高等數(shù)學第三章第五節(jié)《函數(shù)的極值與最大值最小值》課件

1、二、最大值與最小值問題一、函數(shù)的極值及其求法 第五節(jié)函數(shù)的極值與 最大值最小值 第三章 一、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當時,(1) 則稱 為 的極大點 ,稱 為函數(shù)的極大值 ;(2) 則稱 為 的極小點 ,稱 為函數(shù)的極小值 .極大點與極小點統(tǒng)稱為極值點 .注意:為極大點為極小點不是極值點2) 對常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導數(shù)為 0 或 不存在的點.1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如 (P146例4)為極大點 , 是極大值 是極小值 為極小點 , 定理 1 (極值第一判別法)且在去心鄰域內(nèi)有導數(shù),(1) “左正右負” ,(2) “左負右正” ,例1. 求函數(shù)的極值 .解:1) 求導數(shù)2

2、) 求極值可疑點令得令得3) 列表判別是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為定理2 (極值第二判別法)二階導數(shù) , 且則 在點 取極大值 ;則 在點 取極小值 .證: (1)存在由第一判別法知(2) 類似可證 .例2. 求函數(shù)的極值 . 解: 1) 求導數(shù)2) 求駐點令得駐點3) 判別因故 為極小值 ;又故需用第一判別法判別.二、最大值與最小值問題 則其最值只能在極值點或端點處達到 .求函數(shù)最值的方法:(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點(2) 最大值最小值特別: 當 在 內(nèi)只有一個極值可疑點時, 當 在 上單調(diào)時,最值必在端點處達到.若在此點取極大 值 , 則也是最大 值 . (小) 對應用問題

3、 , 有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點是否為最大 值點或最小值點 .(小)例3. 求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值 .解: 顯然且故函數(shù)在取最小值 0 ;在及取最大值 5.因此也可通過例3. 求函數(shù)說明:求最值點.與最值點相同 , 由于令在閉區(qū)間上的最大值和最小值 .( k 為某一常數(shù) )例4. 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C 距 A 處20AC AB ,要在 AB 線上選定一點 D 向工廠修一條 已知鐵路與公路每公里貨運價之比為 3:5 ,為使貨D 點應如何選取? 20解: 設則令得 又所以 為唯一的極小點 ,故 AD =15 km 時運費最省 .總運費物從B 運到工廠C

4、 的運費最省,從而為最小點 ,問Km ,公路, 用開始移動,例5. 設有質(zhì)量為 5 kg 的物體置于水平面上 , 受力 作解: 克服摩擦的水平分力正壓力即令則問題轉化為求的最大值問題 . 為多少時才可使力設摩擦系數(shù)問力與水平面夾角的大小最小?令解得而因而 F 取最小值 .解:即令則問題轉化為求的最大值問題 .清楚(視角 最大) ? 觀察者的眼睛1.8 m ,例6. 一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上 , 它的底邊高于解: 設觀察者與墻的距離為 x m ,則令得駐點根據(jù)問題的實際意義, 觀察者最佳站位存在 ,唯一,駐點又因此觀察者站在距離墻 2.4 m 處看圖最清楚 .問觀察者在距墻多遠處看圖才

5、最內(nèi)容小結1. 連續(xù)函數(shù)的極值(1) 極值可疑點 :使導數(shù)為0 或不存在的點(2) 第一充分條件過由正變負為極大值過由負變正為極小值(3) 第二充分條件為極大值為極小值最值點應在極值點和邊界點上找 ;應用題可根據(jù)問題的實際意義判別 .思考與練習2. 連續(xù)函數(shù)的最值1. 設則在點 a 處( ).的導數(shù)存在 ,取得極大值 ;取得極小值;的導數(shù)不存在.B提示: 利用極限的保號性 .2. 設在的某鄰域內(nèi)連續(xù), 且則在點處(A) 不可導 ;(B) 可導, 且(C) 取得極大值 ;(D) 取得極小值 .D提示: 利用極限的保號性 .3. 設是方程的一個解,若且則在(A) 取得極大值 ;(B) 取得極小值 ;(C) 在某鄰域內(nèi)單