三角形全等之截長補短

1、三角形全等之截長補短（講義）一、知識點睛截長補短：題目中出現(xiàn)_時，考慮截長補短；截長補短的作用是 _二、精講精練A1.已知：如圖，在ABC 中，1=2，B=2C 求證：AC=AB+BD12BDCA12BDCA12BDC2.如圖，在四邊形 ABCD 中，A=B=90，點 E 為 AB 邊上一點，且 DE 平分ADC，CE 平分 BCD求證：CD=AD+BCC1DA E B3.已知：如圖，在正方形 ABCD 中，AD=AB，B=D=BAD=90，E，F(xiàn) 分別為 CD，BC 邊上的點，且EAF=45，連接 EF 求證：EF=BF+DEA DE2B F CA DEB F C4.已知：如圖，在ABC 中

2、，ABC=60，ABC 的角平分線 AD，CE 交于點 O 求證：AC=AE+CDBEODA C3BEODA C5.已知：如圖，在ABC 中，A=90，AB=AC ，BD 平分ABC，CEBD 交 BD 的延長線于點 E求證：CEBDADEB CADE4B C【參考答案】【知識點睛】線段間的和差倍分；把幾條線段間的數量關系轉為兩條線段的等量關系 【精講精練 】1.補短法：證明：如圖，延長 AB 到 E，使 BE=BD，連接 DEABD 是BDE 的一個外角 ABD=EBDE BE=BDE=BDEABD=2EA12ABD=2C E=CB D C在ADE 和ADC 中E5EC 12AD ADADE

3、ADC（AAS ）AE=ACAC=ABBE=ABBD截長法：證明：如圖，在 AC 上截取 AF=AB，連接 DF在ABD 和AFD 中 AB AF12AD ADA1 2FABDAFD（SAS ） B=AFD，BD=FD B=2CAFD=2CAFD 是DFC 的一個外角 AFD=C +FDC FDC=CDF=FCBD=FCAC=AF+FC=AB+BDB D C2.證明：如圖，在 CD 上截取 CF=CBCE 平分CBD 1=2在CFE 和CBE 中 CF CB12D43F1C2CE CEAE BCFECBE（SAS） CFE=BB=90CFE=DFE =90 A=90DFE=ADE 平分ADC6

4、3E763=4在DEF 和DEA 中 DFE A34DE DE3.DEFDEA（AAS ）DF=ADCD=DF+CF=AD+BC證明：如圖，延長 FB 到 G，使 BG=DE，連接 AGD=ABC=90 ABG=D=90 在ABG 和ADE 中A12AB=ADABG=DBG=DEG B F CABGADE（SAS） AG=AE，1=2 BAD=90，EAF=45 2+3=451+3=45即GAF=45GAF=EAF在AGF 和AEF 中 AG AEGAF EAFAF AF4.AGFAEF（SAS）GF=EFGF=BF+BGEF=BF+DE證明：如圖，在 AC 上截取 AF=AE，連接 OFAD

5、，CE 為ABC 的角平分線 1=2，3=4在AEO 和AFO 中BAE AF12 AO AOO58A F 7D43C15.AEOAFO（SAS）5=6ABC=601+2+3+4=180B=18060=1202+3=60AOC=18060=1205=6=7=8=60在OFC 和ODC 中8 7OC OC3 4OFCODC（ASA）CF=CDAC=AF+FC=AE+CD證明：如圖，延長 CE，交 BA 的延長線于點 FCEBDBEF=BEC=90FBAC=90ACAF=BAD=90 3=43D4E1=5在BAD 和CAF 中 15AB AC52B CBAD CAFBADCAF（ASA） BD=C

6、FBE 平分ABC1=2在BEF 和BEC 中 12BE BEBEF BECBEFBEC（ASA） EF=EC81.1CE= CF21CE= BD2三角形全等之截長補短每日一題（4 月 28 日）在ABC 中，ADBC 于 D，B=2C求證：CD=AB+BDAB D C2.（4 月 29 日）如圖，在ABC 中，ABAC，1=2，P 為 AD 上任意一點，連接 BP，CP求證：ABACPBPCA1 2PB D C93.（4 月 30 日）已知：如圖，1=2，P 為 BN 上一點，且 PDBC 于點 D，A+C=180求證：BD=AB+CDAPNB12D C4.（5 月 2 日）如圖，在正方形

7、ABCD 中，E 為 BC 邊上任意一點， AF 平分DAE，連接 EF求證：AE=BE+DFA DFB E C【參考答案】1.證明：如圖，在線段 DC 上截取 DE=BD，連接 AE10A21B DE CADBCADB=ADE=90 在ABD 和AED 中 AD ADADB ADEDB DE2.ABDAED（SAS）B=1，AB=AEB=2C1=2C1 是AEC 的一個外角1=C+2C=2AE=CECD=CE+ED=AE+BD=AB+BD（如果延長 DB 到點 F，使 BF=AB，連接 AF 也可進行證明） 證明：如圖，在線段 AB 上截取 AE=AC，連接 PEA1 2PEB D C則 A

8、BAC=ABAE=EB在AEP 和ACP 中AE AC12AP APAEPACP（SAS ） PE=PC1143.在PEB 中，PBPEEBPBPCPBPC（延長 AC 到點 F，使 AF=AB，連接 PF，也可證明結論） 證明：如圖，在 BC 上截取 BE=BA，連接 PEAPNB123E D C在ABP 和EBP 中 BA BE12BP BPABPEBP（SAS ） A=3A+C=180，3+4=180 4=CPDBCPDE=PDC=90在PDE 和PDC 中4CPDE PDCPD PD4.PDEPDC（AAS ）DE=DCBD=BE+ED=AB+CD（過點 P 作 PFBA 于 F，也可

9、進行證明）證明：如圖，延長 EB 到點 G，使 BG=DF，連接 AGA2431D5FG B E C12四邊形 ABCD 為正方形AB=AD，D=ABC=BAD=90 ABG=D=90在ABG 和ADF 中AB ADABG ADFBG DF6.ABGADF（SAS）1=2，5=GAF 平分DAE1=31+5=903+G=901+3+4=902+3+4=902+4=GAE=EGEG=BE+BGAE=BE+DF三角形全等之截長補短（隨堂測試）已知：如圖，在四邊形 ABCD 中，BCAB，AD =DC，C=60 ，BD 平分ABC 求證：BC=AB+AD ADB C13【參考答案】1.1.證明略提示

10、：在 BC 上截取 BE=AB，證明ABDEBD，再證明CE=AD三角形全等之截長補短（作業(yè)）如圖，在ABC 中，BAC=60，ABC=80，AD 是BAC 的平分線 求證：AC=AB+BDAB D CAB D CA14B D C2.如圖，AC 平分BAD，CEAB 于 E，B+D=180 求證：AE=AD+BECDA E BCDA E B153.如圖，在ABC 中，A=100，ABC=40，BD 是ABC 的平分線，延長 BD 至 E，使 DE=AD， 連接 EC求證：BC=AB+CEADEB CADEB C164.如圖，在梯形 ABCD 中，ADBC，CEAB 于 E，BDC 為等腰直角三

11、角形，BDC=90， BD=CD，CE 與 BD 交于 F，連接 AF求證：CF=AB+AFA DB CA DB C17【參考答案】證明略提示：方法一：在 AC 上截取 AE=AB，連接 DE，證明ABDAED， 再證明 CE=DE；方法二：延長 AB 到 E，使 BE=BD，證明ADEADC 證明略提示：在 AE 上截取 AF=AD，證明CDACFA，再證明 BE=FE證明略提示：在 BC 上截取 BF=BA，連接 DF，證明ABDFBD， 再證明DFCDEC截長法：證明：如圖，在 CF 上截取 CM=BA，連接 DMBDC 為等腰直角三角形，BD=CD1=DCB=45 CEAB，BDC=90 CEB=BDC=90 2=3 4=5 在ABD 和MCD 中BE41A2F738MD65CAB MC45BD CDABDMCD（SAS ） DA=DM，6=7 ADBC7=1=456=458=457=8在ADF 和MDF 中 DA DM78DF DFADFMDF（SAS ） AF=MFCF=CM+MF18=AB+AF補短法：證明：如圖，延長 BA 交 CD 的延長線于點 G BDC 為