概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程習(xí)題(大數(shù)定律與中心極限定理)#

1、習(xí)題 10(切比雪夫不等式)填空題設(shè)隨機變 量 X 的 數(shù)學(xué)期 望 E(X ) ，方差 D(X) 2 ，則由 切比雪 夫不 等式， 得 P( X 3 ) .隨機擲 6 枚骰子，用 X 表示 6 枚骰子點數(shù)之和， 則由切比雪夫不等式， 得 P(15 X 27) .3. 若 二 維 隨 機 變 量 (X,Y) 滿 足 ， E(X) 2 ， E(Y) 2 ， D(X) 1 ， D(Y) 4 ， R(X,Y) 0.5，則由切比雪夫不等式，得 P( X Y 6) .4. 設(shè) X1, X2, ,Xn, 是相互獨立、同分布的隨機變量序列，且E(Xi) 0， D(Xi ) 一致有n界(i 1,2, ,n, )

2、 ，則 lim P( Xi n) .n i 1 i二選擇題若隨機變量 X 的數(shù)學(xué)期望與方差都存在，對 a b，在以下概率中， ( )可以由切比雪 夫不等式進行取值大小的估計。P(a X b) ；P(a X E(X) b)；P( a X a) ；P( X E(X) b a).隨機變量 X 服從指數(shù)分布 e( ) ，用切比雪夫不等式估計 P(X 1) ().1 ； ； 1 .三解答題1. 已知正常男性成年人的血液里，每毫升中白細胞含量 X 是一個隨機變量，若 E(X) 7300， 2D(X ) 7002 ，利用切比雪夫不等式估計每毫升血液中白細胞含量在5200 至 9400 之間的概率。2. 如

3、果 X1,X2, ,Xn 是 相 互 獨 立 、 同 分 布 的 隨 機 變 量 序 列 ， E(Xi )，1nD(Xi) 8 (i 1,2, ,n).記 X Xi ，由切比雪夫不等式估計概率 p(X 4). ni13. 設(shè) X1,X2, ,Xn, 是相互獨立、同分布的隨機變量序列，2E(Xi) 0， D(Xi) 2，E(Xi4) 存 在 ， 且 一 致 有 界 (i 1,2, ,n, ) . 對 任 意 實 數(shù) 0 ， 證 明1 n 2 2 lim P(X i22 ) 1.n n i 111(特征函數(shù))一填空題1. 若隨機變量 X 服從正態(tài)分布 N(2,4) ，則 P(X 3) .P(0 X

4、 4) ， P( X 1) .2. 若隨機變量 X N( , 2)，且 P(X c) P(X c)，則 c .3. 若隨機變量 X N(2, 2)，且 P(2 X 4) 0.3，則 P(X 0) .4. 若 X 服從正態(tài)分布 N( , 2)，記 P( k X k ) .當(dāng)0.9時， k ，當(dāng) 0.95 時， k .5. 隨機變量 X 1, X 2相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記Y 2 3X1 4X2，則 Y 概率密度 fY (y) .二選擇題 2 1 n6. 若隨機變量 X1,X2, , Xn相互獨立， 且 Xi N( , 2) (i 1,2, ,n)，則 D( Xi) ni1() 2 ；

5、n 2 ； 2 /n ； 2 /n 2.7. 若隨機變量 X ,Y相互獨立，且都服從正態(tài)分布N( , 2). 設(shè)X Y， X Y，則cov( , ) ( ). 2 2； 1； 0.XY8.若隨機變量 X,Y滿足X N(1, 32)，YN(0, 42)，R(X,Y) 1/2，則D( )32 () . 5； 4； 3； 2.三解答題1. 某種電池的壽命 X (單位： h )服從正態(tài)分布 N (300, 352) . ( 1)求壽命大于 250 小時的 概率，(2)求 x ，使壽命在 300 x之間的概率不小于 0.9.2. 測量某一目標(biāo)的距離時，隨機誤差 X N(0, 402) (單位： m ).

6、1)求 P( X 30) ，(2)若作三次獨立測量，求至少有一次測量誤差的絕對值不超過30 米的概率。一商店對某種家電采用先使用后付款的方式銷售， 使用壽命 X(單位： 年)與銷售單價 Y(單 位：元)關(guān)系如下：XX22X44X6X6Y1500200025003000若 XN(5, 4), 求平均售價。X4. 若隨機變量 X N(0, 1)，設(shè) Y eX ，求隨機變量 Y的概率密度 fY(y).12(中心極限定理)一填空題(X,Y) 的聯(lián)合概率密度為1. 若隨機變量 X 與 Y 相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則f (x, y) .2. 若二維隨機變量 (X,Y) 的聯(lián)合概率密度為f (x,y

7、) 12 2 ( x 1)(y 2) (y 2)2( x 1)2e3 3 3 , ( x , y ) 3則D(X) ， D(Y) ， R(X,Y) .3. 若隨機變量 X 服從二項分布 B(10000, 0.8) ，由中心極限定理，有 P(X 8000 40) .選擇題1. 若二維隨機變量 (X,Y) 服從二元正態(tài)分布 N( x, y, x2, y2, r), 則 X 與 Y不相關(guān)是 X 與Y 不相互獨立的( )條件。 充分且必要； 充分但不必要； 必要但不充分； 即不充分也不必要 .2. 若隨即變量序列 X1,X2, ,X n, 相互獨立，且都服從參數(shù)為 的泊松分布 P( )，當(dāng) X)時. lim P(X x) (x) .(其中 (x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)) nnX i ni1ni1ni1i1n三解答題1. 30 個獨立使用的電子元件，它們的壽命 Ti 都服從指數(shù)分布，且每個元件的平均壽命都為10030(h)，其使用情況是：一個損壞后，另一個立即起用。記TTi ，求總壽命 T 超過 3500( h)i1的概率。2. 如果計算機在進行加法運算時， 對每個加數(shù)取整， 若每個加數(shù)產(chǎn)生的誤差 X i 是相互獨立， 且 服從區(qū)間 ( 0.5, 0.5) 上的均勻的隨機變量。(1) 求將 1500 個數(shù)相加時，誤差總和的絕對值超過 15 的概率，(2) 問最多