概率論概率統(tǒng)計(jì)期末考試知識(shí)點(diǎn)

1、知識(shí)點(diǎn)第一章 隨機(jī)事件與概率 本章重點(diǎn)：隨機(jī)事件的概率計(jì)算 1*事件的關(guān)系及運(yùn)算 (1) (或) (2) 和事件： ； （簡(jiǎn)記為） (3) 積事件： ， （簡(jiǎn)記為或) (4) 互不相容：若事件A和B不能同時(shí)發(fā)生，即 (5) 對(duì)立事件： (6) 差事件：若事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生，記作(或) (7) 德摩根（De Morgan）法則：對(duì)任意事件A和B有, . 2 *古典概率的定義古典概型：幾何概率 3*概率的性質(zhì) (1) (2) (有限可加性) 設(shè)n個(gè)事件兩兩互不相容，則有 (3) (4) 若事件A，B滿足，則有, (5) (6) (加法公式) 對(duì)于任意兩個(gè)事件A，B，有.對(duì)于任意n個(gè)事件，有

2、. 4*條件概率與乘法公式. 乘法公式： . 5*隨機(jī)事件的相互獨(dú)立性事件A與B相互獨(dú)立的充分必要條件一： ，事件A與B相互獨(dú)立的充分必要條件二： 對(duì)于任意n個(gè)事件相互獨(dú)立性定義如下：對(duì)任意一個(gè)，任意的，若事件總滿足，則稱事件相互獨(dú)立這里實(shí)際上包含了個(gè)等式 6*貝努里概型與二項(xiàng)概率 設(shè)在每次試驗(yàn)中，隨機(jī)事件發(fā)生的概率，則在n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，事件恰發(fā)生次的概率為， 7*全概率公式與貝葉斯公式貝葉斯公式：如果事件兩兩互不相容，且，則第二章 一維隨機(jī)變量及其分布本章重點(diǎn)：離散型和連續(xù)性隨機(jī)變量的分布及其概率計(jì)算概率論主要研究隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，也稱這個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律為隨機(jī)變量的分布 1*離散型隨機(jī)變量及

3、其分布律分布律也可用下列表格形式表示： 2*概率函數(shù)的性質(zhì) (1) ， (2) 3*常用離散型隨機(jī)變量的分布 (1)01分布，它的概率函數(shù)為，其中，或1， (2)二項(xiàng)分布，它的概率函數(shù)為，其中， ()*泊松分布，它的概率函數(shù)為，其中，4*二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率 二維離散型隨機(jī)變量的分布可用下列聯(lián)合概率函數(shù)來(lái)表示：其中， 5*二維離散型隨機(jī)變量的邊緣概率 設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，為其聯(lián)合概率（），稱概率為隨機(jī)變量的邊緣分布律，記為并有，稱概率為隨機(jī)變量Y的邊緣分布率，記為，并有 =. 6隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，與相互獨(dú)立的充分必要條件為 多維隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性可類似

4、定義即多維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性有與二維相應(yīng)的結(jié)論7*隨機(jī)變量函數(shù)的分布 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，是一個(gè)已知函數(shù)，是隨機(jī)變量的函數(shù)，它也是一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)離散型隨機(jī)變量，下面來(lái)求這個(gè)新的隨機(jī)變量的分布 設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)為則隨機(jī)變量函數(shù)的概率函數(shù)可由下表求得但要注意，若的值中有相等的，則應(yīng)把那些相等的值分別合并，同時(shí)把對(duì)應(yīng)的概率相加第三章 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布 本章重點(diǎn)：一維及二維隨機(jī)變量的分布及其概率計(jì)算,邊緣分布和獨(dú)立性計(jì)算 1*分布函數(shù) 隨機(jī)變量的分布可以用其分布函數(shù)來(lái)表示， 2分布函數(shù)的性質(zhì) (1) (2) ; 由已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)，可算得落在任意區(qū)間內(nèi)的概率 3聯(lián)合分布函數(shù) 二

5、維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù) 4聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì) (1) ； (2) ，； (3) 5*連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)，使得對(duì)于任一實(shí)數(shù)，有成立，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)稱為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 6*概率密度及連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)（）（）； （）； （4）設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，則對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)c，； (5)設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，則有 7*常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 (1)均勻分布，它的概率密度為其中， (2)指數(shù)分布，它的概率密度為其中， (3)正態(tài)分布，它的概率密度為 ，其中，當(dāng)時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，它的概率密度為，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)

6、記作，即， 當(dāng)出時(shí)，可查表得到；當(dāng)時(shí)，可由下面性質(zhì)得到設(shè)，則有 ；*二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率密度 對(duì)于二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)，如果存在一個(gè)二元非負(fù)函數(shù)，使得對(duì)于任意一對(duì)實(shí)數(shù)有成立，則為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度 *二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率密度的性質(zhì) (1) ； (2) ； (3) 在的連續(xù)點(diǎn)處有 ; (4) 設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則對(duì)平面上任一區(qū)域有 1，*二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度 設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度，則的邊緣概率密度為；的邊緣概率密度為 11常用的二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (1)均勻分布 如果在二維平面上某個(gè)區(qū)域G上服從均勻

7、分布，則它的聯(lián)合概率密度為 (2) 二維正態(tài)分布 如果的聯(lián)合概率密度則稱服從二維正態(tài)分布，并記為. 如果，則，即二維正態(tài)分布的邊緣分布還是正態(tài)分布 12*隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 ， 那么，稱隨機(jī)變量與相互獨(dú)立 設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則與相互獨(dú)立的充分必要條件為 如果那么，與相互獨(dú)立的充分必要條件是第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 本章重點(diǎn)：隨機(jī)變量的期望。方差的計(jì)算 1*數(shù)學(xué)期望 設(shè)是離散型的隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為則定義的數(shù)學(xué)期望為； 設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，則定義的數(shù)學(xué)期望為 2*隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率

8、函數(shù)則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為； 3*數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) (1) (其中c為常數(shù))； (2) (為常數(shù))； (3) ； (4) 如果與相互獨(dú)立，則. 4*方差與標(biāo)準(zhǔn)差 隨機(jī)變量的方差定義為計(jì)算方差常用下列公式： 當(dāng)為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為則的方差為； 當(dāng)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，則的方差為.隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差定義為方差的算術(shù)平方根. 5*方差的性質(zhì) (1) (c是常數(shù))； (2) (為常數(shù))； (3) 如果與獨(dú)立，則. 6原點(diǎn)矩與中心矩 隨機(jī)變量的階原點(diǎn)矩定義為； 隨機(jī)變量的階中心矩定義為； 7*常用分布的數(shù)字特征 (1) 當(dāng)服從二項(xiàng)分布時(shí)， (2) 當(dāng)服從泊松分布時(shí)， (3) 當(dāng)服從區(qū)間上均

9、勻分布時(shí)， (4) 當(dāng)服從參數(shù)為的指數(shù)分布時(shí)， (5) 當(dāng)服從正態(tài)分布時(shí)， (6) 當(dāng)服從二維正態(tài)分布時(shí)，；第五章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 本章重點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)量的概念及其分布，分位數(shù)。1. *常用統(tǒng)計(jì)量（1）樣本均值： （2）樣本方差和矩統(tǒng)計(jì)量：（3）2. *三個(gè)重要分布（1）分布設(shè)為獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，稱隨機(jī)變量的分布為自由度為n的分布，記為。稱滿足：的點(diǎn)為分布的分位點(diǎn)。（2）t分布設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，則稱的分布為自由度n的t分布，記為。稱滿足：的點(diǎn)為t分布的分位點(diǎn)。（3）F分布設(shè)隨機(jī)變量U與V相互獨(dú)立，則稱的分布為自由度的F分布，記為。稱滿足：的點(diǎn)為F分布的分位點(diǎn)，且有3. *正態(tài)總體的抽樣分布統(tǒng)

10、計(jì)量的分布稱為抽樣分布，設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，與分別為樣本的均值和樣本方差，則有（1）；（2） 第六章 參數(shù)估計(jì) 1. *點(diǎn)估計(jì)方法矩估計(jì)和最大似然估計(jì)是兩種常用的點(diǎn)估計(jì)法。（1）*矩估計(jì)法用樣本的各階原點(diǎn)矩去估計(jì)對(duì)應(yīng)的各階總體的原點(diǎn)矩，這就是矩估計(jì)的基本方法。（2）*最大似然估計(jì)法設(shè)總體X的密度函數(shù)（其中為未知參數(shù)），已知為總體X的樣本的觀察值，則求的最大似然估計(jì)值的步驟如下： 寫(xiě)出似然函數(shù)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)(3)建立并求似然方程(4)最大似然估計(jì)值可以由解對(duì)數(shù)似然方程得到。2. *點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性評(píng)判準(zhǔn)則（1）無(wú)偏性設(shè)是的一個(gè)估計(jì)量，若,則稱是的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)。（2）有效性設(shè)是的兩個(gè)

11、無(wú)偏估計(jì)，則稱比有效。稱在所有的無(wú)偏估計(jì)中，方差最小的那一個(gè)為一致最小方差無(wú)偏估計(jì)。3. *單正態(tài)總體下的置信區(qū)間設(shè)是取自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，置信水平為，樣本均值，樣本方差。（1）均值的置信區(qū)間 若已知，取，故的雙側(cè)置信區(qū)間為： 若未知，取，故的雙側(cè)置信區(qū)間為： 若未知，取，故的雙側(cè)置信區(qū)間為：第七章 假設(shè)檢驗(yàn) 本章重點(diǎn)：?jiǎn)蝹€(gè)正態(tài)總體的參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。1*單正態(tài)總體均值和方差的檢驗(yàn)(U檢驗(yàn),T檢驗(yàn)和卡方檢驗(yàn))我們以單正態(tài)總體均值檢驗(yàn)為例，即假定總體。U檢驗(yàn):(1) 列出問(wèn)題，即明確原假設(shè)和備選假設(shè)。先設(shè)已知，檢驗(yàn) (2) 基于的估計(jì)，提出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(3) 對(duì)給定水平，構(gòu)造水平檢驗(yàn)的拒絕域其中為

12、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位點(diǎn)。(4) 基于數(shù)據(jù)，算出的觀察值，如則拒絕，否則只能接受.因此檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量U，稱之為U-檢驗(yàn)。注意:單邊檢驗(yàn)的區(qū)別H0：m=m0；H1：mm0 構(gòu)造水平檢驗(yàn)的拒絕域單側(cè)分位數(shù)H0：m=m0；H1：mm0 構(gòu)造水平檢驗(yàn)的拒絕域單側(cè)分位數(shù)H0：m=m0；H1：mm0 構(gòu)造水平檢驗(yàn)的拒絕域單側(cè)分位數(shù)c2檢驗(yàn)。當(dāng)m未知時(shí)，單正態(tài)總體方差的檢驗(yàn) (1)設(shè)m未知 (2) 基于的估計(jì)，提出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(3) 對(duì)給定水平，構(gòu)造水平檢驗(yàn)的拒絕域其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位點(diǎn)。(4) 基于數(shù)據(jù)，算出的觀察值，如則拒絕，否則只能接受.因此檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量c2，稱之為c2-檢驗(yàn)。第八章 方差分析檢驗(yàn)假設(shè) 找到F統(tǒng)計(jì)量單因素試驗(yàn)方差分析表方差來(lái)源組間組內(nèi)總和平方和自由度均方和F 值F 值臨介值若接受H0，說(shuō)明在統(tǒng)計(jì)意義下，因素A對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)X的沒(méi)有顯著影響，或者說(shuō)明因素A對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)造成的差異無(wú)統(tǒng)計(jì)意義。若拒絕H0，說(shuō)明在統(tǒng)計(jì)意義下，因素A對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)X的有顯著影響，或者說(shuō)明因素A對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)造成的差異有統(tǒng)計(jì)意義。簡(jiǎn)便計(jì)算公式： 第九章 回歸分析1.回歸函