控制系統(tǒng)數(shù)學模型課件

1、課程回顧1. 自動控制的一般概念 基本控制方式 控制系統(tǒng)的基本組成 控制系統(tǒng)的分類 對控制系統(tǒng)的要求2. 要求掌握的知識點 負反饋控制系統(tǒng)的特點及原理 由系統(tǒng)工作原理圖繪制方框圖自動控制原理課程的任務與體系結(jié)構(gòu)第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型時域模型微分方程復域模型傳遞函數(shù)頻域模型頻率特性函數(shù)本課討論的物理系統(tǒng)為單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)2.1 引言數(shù)學模型：描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式。建模方法：1.解析法（機理分析法） 根據(jù)系統(tǒng)工作所依據(jù)的規(guī)律列寫相應的運動方程2.實驗法（系統(tǒng)辨識法） 給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄輸出響應，并用適當?shù)臄?shù)學模型去逼近系統(tǒng)的輸入輸出特性2

2、.2 控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式一、線性元件的微分方程例1 RLC串聯(lián)電路一、線性元件的微分方程例2電樞控制式直流電動機電樞回路： 電樞反電勢： 電磁力矩： 力矩平衡： 電機時間常數(shù)電機傳遞系數(shù)一、線性元件的微分方程例3 彈簧阻尼器系統(tǒng)一、線性元件的微分方程消去中間變量可得：例4 X-Y 記錄儀二、非線性微分方程的線性化取一次近似，且令 即有 例5 已知某裝置的輸入輸出特性如下，求小擾動線性化方程。解. 在工作點(x0, y0)處展開泰勒級數(shù)二、非線性微分方程的線性化解. 在 處泰勒展開，取一次近似 代入原方程可得在平衡點處系統(tǒng)滿足 上兩式相減可得線性化方程 例4 某

3、容器的液位高度 h 與液體流入量 Qr 滿足方程 式中 S 為液位容器的橫截面積。若 h 與 Qr 在其工作點附近做微量 變化，試導出 h 關(guān)于 Qr 的線性化方程。三、線性定常微分方程求解四、拉普拉斯變化1.拉氏變換的定義2.常見函數(shù)的拉氏變換（1）階躍函數(shù)像原像四、拉普拉斯變化（2）指數(shù)函數(shù)四、拉普拉斯變化（3）正弦函數(shù)四、拉普拉斯變化3.拉氏變換的性質(zhì)：（1）線性性質(zhì)（2）滯后定理 證明： 令四、拉普拉斯變化例1解：四、拉普拉斯變化（3）微分定理 證明：零初始條件：四、拉普拉斯變化例2 解：例3解：四、拉普拉斯變化（4）積分定理零初始條件下：四、拉普拉斯變化例4 Lt=? 解：例5解：四

4、、拉普拉斯變化（5）復位移定理令證明：例6四、拉普拉斯變化例7四、拉普拉斯變化（6）初值定理證明：微分定理四、拉普拉斯變化（7）終值定理證明：四、拉普拉斯變化（2）單位階躍常見函數(shù)L變換（5）指數(shù)函數(shù)（1）單位脈沖（3）單位斜坡（4）單位加速度（6）正弦函數(shù)（7）余弦函數(shù)四、拉普拉斯變化4.用拉氏變換的方法解微分方程：四、拉普拉斯變化0 初條件nm: 特征根（極點）: 相對于 的模態(tài)五、拉普拉斯反變化拉氏反變換公式部分分式法例1 已知，求解.五、拉普拉斯反變化用留數(shù)法分解部分分式一般有其中：設(shè)I. 當 無重根時五、拉普拉斯反變化例2 已知，求解.例3 已知，求解.五、拉普拉斯反變化例4 已知，

5、求解一.解二：五、拉普拉斯反變化II. 當 有重根時(設(shè) 為m重根，其余為單根)五、拉普拉斯反變化五、拉普拉斯反變化例5 已知，求解.線性定常微分方程求解例6 R-C 電路計算影響系統(tǒng)相應的因素(1) 輸入 u r (t)(2) 初始條件(3) 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù) 規(guī)定 r(t) = 1(t) 規(guī)定0 初始條件 自身特性決定系統(tǒng)性能2.3 控制系統(tǒng)的復域數(shù)學模型傳遞函數(shù)的定義：在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量拉氏變換與輸入量拉氏變換之比。傳遞函數(shù)的標準形式微分方程一般形式：拉氏變換：傳遞函數(shù)： 首1標準型： 尾1標準型： 傳遞函數(shù)的標準形式例7 已知將其化為首1、尾1標準型，并確定其增益。解.首

6、1標準型尾1標準型增益?zhèn)鬟f函數(shù)的性質(zhì)G(s)是復函數(shù)；G(s)只與系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)；G(s)與系統(tǒng)微分方程直接關(guān)聯(lián)；G(s) = L k(t) ；G(s) 與 s 平面上的零極點圖相對應。傳遞函數(shù)的性質(zhì)例8 已知某系統(tǒng)在0初條件下的單位階躍響應為：試求（1） 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)； （2） 系統(tǒng)的增益； （3） 系統(tǒng)的特征根及相應的模態(tài)； （4） 畫出對應的零極點圖； （5） 求系統(tǒng)的單位脈沖響應； （6） 求系統(tǒng)微分方程； （7） 當 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) 時，求系統(tǒng)的響應。解.（1） (2) (4) 如圖所示(3) (5) (6) （2） 系統(tǒng)的增益；（3）

7、 系統(tǒng)的特征根及相應的模態(tài)（4） 畫出對應的零極點圖； （5） 求系統(tǒng)的單位脈沖響應；（6） 求系統(tǒng)微分方程；（7）其中初條件引起的自由響應部分（7）當 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t)，求系統(tǒng)響應。傳遞函數(shù)的局限性原則上不反映非零初始條件時系統(tǒng)響應的全部信息；適合于描述單輸入/單輸出系統(tǒng)；只能用于表示線性定常系統(tǒng)。傳遞函數(shù)例1 系統(tǒng)如圖，被控對象微分方程為求系統(tǒng)傳遞函數(shù) 。解. (1) 求G0(s) (2)由運放 傳遞函數(shù)整理得 常用控制元件的傳遞函數(shù)電位計電橋式誤差角檢測器測速發(fā)電機（交流，直流）電樞控制式直流電動機電位器電橋式誤差角(位置)檢測器測速發(fā)電機 電樞控制式

8、直流電動機 典型環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)一階復合微分環(huán)節(jié)二階復合微分環(huán)節(jié) 常用控制元件的傳函不同的元部件可以有相同的傳遞函數(shù)；若輸入輸出變量選擇不同，同一部件可以有不同的傳遞函數(shù) ；任一傳遞函數(shù)都可看作典型環(huán)節(jié)的組合。控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換 結(jié)構(gòu)圖的組成及繪制結(jié)構(gòu)圖的繪制反饋口：例1 X-Y 記錄儀放大器：電動機：減速器：繩 輪：電 橋：測速機：結(jié)構(gòu)圖的繪制結(jié)構(gòu)圖等效變化及化簡環(huán)節(jié)串聯(lián)結(jié)構(gòu)圖等效變化及化簡環(huán)節(jié)并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖等效變化及化簡反饋等效結(jié)構(gòu)圖的繪制電磁力矩：電樞反電勢：電樞回路：力矩平衡：例2 電樞控制式直流電動機直流電動機結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖等效

9、變化及化簡結(jié)構(gòu)圖等效變化及化簡比較點、引出點的移動結(jié)構(gòu)圖等效變化及化簡比較點前移結(jié)構(gòu)圖等效變化及化簡比較點后移結(jié)構(gòu)圖等效變化及化簡引出點前移結(jié)構(gòu)圖等效變化及化簡引出點后移結(jié)構(gòu)圖等效變化及化簡比較點、引出點換位結(jié)構(gòu)圖等效變化及化簡例3結(jié)構(gòu)圖等效變化及化簡例4結(jié)構(gòu)圖等效變化及化簡例5結(jié)構(gòu)圖等效變化及化簡結(jié)構(gòu)圖等效變化及化簡例6結(jié)構(gòu)圖等效變化及化簡例72.5信號流圖信號流圖與結(jié)構(gòu)圖的對應關(guān)系信號流圖 ： 結(jié)構(gòu)圖： 源節(jié)點 輸入信號 阱節(jié)點 輸出信號 混合節(jié)點 比較點，引出點 支路 環(huán)節(jié) 支路增益 環(huán)節(jié)傳遞函數(shù) 前向通路 回路 互不接觸回路結(jié)構(gòu)圖與信號流圖轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)圖與信號流圖轉(zhuǎn)換rea1a2a3a4c梅森（Mason）增益公式Mason公式: 特征式 前向通路的條數(shù) 第k條前向通路的總增益 所有不同回路的回路增益之和 兩兩互不接觸回路的回路增益乘積之和 互不接觸回路中，每次取其中三個的回路增益乘積之和 第k條前向通路的余子式(把與第k條前向通路接觸的回 路去除，剩余回路構(gòu)成的子特征式例1例2求傳函C(s)/R(s) 例3例4例52.6閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.6閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.6閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)閉環(huán)