高等數(shù)學第七章第九節(jié)《常系數(shù)非齊次線性微分方程》課件_第1頁
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1、常系數(shù)非齊次線性微分方程 第九節(jié)一、二、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法一、 為實數(shù) ,設(shè)特解為其中 為待定多項式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 則取從而得到特解形式為為 m 次多項式 .Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項式(2) 若 是特征方程的單根 , 為m 次多項式,故特解形式為(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多項式,故特解形式為小結(jié)對方程,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .即即當

2、 是特征方程的 k 重根 時,可設(shè)特解例1.的一個特解.解: 本題而特征方程為不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為代入方程 :比較系數(shù), 得于是所求特解為例2. 的通解. 解: 本題特征方程為其根為對應齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù), 得因此特解為代入方程得所求通解為二、第二步 求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步 將 f (x) 轉(zhuǎn)化為第三步 利用疊加原理求出原方程的特解第四步 分析原方程特解的特點第一步利用歐拉公式將 f (x) 變形 第二步 求如下兩方程的特解 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故等式兩邊取共軛 :為方程 的特解 .設(shè)則 有特解:第三步 求原方程

3、的特解 利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 :原方程 均為 m 次多項式 .第四步 分析因均為 m 次實多項式 .本質(zhì)上為實函數(shù) ,小 結(jié):對非齊次方程則可設(shè)特解:其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.例4. 的一個特解 .解: 本題 特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù) , 得于是求得一個特解例5. 的通解. 解: 特征方程為其根為對應齊次方程的通解為比較系數(shù), 得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根 ,因此設(shè)非齊次方程特解為內(nèi)容小結(jié) 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,則設(shè)特解為為特征方程的 k (0, 1 )重根, 則設(shè)特解為3. 上

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