 或 ,當(dāng)B= 時,C=- 所以c= 當(dāng)B= 時,C=- 故c=a=1.2.把本例(1)中的“b= ”改為“b= ”,其他條件不變,試求B.【解析】由正弦定理得 即sin

6、 B= 由于0B0,所以3sin B=4cos B,所以tan B= ,由同角三角函數(shù)關(guān)系得cos B= .2.已知在ABC中,b=2 ,c=2,C=30,那么解此三角形可得()A.一解B.兩解C.無解D.解的個數(shù)不確定【解析】選B.因為 ,所以sin B= 因為bc,所以B=60或120,故解此三角形可得兩解.類型三利用正弦定理判斷三角形形狀【典例3】(1)若 則ABC是()A.等腰直角三角形B.有一內(nèi)角是30的直角三角形C.等邊三角形D.有一內(nèi)角是30的等腰三角形(2)在ABC中,已知 則ABC的形狀是_三角形.【解題指南】(1)由正弦定理可得tan B=tan C=1,從而判斷ABC形狀

7、.(2)切化弦后,利用正弦定理判斷.【解析】(1)選A.在ABC中, 則由正弦定理可得 即tan B=tan C=1,所以B=C=45,A=90,故ABC為等腰直角三角形. (2)由正弦定理得 即cos A=cos B,故A=B,所以ABC為等腰三角形.答案:等腰【方法總結(jié)】判斷三角形形狀的常用方法及步驟(1)方法:化邊為角或化角為邊.(2)步驟:第一步,將題目中的條件,利用正弦定理化邊為角或化角為邊,第二步,根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識得到三個內(nèi)角的關(guān)系或三邊的關(guān)系,進而確定三角形的形狀.【跟蹤訓(xùn)練】設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcos C +ccos B=asinA,則ABC的形狀為()A.銳角三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形【解析】選B.由正弦定理可以得到sin Bc