自動(dòng)控制原理：chapt2－3 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、2.6 狀態(tài)空間模型傳遞函數(shù)矩陣：狀態(tài)空間分析法在狀態(tài)空間中以狀態(tài)向量或狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的方法稱為狀態(tài)空間分析法或狀態(tài)變量法優(yōu)點(diǎn)便于在計(jì)算機(jī)上求解數(shù)學(xué)描述簡單容易考慮初始條件能了解系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化特性適用范圍廣便于設(shè)計(jì)預(yù)備知識(shí)矩陣微分1、向量函數(shù)對(duì)數(shù)量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2、矩陣函數(shù)對(duì)數(shù)量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3、數(shù)量函數(shù)對(duì)向量的導(dǎo)數(shù)4、向量函數(shù)對(duì)向量的導(dǎo)數(shù)5、矩陣函數(shù)對(duì)向量的導(dǎo)數(shù)預(yù)備知識(shí)矩陣微分1、向量函數(shù)對(duì)數(shù)量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2、矩陣函數(shù)對(duì)數(shù)量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)預(yù)備知識(shí)矩陣微分3、數(shù)量函數(shù)對(duì)向量的導(dǎo)數(shù)4、向量函數(shù)對(duì)向量的導(dǎo)數(shù)預(yù)備知識(shí)矩陣微分5、矩陣函數(shù)對(duì)向量的導(dǎo)數(shù)一、狀態(tài)空間和狀態(tài)方程1、狀態(tài)變量表達(dá)式相關(guān)概念如圖所示的R

2、LC電路，其輸入電壓為ur(t)，該電路中的四個(gè)物理量i(t)、uR(t)、uL(t)、uC(t)反映著系統(tǒng)各方面的特征，根據(jù)線性電路知識(shí)，這個(gè)電路有兩個(gè)儲(chǔ)能元件，即電感L和電容C，因此只能有兩個(gè)物理量是獨(dú)立的，而其余的物理量必能用這兩個(gè)獨(dú)立的物理量來表示。當(dāng)選i(t)、Uc(t)為獨(dú)立變量時(shí)，則其它變量可表示為： 由解微分方程可知，如果已知初始條件i(0)、uc(0)以及t0的ur(t),那么在t0后的任一時(shí)刻的解就完全被確定了。如方程組采用狀態(tài)向量表示時(shí), 令 為系統(tǒng)輸入， ( 狀態(tài)方程 ) 如果以u(píng)C(t)為系統(tǒng)輸出，用y表示，則有 ( 輸出方程 ) 系統(tǒng)輸出也可能并不一定是狀態(tài)變量，但

3、前面提到，其它的量如uR(t)或uL(t)等一定能用狀態(tài)變量來表示。即輸出可以寫成狀態(tài)變量的線性組合,因此輸出方程一定是代數(shù)方程 寫為矩陣形式如 狀態(tài)空間模型 一、狀態(tài)空間和狀態(tài)方程1、狀態(tài)空間方法的基本概念狀態(tài)：從過去無窮遠(yuǎn)時(shí)間積累到現(xiàn)在能完備的描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特征的最小數(shù)目的一組變量。狀態(tài)向量：若以n個(gè)狀態(tài)變量 做為向量 的分量，則稱 為狀態(tài)向量。狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量 為基構(gòu)成的n維空間。狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階微分方程組稱為狀態(tài)方程。2、線性系統(tǒng)及其狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)方程的一般形式單輸入線性定常連續(xù)系統(tǒng)式中常系數(shù) 與系統(tǒng)特性有關(guān)。上式可以寫成向量矩陣形式：其中2、線

4、性系統(tǒng)及其狀態(tài)空間表達(dá)式（續(xù)）多輸入線性定常連續(xù)系統(tǒng)向量矩陣形式為：其中2、線性系統(tǒng)及其狀態(tài)空間表達(dá)式（續(xù)）輸出方程：系統(tǒng)輸出量與狀態(tài)變量、輸入量的關(guān)系稱為輸出方程。輸出量由系統(tǒng)任務(wù)確定或給定單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)輸出方程的一般形式為式中常系數(shù) 與系統(tǒng)特性有關(guān)。其向量矩陣形式為：多輸入多輸出系統(tǒng)的輸出方程的一般形式為其向量矩陣形式為：2、線性系統(tǒng)及其狀態(tài)空間表達(dá)式（續(xù)）狀態(tài)空間表達(dá)式：狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間表達(dá)式，又稱動(dòng)態(tài)方程。單輸入單輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式為多輸入多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式為A(t):系統(tǒng)矩陣（狀態(tài)矩陣）B(t):控制矩陣（輸入矩陣）C(t):

5、觀測(cè)矩陣（輸出矩陣）D(t):輸入輸出矩陣2、線性系統(tǒng)及其狀態(tài)空間表達(dá)式（續(xù)）對(duì)于一般的非線性系統(tǒng)，其狀態(tài)方程和輸出方程可能還是狀態(tài)和輸入的非線性函數(shù) 因此狀態(tài)方程和輸出方程可用如下向量方程表示 仿射非線性：下三角仿射非線性：2、線性系統(tǒng)及其狀態(tài)空間表達(dá)式(續(xù))對(duì)于本節(jié)主要討論的線性定常系統(tǒng)來說，狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)形式是 線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)空間表達(dá)式的結(jié)構(gòu)示意圖 3、狀態(tài)空間表達(dá)式的建立由微分方程建立狀態(tài)變量表達(dá)式 直接根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立相應(yīng)的微分或差分方程針對(duì)微分方程，定義一組狀態(tài)變量，建立狀態(tài)方程，并根據(jù)系統(tǒng)輸出和狀態(tài)之間的關(guān)系，建立系統(tǒng)的輸出方程 由已知的該系統(tǒng)的其他數(shù)學(xué)模型（

6、如傳遞函數(shù)）經(jīng)過轉(zhuǎn)化而得例：由質(zhì)量塊、彈簧、阻尼器組成的機(jī)械位移系統(tǒng)如圖示有力F及阻尼器汽缸速度V兩種外作用，另輸出量為：質(zhì)量塊位移、速度和加速度。試寫出該雙輸入三輸出機(jī)械位移系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。圖中m、k、f分別為質(zhì)量、彈簧的彈性模量、阻尼系數(shù)，x為位移。解：根據(jù)牛頓力學(xué)得到該系統(tǒng)的微分方程為：它是二階系統(tǒng)，選擇質(zhì)量塊的位移和速度為狀態(tài)變量。令 系統(tǒng)的三個(gè)輸出量為，由系統(tǒng)的微分方程可導(dǎo)出下列狀態(tài)方程：其向量矩陣形式為說明：狀態(tài)變量個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)狀態(tài)變量一般選可反映儲(chǔ)能元件能量變化的量（eg：電感電流、電容電壓、位置、速度）二、由微分方程建立狀態(tài)變量表達(dá)式 1、線性微分方程

7、中不含有輸入函數(shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 選取狀態(tài)變量：則有：二、由微分方程建立狀態(tài)變量表達(dá)式系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：二、由微分方程建立狀態(tài)變量表達(dá)式根據(jù)上式繪制的狀態(tài)變量之間關(guān)系的方塊圖如圖所示，每個(gè)積分器的輸出都是對(duì)應(yīng)的一個(gè)狀態(tài)變量，狀態(tài)方程由積分器的輸入輸出關(guān)系確定，輸出方程在輸出端給出 ：例：設(shè)一控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程用微分方程表示為 式中u,y分別為系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)，試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。解：選取狀態(tài)變量為則有：例：將上式寫成矩陣微分方程形式2、系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)其一般形式為：若選取狀態(tài)變量則得到在狀態(tài)方程中將會(huì)出現(xiàn)輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 2、系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（續(xù)）應(yīng)選擇以下n個(gè)變

8、量作為一組狀態(tài)變量則狀態(tài)變量如下2、系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（續(xù)）式中 是n個(gè)待定常數(shù) 輸出方程 狀態(tài)方程 2、系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（續(xù)）對(duì)最后一個(gè)方程求導(dǎo)，并將y (n）用下式代入得到：2、系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（續(xù)）將上式中所有的輸出項(xiàng)以及輸出的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都用狀態(tài)和輸入的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)表示有2、系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（續(xù)）令上式中u的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為零，則有 令 則有 2、系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（續(xù)）將上式改為矩陣向量形式為：其中d=h0bn2、系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（續(xù)）繪制出狀態(tài)變量之間關(guān)系的方塊圖如圖所示 例：設(shè)一控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程用微分方程表示為 式中u,y分別為系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)，試

9、求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。解：選擇狀態(tài)變量為根據(jù)上式寫出控制系統(tǒng)空間表達(dá)式為d=0 例：設(shè)一控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程用微分方程表示為 式中u,y分別為系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)，試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖解：由題得寫出狀態(tài)空間表達(dá)式為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下2、系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（續(xù)）函輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系統(tǒng)一般形式為：當(dāng)式中bn=0時(shí)，還可以按如下規(guī)則選擇另一組狀態(tài)變量（關(guān)鍵，方法巧妙）。設(shè)則得到2、系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（續(xù)）則得到2、系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（續(xù)）因此可以得到（n-1）個(gè)狀態(tài)方程輸出方程為 2、系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（續(xù)）對(duì)下式求導(dǎo) 并將y (n)用式 代入后經(jīng)整理得 （巧妙在這?。?/p>

10、狀態(tài)方程為 2、系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（續(xù)）d=02、系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（續(xù)）例試求 的狀態(tài)空間表達(dá)式。 因?yàn)榇讼到y(tǒng)為三階系統(tǒng)，而b3=0，所以可以選擇狀態(tài)變量所以狀態(tài)空間表達(dá)式為 對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)而言，狀態(tài)變量的選取并不是唯一的。關(guān)于同一系統(tǒng)的不同狀態(tài)變量之間的關(guān)系，將在第七章中介紹。 三、由傳遞函數(shù)求狀態(tài)空間表達(dá)式1、直接法：設(shè)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下： （為有理真分式）直接法：直接法（續(xù)）：為非有理真分式時(shí)：（bn不為零）由可知：bn就等于狀態(tài)方程中的直接矩陣d 而 為有理真分式 因此我們只要能由一個(gè)有理真分式的傳遞函數(shù)求相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的話，那么對(duì)非有理真分式求狀態(tài)空間表達(dá)

11、式，只需增加一個(gè)直接矩陣d即可 直接法（續(xù)） ：uZybn直接法（續(xù)） 這種形式的狀態(tài)空間表達(dá)式被稱為可控標(biāo)準(zhǔn)型。 可控（能控）：狀態(tài)空間方程能否被輸入所控制。 可控（能控）：狀態(tài)方程（A,B），若對(duì)于任何初始狀態(tài) 以及任意最終狀態(tài) ，都存在輸入u能在有限時(shí)間內(nèi)將 轉(zhuǎn)移到簡言之：狀態(tài)空間方程的狀態(tài)能否被輸入所控制?？捎^（能觀）：狀態(tài)方程（A,B,C,D），若對(duì)于任何未知的初始狀態(tài) 存在有限的時(shí)間 使得在 時(shí)間區(qū)域 內(nèi)的輸入u和輸出y足以確定系統(tǒng)初始狀態(tài)簡言之：系統(tǒng)初始狀態(tài)是否能被輸出所觀測(cè).舉例說明:直接法（續(xù)） 由于 為有理真分式，即對(duì)應(yīng)的微分方程中輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的最高階 等于零 因此也可以采用

12、式(2-45)的方式選擇狀態(tài)變量，那么狀態(tài)空間表達(dá)式就如式（2-49）所示。這樣向量矩陣形式的狀態(tài)空間表達(dá)式為直接法（續(xù)） 這種形式的狀態(tài)空間表達(dá)式被稱為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型 例:已知控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)，試求該系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。例：試求下式的可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型 解：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 有可控標(biāo)準(zhǔn)型為 例：有可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型為 對(duì)于同一系統(tǒng)，狀態(tài)變量不同，狀態(tài)空間表達(dá)式也不一樣。 2、并聯(lián)實(shí)現(xiàn)例3、串聯(lián)實(shí)現(xiàn)例4、傳遞函數(shù)以極點(diǎn)形式給出 a、系統(tǒng)傳遞函數(shù)只有單實(shí)極點(diǎn)（沒有重極點(diǎn)）系統(tǒng)特征方程可表示為 通過部分分式展開成下列形式 a、系統(tǒng)傳遞函數(shù)只有單實(shí)極點(diǎn)為G(s)在極點(diǎn)i 處的留數(shù) 因此有 選擇狀態(tài)變量為

13、 輸出為 以上兩式整理后，取拉氏反變換得：對(duì)角陣標(biāo)準(zhǔn)型 寫成矩陣形式有對(duì)角陣標(biāo)準(zhǔn)型 對(duì)角陣標(biāo)準(zhǔn)型 如果狀態(tài)變量選擇為那么系統(tǒng)輸出則為 同樣，經(jīng)過反拉氏變換并展成矩陣形式有 對(duì)角陣標(biāo)準(zhǔn)型 對(duì)偶關(guān)系 稱滿足上式關(guān)系的兩個(gè)狀態(tài)空間表達(dá)式為對(duì)偶關(guān)系 對(duì)偶關(guān)系可控標(biāo)準(zhǔn)型 可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型 b、系統(tǒng)傳遞函數(shù)含有重實(shí)極點(diǎn)情況假設(shè)極點(diǎn)1為三重極點(diǎn)，其它均為單實(shí)極點(diǎn)，即4、 5 、 n ，那么系統(tǒng)特征方程可表示為 傳遞函數(shù)可以通過部分分式展開成下列形式那么系統(tǒng)輸出為b、系統(tǒng)傳遞函數(shù)含有重實(shí)極點(diǎn)情況如果選擇狀態(tài)變量為 輸出為 b、系統(tǒng)傳遞函數(shù)含有重實(shí)極點(diǎn)情況整理得 對(duì)上式拉氏反變換并整理得 約當(dāng)（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)型 稱重極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 為約當(dāng)塊