勻強(qiáng)磁場中勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題的數(shù)理方法

1、a勻強(qiáng)磁場中勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題的數(shù)理方法黃汶（常州市橫山橋高級中學(xué)，江蘇常州213119）解決帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題的關(guān)鍵是：找出做圓周運(yùn)動(dòng)軌 跡的圓心并作出運(yùn)動(dòng)軌跡，依據(jù)圖中的幾何關(guān)系尋求解決問題的途徑。筆者認(rèn)為， 從數(shù)學(xué)原理的角度，應(yīng)讓學(xué)生整體領(lǐng)會平面幾何中與帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速 圓周運(yùn)動(dòng)問題有關(guān)的尺規(guī)作圖知識；從物理方法的角度，應(yīng)讓學(xué)生建構(gòu)作圖知識在 具體物理情境中的實(shí)際物理意義，通過作圖建構(gòu)有意義并有效的物理圖景，并能運(yùn) 用數(shù)學(xué)平面幾何和解析幾何知識解決物理問題。一、探究與圓周運(yùn)動(dòng)有關(guān)的平面幾何的尺規(guī)作圖為了實(shí)現(xiàn)后面的有意義學(xué)習(xí)和有效建構(gòu)，我們設(shè)計(jì)并呈現(xiàn)了一個(gè)學(xué)生可

2、以自主 探究和班級交流的方式解決的過渡性問題，一方面，給學(xué)生鋪設(shè)好拾級而上的臺階; 另一方面，讓學(xué)生整體領(lǐng)會平面幾何中與帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)問 題有關(guān)的尺規(guī)作圖知識，有助于全面把握作圖方法和要領(lǐng)。如圖1所示，已知圓心為O,半徑為尸的實(shí)線圓；據(jù)平面幾何的定理及其作圖知 識，先作出已知圓的切線、弦等；然后以已知圓的切線、弦等為輔助線作出通過已圖2弦等，如圖2所示，如圖1知圓的圓心O的直線或圓；再逆向思考已知一個(gè)圓的切線、 何作圖尋找該圓的圓心并作出圓。經(jīng)過交流，基本上可以形成圖1中的四種意見和方法，先作出圓心所在直線或 圓。其一，過切點(diǎn)作與圓的切線垂直的直線1其二，作圓的弦的垂直平分

3、線L/； 其三，作圓的兩條切線夾角a的平分線L/；其四，作以圓周上一點(diǎn)O/為圓心，以尸 為半徑的圓O/。然后根據(jù)兩線相交可以確定圓心并作出圓。二、揭示數(shù)學(xué)知識和方法所隱含的物理意義物理與數(shù)學(xué)，一個(gè)相對抽象，另一個(gè)相對具體，要把抽象的數(shù)學(xué)知識結(jié)合具體 的物理情境，并揭示數(shù)學(xué)知識和方法所隱含的物理意義，這樣， 數(shù)學(xué)才會成為學(xué)生解決物理問題的工具。為此，我們又設(shè)計(jì)和 呈現(xiàn)了四個(gè)具體、單純的物理作圖問題，讓學(xué)生找出做圓周運(yùn) 動(dòng)的圓心，并總結(jié)出四個(gè)作圖要領(lǐng)。其一，過切點(diǎn)作與圓的切線垂直的直線。如圖3所示，從A 點(diǎn)分別以大小不等但方向相同的速度v和v垂直于磁場射入 （射出）的帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的圓

4、心分別是 O1和 O2, O1和O2均在過A點(diǎn)垂直于、的直線AO1上。要領(lǐng)一帶電粒子從同一已知點(diǎn)以不同的速率向平面上同一已知方向射入（射 出），若勻強(qiáng)磁場垂直該平面，則這些粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓心必在過該點(diǎn)與 速度方向垂直的直線上，這些圓軌跡相切。其二，作圓的弦的垂直平分線。如圖4所示，垂直于 磁場從A （或B）點(diǎn)射入，并從B （或A）射出的帶電粒 子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心可能是O1 （或O2），O1和 O2均在AB連線的垂直平分線O1O2上。要領(lǐng)二 帶電粒子從有界平面上一已知點(diǎn)射入、并從 另一已知點(diǎn)射出，若勻強(qiáng)磁場只垂直分布于該有界平面 內(nèi)，則這些粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心必在射入點(diǎn)和射

5、出 點(diǎn)連線的中垂線上。其三，作圓的兩條切線夾角a的平分線。如圖5所示， 垂直于磁場沿v方向射入，并沿v方向射出的帶電粒子做 勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心可能是O1 （或O2），O1和O2均 在角a的平分線上，角a是七偏離、方向的偏向角P 的鄰角。21要領(lǐng)三在平面上，帶電粒子從未知點(diǎn)向一已知方向射 入、并從另一未知點(diǎn)向另一已知方向射出，若勻強(qiáng)磁場垂 直分布于該有界平面內(nèi)，則這些粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓 心必在射出方向?qū)ι淙敕较虻钠蚪堑泥徑堑钠椒志€上。其四，作以圓周上一點(diǎn)為圓心，以,為半徑的圓。如圖6所示，直于磁場從O點(diǎn)射入（射出）的帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng) 軌跡的圓心分別是O1和O2, O1和O2均在圓

6、心為O,半徑 為r =心的圓上。qB要領(lǐng)四已知比荷為q的帶電粒子，在同一已知點(diǎn)以相m 同的速率v向平面上各個(gè)方向射入（射出），若已知磁感強(qiáng) 度為b的勻強(qiáng)磁場垂直該平面，則這些粒子做勻速圓周運(yùn) 動(dòng)的圓心必在以該點(diǎn)為圓心、半徑為r = mv的圓上。qB三、典型例題解析、點(diǎn)評知識、方法和要領(lǐng)，都需要在解決具體問題中檢驗(yàn)其有效性，并可深化知識的有 意義建構(gòu)。固定擋板4；。s2電子快門f L 固定薄板AL例1（2007年廣東高考卷第20題）圖7是某裝置的垂直截面圖，虛線A1A2是 垂直截面與磁場區(qū)邊界面的交線，勻強(qiáng)磁場分布在a1a2的右側(cè)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度 B=0.4T，方向垂直紙面向外，A1A2與垂直截

7、面上的水平線夾角為45。A1A2在左側(cè)， 固定的薄板和等大的擋板均水平放置，它 們與垂直截面交線分別為S1、S2，相距 L=0.2m。在薄板上P處開一小孔，P與A1A2 線上點(diǎn)D的水平距離為L。在小孔處裝一 個(gè)電子快門。起初快門開啟，一旦有帶正 電微粒通過小孔，快門立即關(guān)閉，此后每 隔T=3.0 x10-3s開啟一次并瞬間關(guān)閉。從S1S2之間的某一位置水平發(fā)射一速度為的帶正電微粒，它經(jīng)過磁場區(qū)域后入射到 P處小孔。通過小孔的微粒與檔板發(fā)生碰撞而反彈，反彈速度大小是碰前的0.5倍。（1）經(jīng)過一次反彈直接從小孔射出的微粒，其初速度應(yīng)為多少？（2）求上述微粒從最初水平射入磁場到第二次離開磁場的時(shí)間。

8、（忽略微粒所受重力影響，碰撞過程無電荷轉(zhuǎn)移。已知微粒的荷質(zhì)比q = 1.0 x 10 3c/kg。只考慮紙面 上帶電微粒的運(yùn)動(dòng)）m圖8A解析如圖8所示，作第一次進(jìn)入磁場的路線交A1A2于點(diǎn)C，作第一次出磁場（第 二次進(jìn)入磁場）的路線交A1A2于點(diǎn)E，兩路線相交于點(diǎn)F；過點(diǎn)C作與入射速度方 向垂直的垂線，過點(diǎn)E作與射出的速度方向垂直的垂線（或線段CE的中垂線，或 ZCFE的平分線），兩線相交于點(diǎn)01 ；所以，以O(shè) 為圓心，0C為半徑可作出粒子第一次在磁場內(nèi)做 勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡。作過點(diǎn)E與第二次入射速度 方向垂直的垂線，以E為圓心，以O(shè)f長度的一半 為半徑作圓，交垂線于點(diǎn)02；所以，以02為圓心

9、， 02E為半徑可作出粒子第二次在磁場內(nèi)做勻速圓周 運(yùn)動(dòng)的軌跡，第二次從磁場邊界Q點(diǎn)射出磁場。設(shè) 帶正電微粒在s1s2之間任意點(diǎn)C以水平速度進(jìn)入 磁場，微粒受到的洛侖茲力為f，在磁場中做圓周運(yùn) 動(dòng)的半徑為,，有：mv 2f=qv0B，f = 0， r聯(lián)立解得：r = mVr，qB欲使微粒能進(jìn)入小孔，r的取值范圍為：l r 2 L，代入數(shù)據(jù)得：80m/sv0160m/s，欲使進(jìn)入小孔的微粒與擋板一次相碰返回后能通過小孔，還必須滿足條件:-+- = nT 其中 n=1,2,3,v 0.5 v 00可知，只有n=2滿足條件，即有：v0=100m/s。（2）設(shè)微粒在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T0，從水平

10、進(jìn)入磁場到第二次離開磁場的 總時(shí)間為t，設(shè)小t4分別為帶電微粒第一次、第二次在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，第一次 離開磁場運(yùn)動(dòng)到擋板的時(shí)間為12，碰撞后再返回磁場的時(shí)間為t3,運(yùn)動(dòng)軌跡如圖8所 示，根據(jù)圖中幾何關(guān)系，則有：3-T，4 02Lt = ， t30.5v 401-T，40t = t + 12 + 13 + 14 = 2.8 x 10 -2 s。點(diǎn)評 該題是根據(jù)磁場區(qū)域和帶電粒子運(yùn)動(dòng)的部分情況，求解帶電粒子運(yùn)動(dòng)其它 情況。學(xué)生解決問題的困難在于建立粒子在串聯(lián)電、磁場區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和空間關(guān)系。雖然已知粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的射入、射出的方向或點(diǎn)，但需要依據(jù)要領(lǐng)1、要領(lǐng)2、 要領(lǐng)3或要領(lǐng)4組合尋求軌跡圓心，

11、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，找到粒子在串聯(lián)電、磁場 區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和空間關(guān)系，從而獲得粒子運(yùn)動(dòng)其它情況。又解得軌跡，例2（據(jù)2004甘肅等省、自治區(qū)高考理綜第24題改 編）一勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于xy平面。在xy平面上， 一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為g的帶電粒子，由原點(diǎn)O開始運(yùn) 動(dòng)，初速為v，方向沿x正方向。后來，粒子經(jīng)過y軸上 的P，此時(shí)速度方向與y軸的夾角為30，P到O的距離 為如圖9所示。不計(jì)重力的影響。求：（1）磁感強(qiáng)度3的大??；（2）xy平面上圓形磁場區(qū)域的最小半徑R。解析（1）如圖10所示，對粒子，軌跡圓心是偏向角 鄰角的平分線與過射入磁場邊界點(diǎn)O垂直于射入速度垂線 的交點(diǎn)O/，根據(jù)圖中幾何關(guān)系

12、，可得軌跡半徑r =o/o=L l，3mvr = 一，qB3 mvB =。qL圖10（2）以O(shè)/為圓心，r為半徑，作出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng) 與射出速度延長線相切于P/，根據(jù)圖中幾何關(guān)系， 可得xy平面上圓形磁場區(qū)域的最小半徑R =】OP/K L，26圓心為0?的中點(diǎn)O/，可作出xy平面上圓形磁場區(qū)域。點(diǎn)評 該題是根據(jù)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的部分情況，求解帶電粒子運(yùn)動(dòng)其它情況、磁場 區(qū)域和磁感強(qiáng)度。學(xué)生的誤解主要是把P當(dāng)作粒子射出磁場區(qū)域的邊界點(diǎn)，雖然已 知粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的射入（出）磁場區(qū)域的邊界點(diǎn)或方向，但需要依據(jù)要領(lǐng)1和要 領(lǐng)3組合尋求軌跡圓心和軌跡半徑，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，找到粒子射出磁場區(qū)域的 邊界點(diǎn)，

13、從而獲得磁感強(qiáng)度和圓形磁場區(qū)域及其最小半徑。例3在xoy平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為m、電量為e）， 率沿不同方向射入第一象限，如圖11所示?，F(xiàn)加一個(gè)垂 _Vp直于xoy平面向內(nèi)、磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，要求這些 電子穿過磁場后都能平行于x軸向x正方向運(yùn)動(dòng)，求符合 該條件磁場的最小面積。解析 對電子，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為mv0 ； eB從坐標(biāo)O不斷以相同速圖11所以，從坐標(biāo)0沿不同方向射入第一象限的電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓心在以0 為圓心，半徑為r的圓在第四象限部分，如圖12所示。沿x和y兩個(gè)特殊方向射入 的電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓心分別為0和0，穿過磁場后平行于x軸向x正方 向運(yùn)動(dòng)的軌

14、跡分別是以0為圓心r為半徑的第一象限的四分之一圓周和坐標(biāo)0； 一般的，沿與X軸正方向夾角為a方向射入的電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓心是過O 點(diǎn)垂直于該速度的垂線與圓心軌跡的交點(diǎn)O/，射出點(diǎn)是過O/垂直于x軸的垂線與以 O/為圓心為半徑的圓交點(diǎn)A，設(shè)A（x，y），根據(jù)圖中幾何關(guān)系，可得x= r sin a，圖12y= r 一 r cos a，消除參數(shù)，可得平行于X軸向X正方向運(yùn)動(dòng)的穿過磁場后的射出點(diǎn)的軌跡方程x2+（y- r）2= r 2，即以（0，r）為圓心r為半徑的第一象限的四分之一圓 周；則符合條件磁場的最小面積是以O(shè)為圓心r為半徑 的第一象限的四分之一圓周和以（0，y）為圓心r為半 徑的第一象限的四分之一圓周所圍面積，可得S = 2(上兀 一 L) r 2 = (- 1) 0422 e 2 B 2點(diǎn)評 該題是根據(jù)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的部分情況和磁場磁感強(qiáng)度，求解帶電粒子運(yùn) 動(dòng)其它情況和磁場區(qū)域。學(xué)生解決問題的困難在于如何確定不同射入方向的電子 的射出磁場區(qū)域的邊界點(diǎn)。雖然已知電子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，但需要依據(jù)要 領(lǐng)4尋求軌跡圓心的軌跡。我們從特殊到一般地作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，找到滿足題給 條件的電子射出磁場區(qū)域的邊界點(diǎn)，從而獲得磁場區(qū)域的最小面積。綜觀上述三個(gè)例子，層層推進(jìn)，通過作圖建構(gòu)有意義并有效的物理圖景，并在 運(yùn)用數(shù)學(xué)平面幾何和解析幾何知識