2022年全等三角形經(jīng)典模型歸納總結(jié)文檔

1、全等三角形相關(guān)模型總結(jié) 一,角平分線模型 一）角平分線的性質(zhì)模型 幫忙線：過點 G 作 GE射線 AC A,例題 1,如圖,在 ABC 中, C=90, AD 平分CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么點 D 到直線 AB 的距離是 cm. 2,如圖,已知, 1 2, 3 4,求證： AP 平分 BAC. B,模型鞏固 1,如圖,在四邊形 ABCD 中, BC AB,AD CD,BD 平分 ABC,求證： A C 180 . 1第 1 頁,共 16 頁（二）角平分線垂線,等腰三角形必顯現(xiàn) A,例題 幫忙線：延長 ED 交射線 OB 于 F 幫忙線：過點 E 作 EF射線 OB 例 1,如圖,

2、在 ABC 中, ABC 3 C, AD 是 BAC 的平分線, BE AD 于 F . 求證： BE 1 AC AB . 2 例 2,如圖,在 ABC 中, BAC 的角平分 AD 交 BC 于點 D,且 AB AD,作 CM AD 交 線 1 AD 的延長線于 M. 求證： AM AB AC . 22第 2 頁,共 16 頁（三）角分線,分兩邊,對稱全等要記全 兩個圖形飛幫忙線都是在射線 A,例題 ON 上取點 B,使 OB OA,從而使 OAC OBC . 1,如圖,在 ABC 中, BAC=60, C=40, AP 平分 BAC 交 BC 于 P, BQ 平分 ABC 交 AC 于 Q

3、,求證： AB BP BQ AQ . 2,如圖,在 ABC 中, AD 是 BAC 的外角平分 線, 較 PB PC AB AC 的大小,并說明理 . 與 由 P 是 AD 上異于點 A 的任意一點,試比 3第 3 頁,共 16 頁B,模型鞏固 1,在 ABC 中, AB AC, AD 是 BAC 的平分線, P 是線段 AD 上任意一點（不 A 重合） . 與 求證： ABAC PB PC . 2,如圖, ABC 中, AB AC, A 100, 求證： ADBDBC . 3,如圖, ABC 中, BCAC, C 90, 求證： AC CD AB . B 的平分線交 AC 于 D, A 的平

4、分線交 BC 于 D, 二,等腰直角三角形模型 （一）旋轉(zhuǎn)中心為直角頂點,在斜邊上任取一點的旋轉(zhuǎn)全等： 操作過程： （1）將 ABD 逆時針旋轉(zhuǎn) 90,得 ACM ABD,從而推出 ADM 為等腰直角三角形 . （2）幫忙線作法：過點 C 作 MC BC,使 CM BD,連結(jié) AM. （二）旋轉(zhuǎn)中心為斜邊中點,動點在兩直角邊上滾動的旋轉(zhuǎn)全等： 操作過程：連結(jié) AD. （1）使 BFAE（或 AF CE）,導出 BDF ADE. （2）使 EDF BAC 180,導出 BDF ADE. A,例題 1,如圖,在等腰直角 ABC 中,BAC 90,點 M ,N 在斜 邊 摸索究 BM, MN, CN

5、 之間的數(shù)量關(guān)系 . BC 上滑動,且 MAN45, 2,兩個全等的含有 30, 60角的直角三角板 ADE 和 ABC,按如以下圖放置, E,A, C 三 點在一條直線上,連接 BD,取 BD 的中點 M ,連接 ME, MC. 試判定 EMC 的形狀,并證明你的結(jié) . 論 B,模型鞏固 1,已知,如以下圖, RtABC 中, AB AC, BAC90, O 為 BC 中點,如 M ,N 分別線段 AC, AB 上移動,且在移動中保持 在 AN CM. （1）試判定 OMN 的形狀,并證明你的結(jié)論 . （2）當 M, N 分別在線段 AC, AB 上移動時,四邊形 AMON 的面積如何變化？

6、 2,在正方形 ABCD 中, BE 3,EF 5, DF4,求BAE DCF 為多少. 度 6第 6 頁,共 16 頁（三）構(gòu)造等腰直角三角形 （1）利用以上（一）和（二）都可以構(gòu)造等腰直角三角形（略） ； （2）利用平移,對稱和弦圖也可以構(gòu)造等腰直角三角形 . （四）將等腰直角三角形補全為正方形,如下圖： A,例題應(yīng)用 1,如圖,在等腰直角 ABC 中, AC BC, ACB 90, P 為三角形 ABC 內(nèi)部一 中意 PB PC, AP AC,求證： BCP 15 . 點, 7第 7 頁,共 16 頁三,三垂直模型（弦圖模型） A,例題 已知：如以下圖,在 ABC 中, AB AC, B

7、AC 90, D AC 中點, AF BD 于點 E,交 BC 于 F,連接 DF . 為 求證： ADB CDF . 變式 1,已知：如以下圖,在 ABC 中, AB AC,AM CN, AF BM 于 E,交 BC 于 F,連 接 NF . 求證：（ 1） AMB CNF；（2） BM AF FN . 變式 2,在變式 1 的基礎(chǔ)上,其他條件不變,只是將 BM 和 FN 分別延長交于點 P, 求證：（ 1） PM PN；（ 2） PB PF AF . 8第 8 頁,共 16 頁四,手拉手模型 1, ABE 和 ACF 均為等邊三角 形 結(jié)論：（ 1） ABF AEC . （ 2） BOE

8、BAE60 . （ 3） OA 平分 EOF .（四點共圓證 ） 拓展： ABC 和 CDE 均為等邊三角 形 結(jié)論：（ 1） AD BE； （ 2） ACB AOB； （ 3） PCQ 為等邊三角形； （ 4） PQ AE； （ 5） APBQ； （ 6） CO 平分 AOE；（ 四點共圓 證 ） （ 7） OA OBOC； （ 8） OEOC OD . （ 7）,（ 8）需構(gòu)造等邊三角形證明 ） 9第 9 頁,共 16 頁例, 如圖,點 M 為銳角三角ABC 內(nèi)任意一點,連AM,BM, CM以 AB 為一邊向外作等形 接 邊三角形 ABE,將 BM 繞點 B 逆時針旋 轉(zhuǎn) （1）求證： A

9、MB ENB； 60得到 BN,連接 EN （2）如 AM+BM+C的 M 值最小,就稱M 為 ABC 的費爾馬點如M 為 ABC 的費爾馬點 點 點, 試求此時 AMB, BMC, CMA的度 數(shù)； （3）小翔受以上啟示,得到一個作銳角三角形費爾馬點的簡便方法：如圖,分別以 ABC 的 AB, AC 為一邊向外作等邊 ABE 和等邊 ACF,連 接 即為 ABC 的費爾馬點試說明這種作法的依 據(jù) CE,BF,設(shè)交點為 M,就點 M10 第 10 頁,共 16 頁2, ABD 和 ACE 均為等腰直角三角 形 結(jié)論：（ 1） BE CD；（2） BE CD . 3,四邊形 ABEF 和四邊形

10、ACHD 均為正方 形 結(jié)論：（ 1） BD CF；（ 2）BD CF . 變式 1,四邊形 ABEF 和四邊形 ACHD 均為正方. AS BC 交 FD 于 T, 形, 求證：（ 1） T 為 FD 中點；（ 2） SVABC SVADF 11 第 11 頁,共 16 頁變式 2,四邊形 ABEF 和四邊ACHD 均為正方T 為 FD 中點, TABCS, 360 形 求證： AS BC . 形, 交 于 4,如圖,以 ABC 的AB, AC 為邊構(gòu)造正多邊形時,總12 180 n邊 有： 12 第 12 頁,共 16 頁五,半角模型 條件： 1 , 且 + =180 , 兩邊相等 . 2

11、 思路： 1,旋轉(zhuǎn) 幫忙線：延長 CD到 E,使 ED=BM,連 AE 或延長 CB 到 F,使 FB=DN,連 將 ADN 繞點 A 順時針旋 90得 ABF,留意：旋轉(zhuǎn)需證 F, B, M 三點共 AF 轉(zhuǎn) 線 結(jié)論：（ 1） MN BM DN； （ 2） CVCMN =2 AB ； （ 3） AM, AN 分別平分 BMN, MND . 2,翻折（對稱） 幫忙線：作 AP MN 交 MN 于點 P 將 ADN, ABM分別沿 AN, AM 翻折,但確定要證 明 M,P, N 三點共線 . 13 第 13 頁,共 16 頁A,例題 例 1,在正方形 ABCD 中,如 M, N 分別在邊 BC, CD 上移動,且中意 MN BMDN, 求證：（ 1） MAN 45； （ 2） CVCMN =2 AB ； （ 3） AM, AN 分別平分 BMN 和 DNM . 變式： 在正方形 ABCD 中,已知 MAN45, 如 M ,N 分別在邊 CB,DC 的延長線上移動, AHMN ,垂足為 H, （1）摸索究線段 MN ,BM, DN 之間的數(shù)量關(guān)系； （2）求證： AB AH 14 第 14 頁,共 16 頁例 2,在四邊形 ABCD