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1、第五節(jié) 點(diǎn)集間的距離維空間中的點(diǎn)集1點(diǎn)集間的距離定義 b.若 ,則 d(A,B)=0; 反之則不一定成立，如A=(-1,0), B=(0,1).注：a.若x B,則d(x,B)=0;反之則不一定成立，如x=0,B=(0,1)2證明：利用d(x,E) d(x,z) d(x,y) +d(y,z) z E例1 設(shè)E為Rn中非空點(diǎn)集 ，則d(x,E)是Rn上關(guān)于x的一致連續(xù)函數(shù)所以d(x,E)是Rn上關(guān)于x的一致連續(xù)函數(shù)?？傻胐(x,E) d(x,y) +d(y,E)，同理d(y,E) d(x,y) +d(x,E),故有|d(x,E)- d(y,E) | d(x,y)3定理：設(shè)A為非空有界閉集 ， x

2、Rn ，則必有yA,使得d(x,y)=d(x,A)閉集：與E緊挨的點(diǎn)不跑到E外，也即E外的點(diǎn)與E不可能緊挨又為閉集，故yA,對兩邊關(guān)于i取極限即得d(x,y)=d(x,A)證明：由 可得4定理1：設(shè)A,B為非空閉集，且A有界，則必有xA, yB,使得d(x,y)=d(A,B)由于A有界，故證明：由AB5又B為閉集，故yB,另外對兩邊關(guān)于j取極限得d(x,y)=d(A,B)又A為閉集，從而xA ，并可得yni 有界因?yàn)楫?dāng)ni充分大時， d(x, yni) d(x, xni ) + d(xni, yni) 1 + ( d(A,B) + 1/ni ）6例2：設(shè)F1， F2為Rn中兩個互不相交的非空閉集，則存在Rn 上的連續(xù)函數(shù)f(x) ，使得 （1）0 f(x) 1， x Rn（2） f(x)=0， x F1; f(x)=1, x F2F2F17例3. 每個閉集必是可數(shù)個開集的交， 每個開集必是可數(shù)個閉集的并證明：設(shè)E為閉集，取則Gn為開集，1n8再由E為閉集，可得xE從而每個閉集必

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