材料力學第六章-梁的位移

1、第六章梁的位移6-1 概述6-2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分6-4 梁的剛度條件 提高粱剛度的措施6-3 用疊加法求梁的位移目 錄6-1 概述撓曲線1.撓度和轉角的概念xyzBAzyCy、z為形心主軸C撓度：任一橫截面的形心在垂直于原來軸線方向的線位移（y方向），稱為該截面的撓度，用w表示。轉角：任一橫截面對其原方位的角位移，稱為該截面的轉角，用表示。符號規(guī)定：w（）“+”（ ）“+”x撓曲線xyzBAC撓度方程轉角方程2.撓度和轉角的關系因為角非常小，故轉角方程可表示為即：（撓曲線上任一點處切線的斜率等于該點處橫截面的轉角）lBAlBA變形和位移是兩個不同的概念，但又互相聯(lián)系。梁的彎曲變

2、形僅與彎矩和梁的彎曲剛度有關，而位移不僅與彎矩、彎曲剛度有關，還與梁的約束條件有關。兩根梁的長度、材料、橫截面的形狀和尺寸以及受力情況均相等。 兩根梁的彎曲變形程度相同，但位移明顯不同。3.研究梁的位移的目的剛度校核（6-4）為解超靜定梁打下基礎（8-5）6-2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分純彎曲時梁中性層的曲率為 (5-1)yxOyxO于是（5-1）式寫成（a）橫力彎曲時，若梁的跨度遠大于橫截面高度時，剪力對位移的影響很小，可忽略不計。所以（a）式仍可適用。（b）數學上： （b）（c）工程中，梁的撓曲線通常是一條極其平坦的曲線， 很小。則，(c)式變?yōu)椋╠）將（d）式帶入（b）式，得或(6

3、-1)（6-1）式稱為梁的撓曲線近似微分方程近似原因 不計剪力FS對位移的影響積分一次 再積分一次 為積分常數，可通過已知的位移條件來確定。撓曲線近似微分方程用積分法求梁的撓度和轉角例如鉸支座處的撓度等于零；固定端處的撓度和轉角均等于零。這種已知的位移條件，通常稱為位移邊界條件。當彎矩方程需分段列出時，撓曲線近似微分方程也應分段建立。此時除了要應用位移邊界條件之外，還需利用分段處撓曲線的連續(xù)、光滑條件。這種位移條件通常稱為位移連續(xù)條件。積分常數的確定一個彎矩方程，兩個積分常數位移邊界條件：兩個彎矩方程，四個積分常數位移邊界條件：BAC位移連續(xù)條件：一個彎矩方程，兩個積分常數位移邊界條件：qBA

4、xaD例6-1 求 ，并確定 和 。EI為常數。lBAEIxxy 解：(1) 列彎矩方程 (2) 建立撓曲線近似微分方程，并對其積分 (3) 確定積分常數 位移邊界條件 ：(4) 轉角方程和撓度方程 物理意義(5) 求 和lBAEIxxy（ ）例6-2 求 ，并確定 和 。EI為常數。xyBACxlabx解：(1) 分段列彎矩方程AC段 CB段 (2) 建立撓曲線近似微分方程并積分AC段xyBACxlabx CB段 (3) 確定積分常數C1、 C2、D1、 D2位移邊界條件：xyBACxlabx位移連續(xù)條件：由（5）式得，由（6）式得，(4) 確定轉角方程和撓度方程AC段轉角方程：撓度方程：x

5、yBACxlabx CB段 轉角方程：撓度方程：(5)求 和由撓曲線大致形狀可見，可能為 或 。當ab 時，（ ）（ ）（ ）xyBAClab簡支梁最大撓度必定在轉角為零處。設該截面的位置為x1，先研究AC段， 令 ，即當ab 時，由上式得x1a，即表明轉角為零的點確在AC段，從而有xyBACxlabx的近似值 當集中荷載F離右支座非常近時，即當b值甚小，則可見，即使在這種極端情況下，最大撓度仍在跨中附近?？缰袚隙龋涸诠こ讨?，只要簡支梁撓曲線上無拐點,就可用代替誤差：例6-3 畫圖示梁撓曲線的大致形狀。xMFaFa解：撓曲線的大致形狀，是根據梁的M圖和約束情況(位移條件) 畫出的。 A為固定端

6、，BACDaaaEAE段M為負，撓曲線為上凸；ED段M為正，撓曲線為下凸；E截面彎矩為零，故E點為撓曲線上的拐點（反彎點）DB段M=0，撓曲線為斜直線；AEDCB6-3 用疊加法求梁的位移 疊加法：小變形且材料在線彈性范圍內工作時，梁在幾種荷載同時作用下的位移，等于梁在各種荷載單獨作用下的位移之和。 積分法是求梁位移的基本方法，由轉角方程和撓度方程，可以求任意截面的轉角和撓度，但計算過程冗長。 實際應用中，常常只需確定某些指定截面的位移值，為此可將梁在簡單荷載作用下的位移值列成表格(見表6-1，P115頁)，利用疊加法求在幾種荷載同時作用下梁的位移。BACDEIlll疊加法荷載疊加：變形疊加：

7、（書例6-4、6-5、6-6）（書例6-7、6-8、6-9）例6-4 用疊加法求 ，EI為常量。qBACBAC解： 由表6-1查得將相應的位移疊加，得（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）qBACxy例6-5 用疊加法求 ，EI為常量。(b)aaBAC(c)aaBAC圖(b)梁的CB段的撓曲線為斜直線，所以解：將圖(a)所示梁分解為圖(b)和圖(c)兩種情況。由表6-1查得（ ）aaBAC(a)xy（ ）由表6-1查得，在圖c中 （ ）將相應位移疊加，可得（ ）（ ）(b)aaBAC(c)aaBAC例6-6 用疊加法求 ，EI為常量。qBACxy(a)BAC(c)BAC(b)為了利用表6-1中的

8、結果，把圖（a）所示梁分解成圖（b）和圖（c）兩種情況的疊加。解：（ ）（ ）圖（b）為對稱結構受對稱荷載作用，故其撓曲線形狀也是對稱的。由表6-1得BAC(c)ACBC故C處可看作一鉸支座，即可將AC段和CB段分別看作受均布荷載作用的簡支梁。 （ ）（ ）圖（c）為對稱結構受反對稱荷載作用，故其撓曲線形狀也是反對稱的。 則：又BAC(c)BAC(b)將相應的位移疊加，得 （ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）qBACxy(a)討論：利用對稱性使解題更加簡便，要能靈活運用。qBACxyqBACxyBACqBACq利用對稱性易得分解后的C點的撓度利用對稱性易得分解后的C點的撓度BACq1BACq2

9、BAC練習 用疊加法求 ，EI為常量。原圖為對稱結構受反對稱荷載作用，故其撓曲線形狀也是反對稱的。 （ ）（ ）ACBC（ ）練習 用疊加法求 ，EI為常量。qaaBACqBACBACq查表6-1（ ）例6-7 用疊加法求 ，EI為常量。解:（1）先考慮AB段的變形，不考慮BD段的變形（圖b）BACDaaaxy(a)本題采用變形疊加(c)DBBACD(b)（2）再考慮BD段的變形，不考慮AB段的變形（圖c）（ ）（ ）BACDaaaxy(a)(c)DB（ ）將相應的位移疊加，得 （ ）（ ）BACD(b)練習：求BAxCCBl/2BAxyl/2C練習：求qCBqaaBACBACq例6-8 求圖

10、示階梯狀簡支梁的跨中撓度wC。已知I1=2I2解：由變形的對稱性可知，跨中截面C的轉角為零。這樣，可把階梯狀梁的CB部分（或AC部分）看做是懸臂梁。故C截面撓度為討論：當結構對稱，荷載對稱時，可采用類似的方法求位移求C截面的撓度wC，EI為常數。qq例6-9 用疊加法求 ，EI為常量。BACDaaa主梁副梁解：（1）受力分析：先分析副梁，再研究主梁BCDBA（2）求位移：先分析主梁，再分析副梁，利用變形疊加BACDBCDCDBCDBACDaaaBACDBCDCD6-4 梁的剛度條件 提高梁剛度的措施一、剛度條件要保證梁能正常地工作，不僅要求它有足夠的強度，而且還要求具有足夠的剛度，即要求梁的位

11、移不能過大。例如，若鐵路橋梁的撓度過大，當火車過橋時將出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象，而且還會引起較大的振動。又如若車床主軸的位移過大，將影響齒輪的正常嚙合，造成軸和軸承的嚴重磨損，必然影響加工精度。為此，需檢查梁的位移是否超過按使用要求所規(guī)定的許用值。對于梁的撓度通常是限制撓度與跨度的比值，故剛度條件為房建鋼梁：鐵路鋼橋：普通機床主軸：二、提高梁剛度的措施 由表6-1可見，w和均與EI成反比，與l的n次方成正比。可見，為了減小梁的位移，可采取如下措施：1. 增大梁的彎曲剛度EI。對于鋼梁來說，因各種鋼材的彈性模量E相差很小。故選用高強度的優(yōu)質鋼并不能有效地提高梁的彎曲剛度，而應設法增大截面的慣性矩I。2 .減小梁的跨度或增加支承。qqq例6-10 =170MPa， =100MPa， E=20