材料力學(xué)第六章-梁的位移

1、第六章梁的位移6-1 概述6-2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分6-4 梁的剛度條件 提高粱剛度的措施6-3 用疊加法求梁的位移目 錄6-1 概述撓曲線1.撓度和轉(zhuǎn)角的概念xyzBAzyCy、z為形心主軸C撓度：任一橫截面的形心在垂直于原來軸線方向的線位移（y方向），稱為該截面的撓度，用w表示。轉(zhuǎn)角：任一橫截面對其原方位的角位移，稱為該截面的轉(zhuǎn)角，用表示。符號規(guī)定：w（）“+”（ ）“+”x撓曲線xyzBAC撓度方程轉(zhuǎn)角方程2.撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系因為角非常小，故轉(zhuǎn)角方程可表示為即：（撓曲線上任一點處切線的斜率等于該點處橫截面的轉(zhuǎn)角）lBAlBA變形和位移是兩個不同的概念，但又互相聯(lián)系。梁的彎曲變

2、形僅與彎矩和梁的彎曲剛度有關(guān)，而位移不僅與彎矩、彎曲剛度有關(guān)，還與梁的約束條件有關(guān)。兩根梁的長度、材料、橫截面的形狀和尺寸以及受力情況均相等。 兩根梁的彎曲變形程度相同，但位移明顯不同。3.研究梁的位移的目的剛度校核（6-4）為解超靜定梁打下基礎(chǔ)（8-5）6-2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分純彎曲時梁中性層的曲率為 (5-1)yxOyxO于是（5-1）式寫成（a）橫力彎曲時，若梁的跨度遠大于橫截面高度時，剪力對位移的影響很小，可忽略不計。所以（a）式仍可適用。（b）數(shù)學(xué)上： （b）（c）工程中，梁的撓曲線通常是一條極其平坦的曲線， 很小。則，(c)式變?yōu)椋╠）將（d）式帶入（b）式，得或(6

3、-1)（6-1）式稱為梁的撓曲線近似微分方程近似原因 不計剪力FS對位移的影響積分一次 再積分一次 為積分常數(shù)，可通過已知的位移條件來確定。撓曲線近似微分方程用積分法求梁的撓度和轉(zhuǎn)角例如鉸支座處的撓度等于零；固定端處的撓度和轉(zhuǎn)角均等于零。這種已知的位移條件，通常稱為位移邊界條件。當(dāng)彎矩方程需分段列出時，撓曲線近似微分方程也應(yīng)分段建立。此時除了要應(yīng)用位移邊界條件之外，還需利用分段處撓曲線的連續(xù)、光滑條件。這種位移條件通常稱為位移連續(xù)條件。積分常數(shù)的確定一個彎矩方程，兩個積分常數(shù)位移邊界條件：兩個彎矩方程，四個積分常數(shù)位移邊界條件：BAC位移連續(xù)條件：一個彎矩方程，兩個積分常數(shù)位移邊界條件：qBA

4、xaD例6-1 求 ，并確定 和 。EI為常數(shù)。lBAEIxxy 解：(1) 列彎矩方程 (2) 建立撓曲線近似微分方程，并對其積分 (3) 確定積分常數(shù) 位移邊界條件 ：(4) 轉(zhuǎn)角方程和撓度方程 物理意義(5) 求 和lBAEIxxy（ ）例6-2 求 ，并確定 和 。EI為常數(shù)。xyBACxlabx解：(1) 分段列彎矩方程AC段 CB段 (2) 建立撓曲線近似微分方程并積分AC段xyBACxlabx CB段 (3) 確定積分常數(shù)C1、 C2、D1、 D2位移邊界條件：xyBACxlabx位移連續(xù)條件：由（5）式得，由（6）式得，(4) 確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段轉(zhuǎn)角方程：撓度方程：x

5、yBACxlabx CB段 轉(zhuǎn)角方程：撓度方程：(5)求 和由撓曲線大致形狀可見，可能為 或 。當(dāng)ab 時，（ ）（ ）（ ）xyBAClab簡支梁最大撓度必定在轉(zhuǎn)角為零處。設(shè)該截面的位置為x1，先研究AC段， 令 ，即當(dāng)ab 時，由上式得x1a，即表明轉(zhuǎn)角為零的點確在AC段，從而有xyBACxlabx的近似值 當(dāng)集中荷載F離右支座非常近時，即當(dāng)b值甚小，則可見，即使在這種極端情況下，最大撓度仍在跨中附近。跨中撓度：在工程中，只要簡支梁撓曲線上無拐點,就可用代替誤差：例6-3 畫圖示梁撓曲線的大致形狀。xMFaFa解：撓曲線的大致形狀，是根據(jù)梁的M圖和約束情況(位移條件) 畫出的。 A為固定端

6、，BACDaaaEAE段M為負，撓曲線為上凸；ED段M為正，撓曲線為下凸；E截面彎矩為零，故E點為撓曲線上的拐點（反彎點）DB段M=0，撓曲線為斜直線；AEDCB6-3 用疊加法求梁的位移 疊加法：小變形且材料在線彈性范圍內(nèi)工作時，梁在幾種荷載同時作用下的位移，等于梁在各種荷載單獨作用下的位移之和。 積分法是求梁位移的基本方法，由轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，可以求任意截面的轉(zhuǎn)角和撓度，但計算過程冗長。 實際應(yīng)用中，常常只需確定某些指定截面的位移值，為此可將梁在簡單荷載作用下的位移值列成表格(見表6-1，P115頁)，利用疊加法求在幾種荷載同時作用下梁的位移。BACDEIlll疊加法荷載疊加：變形疊加：

7、（書例6-4、6-5、6-6）（書例6-7、6-8、6-9）例6-4 用疊加法求 ，EI為常量。qBACBAC解： 由表6-1查得將相應(yīng)的位移疊加，得（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）qBACxy例6-5 用疊加法求 ，EI為常量。(b)aaBAC(c)aaBAC圖(b)梁的CB段的撓曲線為斜直線，所以解：將圖(a)所示梁分解為圖(b)和圖(c)兩種情況。由表6-1查得（ ）aaBAC(a)xy（ ）由表6-1查得，在圖c中 （ ）將相應(yīng)位移疊加，可得（ ）（ ）(b)aaBAC(c)aaBAC例6-6 用疊加法求 ，EI為常量。qBACxy(a)BAC(c)BAC(b)為了利用表6-1中的

8、結(jié)果，把圖（a）所示梁分解成圖（b）和圖（c）兩種情況的疊加。解：（ ）（ ）圖（b）為對稱結(jié)構(gòu)受對稱荷載作用，故其撓曲線形狀也是對稱的。由表6-1得BAC(c)ACBC故C處可看作一鉸支座，即可將AC段和CB段分別看作受均布荷載作用的簡支梁。 （ ）（ ）圖（c）為對稱結(jié)構(gòu)受反對稱荷載作用，故其撓曲線形狀也是反對稱的。 則：又BAC(c)BAC(b)將相應(yīng)的位移疊加，得 （ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）qBACxy(a)討論：利用對稱性使解題更加簡便，要能靈活運用。qBACxyqBACxyBACqBACq利用對稱性易得分解后的C點的撓度利用對稱性易得分解后的C點的撓度BACq1BACq2

9、BAC練習(xí) 用疊加法求 ，EI為常量。原圖為對稱結(jié)構(gòu)受反對稱荷載作用，故其撓曲線形狀也是反對稱的。 （ ）（ ）ACBC（ ）練習(xí) 用疊加法求 ，EI為常量。qaaBACqBACBACq查表6-1（ ）例6-7 用疊加法求 ，EI為常量。解:（1）先考慮AB段的變形，不考慮BD段的變形（圖b）BACDaaaxy(a)本題采用變形疊加(c)DBBACD(b)（2）再考慮BD段的變形，不考慮AB段的變形（圖c）（ ）（ ）BACDaaaxy(a)(c)DB（ ）將相應(yīng)的位移疊加，得 （ ）（ ）BACD(b)練習(xí)：求BAxCCBl/2BAxyl/2C練習(xí)：求qCBqaaBACBACq例6-8 求圖

10、示階梯狀簡支梁的跨中撓度wC。已知I1=2I2解：由變形的對稱性可知，跨中截面C的轉(zhuǎn)角為零。這樣，可把階梯狀梁的CB部分（或AC部分）看做是懸臂梁。故C截面撓度為討論：當(dāng)結(jié)構(gòu)對稱，荷載對稱時，可采用類似的方法求位移求C截面的撓度wC，EI為常數(shù)。qq例6-9 用疊加法求 ，EI為常量。BACDaaa主梁副梁解：（1）受力分析：先分析副梁，再研究主梁BCDBA（2）求位移：先分析主梁，再分析副梁，利用變形疊加BACDBCDCDBCDBACDaaaBACDBCDCD6-4 梁的剛度條件 提高梁剛度的措施一、剛度條件要保證梁能正常地工作，不僅要求它有足夠的強度，而且還要求具有足夠的剛度，即要求梁的位

11、移不能過大。例如，若鐵路橋梁的撓度過大，當(dāng)火車過橋時將出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象，而且還會引起較大的振動。又如若車床主軸的位移過大，將影響齒輪的正常嚙合，造成軸和軸承的嚴重磨損，必然影響加工精度。為此，需檢查梁的位移是否超過按使用要求所規(guī)定的許用值。對于梁的撓度通常是限制撓度與跨度的比值，故剛度條件為房建鋼梁：鐵路鋼橋：普通機床主軸：二、提高梁剛度的措施 由表6-1可見，w和均與EI成反比，與l的n次方成正比?？梢姡瑸榱藴p小梁的位移，可采取如下措施：1. 增大梁的彎曲剛度EI。對于鋼梁來說，因各種鋼材的彈性模量E相差很小。故選用高強度的優(yōu)質(zhì)鋼并不能有效地提高梁的彎曲剛度，而應(yīng)設(shè)法增大截面的慣性矩I。2 .減小梁的跨度或增加支承。qqq例6-10 =170MPa， =100MPa， E=20