第六部分自由電子氣體-總結(jié)與習(xí)題指導(dǎo)

1、第六部分章電子氣體-總結(jié)與習(xí)題指導(dǎo)內(nèi)容提要1金屬電子論的物理模型金屬電子論對于解釋金屬，特別是簡單金屬的許多重要物理性質(zhì)非常成功其基本假定是(a)電子近似：當(dāng)金屬原子成為金屬晶體時(shí)，原子的價(jià)電子脫離了原子而在金屬晶體中運(yùn)動(dòng)金屬電子論認(rèn)為，離子實(shí)對電子的作用是可以忽略不計(jì)的，離子實(shí)的作用僅僅是維持整個(gè)金屬晶體的電中性(b)獨(dú)立電子近似，金屬電子論忽略了電子與電子間的相互作用弛豫時(shí)間近似：假定電子在時(shí)間內(nèi)受到一次碰撞的幾率為1 ， 稱(c)為弛豫時(shí)間電子通過碰撞和周圍環(huán)境達(dá)到熱平衡，電子經(jīng)過每次碰撞后，其速度的方向是隨機(jī)的，速率的大小由碰撞處的局部溫度決定碰撞的和碰撞時(shí)電子的狀態(tài)無關(guān)早期的金屬電子

2、論(Drude)模型把金屬中的傳導(dǎo)電子看作電子論電子經(jīng)典氣體，服從統(tǒng)計(jì)；近代(Sommerfeld)模型把金屬中的傳導(dǎo)電子看作克統(tǒng)計(jì)電子氣體，服從-2-統(tǒng)計(jì)在溫度 T 下，能量為 的狀態(tài)被電子占據(jù)的幾率為1e kBT 1f (6.1)式中 是電子氣體的化學(xué)勢，它是溫度的函數(shù)，在絕對零度時(shí)， F ， F 是電子氣體的能力.電子氣體的能級和狀態(tài)密度3三維電子波函數(shù) k r 滿足單電子方程2222 r rxy2(6.2) k2m k k22z1在周期性邊界條件下，波函數(shù)具有行波形式1Vr eik r (6.3)k式中 V 是晶體體積，k 取一系列分立值 2 n 2 n 2 nkkk(6.4)xxyy

3、zzLLLnx , ny , nz 0, 1, 2,電子的能量為2 k 222mk k k22k2(6.5)xyz2m動(dòng)量為p k速度為(6.6)v km電子在(6.7)空間中的等能面是球面空間中的一個(gè)點(diǎn)平均占體積2 L3 代表自旋相反的兩個(gè)狀態(tài)，可以容納自旋相反的兩個(gè)電子電子的狀態(tài)密度 g 定義為體積的晶體在能量間隔中的狀態(tài)數(shù)，故1 在能量范圍 d 中的狀態(tài)數(shù)g d (6.8)V三維電子的狀態(tài)密度為m2m , 0 0 g (6.9)2 220,如圖 6.1 所示.24電子在基態(tài)下的性質(zhì)對于由 N 個(gè)電子組成的系統(tǒng)，基態(tài)(絕對零度)下被電子占據(jù)的狀態(tài)可以的半徑kF 稱為用空間中一個(gè)球內(nèi)的點(diǎn)來表

4、示，這個(gè)球稱為球量，kF 3 n21 3 僅決定于電于濃度 n通常(6.10)用無量綱量rs r0 a0 表示電子濃度， r0 定義為體積等于每個(gè)電子平均所占體積的球體的半徑，即V14 r30Nn31 3 3r (6.11)0 n4a0 是半徑， a0 me2 0.529 108 cm . 于是, 式(6.10)又可寫為 3.63 -1k(6.12)Frs面是基態(tài)下電子所填充到的最高等能面電子面是球面面把基態(tài)下空間中已被電子占據(jù)的狀態(tài)和未被電子占據(jù)的狀態(tài)分開由于泡利原理的限制，遠(yuǎn)離面的電子被凍結(jié)，只有面附近的電子才在低能激發(fā)中是活躍的所以，只有面附近的電子才決定金屬的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)面上電子的能量稱

5、為能量 F ，22m22m2 3 nk 223(6.13)FF3 50.1eV(6.14)Fr 2s面上電子的速度稱為速度， kF 3 2n1 3 v(6.15)Fmmv 4.20 108 cm s1(6.16)Frs溫度由能量定義 FT(6.17)FkB面附近電子的狀態(tài)密度為 2m 3 2 1g 1 2 (6.18)FF222g F 3n2 F(6.19)電子的狀態(tài)密度 g 和分布函數(shù) f ，很容易計(jì)算出基態(tài)下三維自用由電子氣體的能量密度， U0V3 g d nFu(6.20)0F5電子氣的壓強(qiáng)為 U 2 u3P 0(6.21)V0N體彈性模量為2 nB (6.22)FV35電子氣體的熱學(xué)性

6、質(zhì)電子的狀態(tài)密度和分布函數(shù)，電子的能量密度為d 3k u 4 3電子濃度為f k d g f (6.23)d 3k n 4 3f k d g f (6.24)展開式(見例題 63 中的附注)計(jì)算以上的積分.通?？梢越柚?由 u 和 n 的積分，計(jì)算出電子的熱容為 2 k T u CV V el B NkB(6.25)2 F T n電子數(shù)， N nV .約為經(jīng)典值的 0.01 倍. 式中 N 是低溫下金屬的熱容可以寫為電子熱容和點(diǎn)陣熱容之和， Cel ClCVVV(6.26)3其中 和 A 是兩個(gè)常量.6電導(dǎo)和歐姆定律在外加恒定電場下，中間中的電子以均勻的速率漂移考慮到電子所的碰撞，穩(wěn)態(tài)下的位移

7、為 k eE 其中 為弛豫時(shí)間.v k(6.27) k 決定電子的漂移速度（平均速度）v(6.28)m由此可以導(dǎo)出電子的電導(dǎo)率為 ne 2(6.29)m其中弛豫時(shí)間 主要由電子聲子和電子雜質(zhì)缺陷間的碰撞決定根據(jù)馬提生(Matthiessen)定則，在雜志缺陷濃度不太高時(shí)，各種碰撞機(jī)制可以獨(dú)立處理，1 1 1(6.30)li其中1 l 和1 i 分別是電子聲子，電子雜質(zhì)缺陷的碰撞幾率. 于是對含有少量雜志缺陷的金屬，電阻率可以寫為兩部分之和 l T i(6.31)其中 l T 是熱聲子所引起的電阻率， i 是剩余電阻率，由靜態(tài)缺陷次定7電子在外加磁場中的運(yùn)動(dòng)經(jīng)典近似下，電子在外加電磁場中的漂移動(dòng)

8、量 p 滿足如下方程式dp t p t F t (6.32)dt5其中 p t mv t , v t 是電子的漂移速度， 是弛豫時(shí)間，F(xiàn) t 是外力. p t 相當(dāng)于電子碰撞而引入的摩擦阻力.在外加電磁場下F t e E 1 v H CGS(6.33)c電子漂移速度所滿足的方程式為m d 1 v e E 1 v H (6.34) dt c由此方程可以導(dǎo)出金屬的霍爾系數(shù)，1CGSSIR Hnec(6.35)R 1Hne用電子的漂移速度方程，聯(lián)同方程組，可以導(dǎo)出電子氣體的等離子振蕩頻率p ，并8金屬熱導(dǎo)率金屬的光學(xué)性質(zhì)用電子模型，可以導(dǎo)出電子的熱導(dǎo)率 LT并求出(6.36)數(shù) L， 2 k2L B

9、 (6.37)3e9熱電子發(fā)射當(dāng)金屬受熱時(shí)，分布中能量較高的電子將獲得足夠高的能量從而逸出金屬表面用電子模型可以計(jì)算出熱電子發(fā)射的電流密度為j AT 2e kBT (6.38)式中 是金屬的功函數(shù)，A 是常量.6例題61電子的能量(a) 導(dǎo)出絕對零度下金屬電子能量的表達(dá)式；(b) 一個(gè)簡單立方點(diǎn)陣的單價(jià)金屬，已知點(diǎn)陣常數(shù)a 3 ，每個(gè)原子只貢獻(xiàn)一個(gè)傳導(dǎo)電子試計(jì)算能量 F 、的波長；矢kF 、溫度TF 及面上電子(c) 計(jì)算簡單立方點(diǎn)陣第一解(a) 金屬中的電子濃度為區(qū)中放電子填充的狀態(tài)所占的分?jǐn)?shù) n g dF其中 g 是電子狀態(tài)密度，2m ,g m 0 02 22 0,于是有m2 22mF0n

10、 d1 2222m2 3 n32F(b)首先求出電子濃度 n，113108 3n 3.704 1022 cm3a3于是kF 3 n 1.03110 cm21 381能量為2 2 k 4.05eVF 2mF溫度TF 為7 F 47, 000KTFkB面上電子的波長為 2 6.094 108 cm 6.094 FkF區(qū)是一個(gè)邊長為 2 的立方體，其體積為a(c)簡單立方點(diǎn)陣的第一 2 38 3a3BZ a電子的半徑為1 3 231 3 k 3n2Fa3的體積為 44 3a3kF 3FS3第一區(qū)中被電子占據(jù)的狀態(tài)所占的分?jǐn)?shù)為4 3a312 FS 8 3a3BZ第一區(qū)中有一半狀態(tài)被電子占據(jù)62(a)證

11、明三維電子氣體基態(tài)下的動(dòng)能，壓強(qiáng)和體彈性模量電子氣體基態(tài)下的動(dòng)能為U 3 N0F5N 是電子數(shù)， N nV ；(b)證明基態(tài)下電子氣體的壓強(qiáng)與體積的關(guān)系為P 2 UV03(c)證明基態(tài)下電子氣體的體彈模量為B 5P 3 10U9V 2 n0F3(d)估計(jì)鉀電子氣體對 B 的貢獻(xiàn)解82 k 2V 2k 5V43 k k(a) U0 dkF2m10m2F矢kF 為電子1 3 N k 3 2 VF于是電子氣體基態(tài)下動(dòng)能為3 N 2k 23U0 F N F(1)10m5 U ，由于U 3 N， 正比于 k 2 ， k 2 僅僅通過因子p (b)0V0FFFFN5 N V 2 3 依賴于體積V，由此得到

12、2 U 2 U0P 0(2)3 V3 V(c) 體積彈性模量 B V P ，由于U V 23 ，由式(2)，壓強(qiáng) P 正比于V 53 ，0V于是有B 5 P 10 U0 2 n(3)F39 V3N這里n 是電子濃度，若用無量綱量r 表示電子濃度，則有sV 6.13 5B 109 N m2(4)rs(d)鉀的 rs4.86，代入式(4)，得B 3.18109 N m263電子氣體的熱容和化學(xué)勢試用分布函數(shù)證明白出電子氣體的化學(xué)勢 隨溫度變化的關(guān)系為2k T 2 F 1 B 12 FT 2 k 與 F 之差僅僅在 B 的數(shù)量級， F證明在有限溫度下，電子氣體能量密度的表達(dá)式為9 26kBT g F

13、 2u u0 證明電子的熱容為 2 k T CV B NkB2 F電子的能量， u0 是基態(tài)下的能量密度， g F 是這里 F 是面附近3n的狀態(tài)密度， g ， N nV 是電子總數(shù).2FF解在溫度 T，電子氣體的能量密度為 u g f d(1)f 是分布函數(shù)， g 是狀態(tài)密度，其中1e kBT 1f (2)m 2m 1 2 g 0, (3)2 22, 0 0電子氣體的化學(xué)勢 由電子濃度 n 決定， n g f d(4)一般說來，要計(jì)算 u 和 n 形式的積分比較，通?？梢越柚谡归_式進(jìn)展開式，對于在 附近變化不太劇烈的函數(shù) H ，行由有H f d H d 2 2k TH B6(5)6 7 4

14、 k T kBT O B 4H360令 H g ，即可利用上式計(jì)算 u，令 H g 則可計(jì)算n，從而計(jì)算出化學(xué)勢 于是，利用展開式(5)，電子能量密度為 2 g g O T g d kBT u 024(6)6電子濃度為10 2g O Tg d kBT u 024(7)6T 4 k 對于金屬，通常有T F kB ，故在展開式中略去了 B 以上的高次項(xiàng) FT 2 k 式(7)表明，化學(xué)勢 是溫度 T 的函數(shù)，在一般溫度下， 和 F 相差在 B F的數(shù)量級，當(dāng) T=0 時(shí)，才有 F 下面再作詳細(xì) 0為了計(jì)算積分 H d ，積分在 附近展開，修正到 T2 項(xiàng)，F(xiàn) H 00H d H d F(8)FF展

15、開式(6)、(7)中，并將 T2 項(xiàng)的 用 代替F把這個(gè)展開式應(yīng)用到 u 和 n 的(這樣作只影響到 T4 項(xiàng))，于是得到 2 F g d F kBT F u 02gg6(9) 2g F O TkBT 246 2 Fg d kBT F n 02(10)g(9)、(10)兩式右邊第一項(xiàng)正是基態(tài)下的能量密度u0 和電子濃度 n， 0 g d uF(11)0 g d nF(12)0由于 n 和 T 無關(guān)(不考慮體積變化)，于是由式(10)，得 2 2 kBTgF0 (13)解得g F 2T 2 k (14)g FB6F將g F 1 代入式(14)，得g F 2 F11221 k T k T 2 F

16、1 F 1 B B (15)3 2 F12 F之差僅k T 2 的數(shù)量級室溫下，這個(gè)差別在由此可以看出， 和00lFBF左右將式(11)代入式(9)中，并注意式(13)，得 26g F O TkBT 2u u0 4(16)如果將 g F 3n2 F 代入上式，并利用u 3 n(17)0F5則上式又可寫為T 2 k 512u u 1 2 B 0 F (18)T 2 5 k 3n 1 2 B F 512F 將 u 對 T 求微商，得電子氣體的熱容 2 u CV V T Vk Tg2(19)BFn3再將 g F 之值代人，得 2 k T CV (20) B NkB2 F與經(jīng)典值C 3 Nk 比較，由

17、分布函數(shù)的影響，電子氣體的熱容減小VB2 2 k T -2了一個(gè)因子 B ，這個(gè)因子和 T 成正比，室溫下l 0 的數(shù)量級3 F氣體 通常用無量綱量的r0 r0 a0 表示電子濃度，64二維電子二維情況下， r0 定義為面積等于每個(gè)傳導(dǎo)電子所占面積的圓的半徑，1 2 1n1 r r 2 n 00(a)導(dǎo)出二維情況下電子濃度 n 與矢kF 間的關(guān)系；12(b)導(dǎo)出二維情況下kF 和r0 的關(guān)系；電子的狀態(tài)密度 g 在 0 時(shí)是與能量 無關(guān)的常量，在(c)證明二維 0 時(shí)為零；(d)證明，由于 g 是常量，在 n 的為零導(dǎo)出在任何溫度均有 F ；展開式中除 T0 項(xiàng)外，其余各 (e)證明由n d

18、g f 可以導(dǎo)出T ln 1 e kBT k BF(f)由上式估計(jì) 和 F 之差，說明該誤差的數(shù)字意義和誤差的數(shù)學(xué)原因展開式引入該解1(a) 由 k n ，得22 2 2 n1 2 FkF(1)12(b) 由 r ，得20k 2nF2r (2)0kF12 22 kdk g k dk(c) 由于2 2 k2 kddk2mm所以1 kdk dmg d 2而mg , 0 2(3) 0, 0當(dāng) 0 時(shí)， g 等于常量.(d)展開式為13H f d H d kT 2lalBl 1d 2l 1d 2l 1 H 而n g f d(4)dl H d lg H ，注意到 0(對所有的 l)，于是由今展開式得到g

19、 f dn 0當(dāng)T 0 時(shí)，有 n g f dF0故對任何溫度 T 有 F(5)這是由展開式得到的結(jié)論(e)知道 dg f d m n e kBT 1 20 mkBTdx 2 ex 1kBT 其中 x . 上式積分后為kBT mk Tn ln 1 exB 2 kBT mkBT ln 1 e kBT 2但T 0 時(shí)，有2mn F 222 2代入上式，得T ln 1 e kBT k FB(6)T ln 1 e kBT k FB k T k T 由于 k T 100, ln 1 e e，所以BBB14 k Te kBT FB1 k T e 10, k T eV10044(f) 由于eBB40故 F

20、10eV45由此可見， F 只有可忽略的值可以忽略的“誤差”，是因?yàn)槎S63)而當(dāng)函數(shù) H 不連續(xù)時(shí)，展開式之所以得到 F ，從而引入電子的狀態(tài)密度在 0 處不連續(xù)(見圖 H d K 不能對所有 正確地展成級數(shù).65電子氣體的熱力學(xué)(a) 由熱力學(xué)關(guān)系證明電子氣體的熵密度為dkf ln 1 f B 4 3s k(1)其中 f 是分布函數(shù) k 1fe k kBT 1(b) 由壓強(qiáng)所滿足的熱力學(xué)關(guān)系P u TS n及式(1)導(dǎo)出(2)152 k 22m dkP kBT 4 3 ln 1 exp (3)k T B式(2)中的 u 是電子氣體的能量密度， 是化學(xué)勢，n 是電子濃度試證明式(3)表明 P

21、 是 和 T 的 52 階P , T 5 2P , T (c) 由熱力學(xué)關(guān)系P n l其中l(wèi) u TS 是亥姆(Helmholtz)函數(shù)，即(4)能密度，證明 P P n s(5) T r(d) 將式(4)對 求微商，證明基態(tài)下壓強(qiáng)與能量密度的關(guān)系式(621)對任何溫度都成立，即P 2 u3(6) 時(shí)，定壓熱容與定容熱容之比滿足(e)證明，當(dāng)kBT FT 2T 4k k C2p1 O BB(7)3 F FCV解(a)電子氣體的巨熱力學(xué)勢 為 l T T ln k k ln e kBT 1BBll其中 是巨配分函數(shù)，l l ekBT 1l其中l(wèi) 是第 l 能級的狀態(tài)數(shù)， l 是第 l 能級的能量

22、用的求和，電子氣體的巨熱力學(xué)勢 又可寫為空間的積分代替對 l dk 4 3 k kBT 1TVln e(8)B其中162 2 k k 2m由熱力學(xué)公式，熵密度 s 為exp 1 k T dkdkB kB 3 ln e1 kBT kBT s T V ,443 2V k T Bexp 1k T B令x kBT ，上式化為ln ex 1 dkx3s k(9)ex 1B4注意到分布函數(shù)1f ex 1exln e1 ln x ln f ln 1 f x(10)e 1x于是得到dk x lnxf B 4 3s kfdk x ln f 1 f x ln f f kxf 3 B4經(jīng)整理，得dkf ln 1 f

23、 B 4 3s k(11)(b) 將dk 4 3 4 3f u dkn f和式(11)代入熱力學(xué)關(guān)系式(2)，得到dk 1 f ln 1 f P k Tf3 B4再將式(10)代入上式，得17dkln 1 e kBT 4 3P k T(12)B現(xiàn)考慮 P , T ，由式(12)有dkP ,T kln 1 e kBT 4 3TB2k22 k 2選擇變數(shù) ，則有2m2mk 1 2k于是dk 3 2dk dkP ,T k k T 3T 32 ln 1 eBB4即P , T 5 2P ,T (c) 由熱力學(xué)關(guān)系P g l n l(13)這里 g 是數(shù) f)(Gi)能密度，l 是亥姆能密度(區(qū)別分布函d

24、P nd dn dl注意到l u Tsdl du Tds sdT又有熱力學(xué)第二定律dV 0du Tds dn于是有dl dn sdT dP nd sdT(14)P 是, T 的函數(shù)，取全微分dP P d P dT(15) T T式(14)和式(15)相比較，得18 P P n s(16) T T(d)將式(13)對 求微商，得到P ,T P x,T x P , y yxyxyTP ,T P PTxyxyT 5 3 2P ,T 2令 1 ，有 P ,T P ,T T 5 P ,T (17)T2T將式(16)代人式(17)，得n sT 5 P2再將式(2)代入，得P u sT n 5 P2P 2

25、u(18)3這個(gè)結(jié)果對任何有限溫度都成立.(c)由熱力學(xué)公式 P 2T T P V V C C T(19)PV T T P V P V T將 262 3n O TkBT u u0 4 2 F代人式(18)，得到2 24n O TP V ,T kBT 2u0 4 F 3 19求偏導(dǎo)數(shù)后得nk 2T k T 2 2 P B 1 O B (20) T V3 F F k T 2 2 n P 1 O B (21)F F V T3 V將式(20)、(21)及電子熱容公式T 2 2 k T k CV B NkB 1 O B (22)2 F F代入式(19)，得 2 k T k T 4C P 1 CV66 B

26、 O B (23)3 F F分布函數(shù) f 對每個(gè)正的能量-統(tǒng)計(jì)的經(jīng)典極限當(dāng) 遠(yuǎn)小于 1 時(shí)，f e kBT 有(1)分布對所有的正 ，式(1)成立這時(shí)-分布簡化為-玻耳的充分必要條件是e kBT 1(a)設(shè)式(2)成立，證明(2) e 3kBT 31 3 1 62mkT 1 2 r(3)0B式中r0 定義為體積等于每個(gè)傳導(dǎo)電子體積的球的半徑，431nr 301 3 3r 0 n4證明條件(2)意味著要求1 2 2r (4)T 02mkB也可以把這個(gè)看作是經(jīng)典統(tǒng)計(jì)成立的條件(b)試問r0 所必須超過的長度意義?20(c)證明由式(4)可以導(dǎo)出下面的數(shù)學(xué)條件：r 105 K 1 2 0 rs(5)

27、a0T228這里a0 是半徑， a0 me 0.529 10 cm .(d)-m 3速度分布為1f v (6)4 3 1expmv2 k Tk T 1B 2B 0 式中T0 是由歸一化條件n dvf v決定的溫度證明上式中的歸一化常數(shù)m3 4 33 也可以寫為3 4n m3 2 ，于是有2 k TB Ff 03 2 4 TB F f 03 T 式中 fB 是解(a)按定義-玻耳速度分布d g f n m e kBT 1當(dāng)e kBT 1時(shí)，對于所有 0 有e kBT e kBT e kBT 1于是f e kBT 這就是經(jīng)典的-玻耳統(tǒng)計(jì)將它代入到電子濃度的表達(dá)式中，得 2m 1 2 m k T n

28、 de2 2 2B 0令 x2 k T ，于是 x k T ,d 2k Txdx ，則BBB21m2mkBT 2k x2 k T dxx2eeBn T2 22B0注意到 422 xdxx e0上式又可寫為T 3 2 1 2mkn e kBT B 4 2相應(yīng)地r0 為34 1 2mkBT k T eB4 3 3k T eB 13 2mk T B即 e 3kBT 31 3 1 6 2mkT 1 2 r0B以上結(jié)果又可寫為1r0 3k T eB31 3 1 61 2 2 2mkT B于是看到，條件e kBT 1意味著要求1 2 2r 0T 2mkB所以，這個(gè)條件也可以看作經(jīng)典統(tǒng)計(jì)成立的條件.1 2

29、22 k 2，它近似地等于一個(gè)電子處于能量為 k kBT(b)量 2mkBT 2m的量子態(tài)時(shí)的波長T ，1 2 22T 2T 1 2 2mk 2mk T BB222于是1 2 2r 0T 2mkB也就是rs T .2半徑a0 ， a0 me2 ，上述條件又可寫為(c)1 2 1 2 m2e422r1 0 rs4me4aa2mk T2mk T00 BB1 2 2kBT 22me4 13.6eV ，上式又可寫為再利用氫原子基態(tài)能量2ma220 13.6eV 1 2 105 K 1 2 rs k T TB3 2 3m(d) 令 I 4 n 2 k T ，將B F k 32k 2kBTF Fn F F

30、 2m3 2代入，得3 2 3k 3m2m F I 4 3 2 22 k 2F k 3m33 F k23 2 3 343m34 33F 即3 2 m34 33 3m n 2 k T 4B F -波耳速度分布為3 2 v n m2emv 2kBTf 2 k T BB 23當(dāng)v 0 時(shí)，有3 2 mfB 0 n 2 kBT -速度分布為m31f v 4 3 3 1mv2 kBT1e 2當(dāng)v 0 時(shí)，有m31f 0 4 33 k T 1eB其中 kBT0 ，由電子密度n dvf v 決定.由以上諸結(jié)果得到3 2 mn 2 k T f 0B B e kBT1f 03 2 3m n 42 k T B F

31、 3 2 T41 eT0 T F 3 T由于T T ，故有eT0 T 1，于是得到0f 03 2 4 TB F f 03 T67金屬的內(nèi)聚能作為堿金屬的一個(gè)粗糙的物理模型，假設(shè)每個(gè)價(jià)電1 3 3子的電荷均勻分布在離子實(shí)周圍半徑為 r 的球內(nèi)， r ，n 是電子濃00 n4半徑，于是rs r0 a0 就成為標(biāo)志電子濃度的無量綱量度用a0 表示(a) 證明絕對零度時(shí) 電子 氣體中每個(gè)電子的平均動(dòng)能為 me4 Ry 電子 1Ry(22.21 rs)13.59eV，是氫原子基態(tài)的能量22(b)若將離子實(shí)看作點(diǎn)電荷，試證明每個(gè)電子的靜電能為 Ry 電子 9 ucoul5rs(c)在實(shí)際金屬中，價(jià)電子大都

32、被排斥在離子實(shí)附近的一定距離之外考慮到這點(diǎn)，可以認(rèn)為每個(gè)電子分布在環(huán)繞離子實(shí)的半徑為 rc 和 r0 的兩球之間的區(qū)域24內(nèi)于是，用贗勢代替每個(gè)離子的勢，e2Vps r 0,證明(b)中的r rc r rc能應(yīng)為下式所代替，,r3r2a9Ry 電子 c0ucoulr35rss這里僅修正到rc r0 的首項(xiàng).(d) 每個(gè)粒子酌總能量力動(dòng)能、能和交換能之和已知交換能為 0.916 r Ry 電子 證明r 的平衡值為uexss 0.82 1.82 r 1 O a2rarsc00c已知鈉的 rs393，離子半徑為 095將以上的計(jì)算解和此結(jié)果比較(a)電子在 0K 時(shí)的總動(dòng)能為3 0 V g d NU

33、 kinF(1)0F5平均每個(gè)電子的動(dòng)能為U kin2333 2n2 3 0 ukin(2)F0N55 2m將n 3 r 代入，得340 2 2 3 2 3 3 9ukin0 rr 2m0 me2 22 m me1 2.212rs即Ry 電子 2.21 r 2ukin0s(b)一個(gè)電子電荷均勻分布在半徑為r0 的球內(nèi)(見圖 64)電荷密度為25e 43 r30于是，電子與正離子實(shí)間能為0er r dr4ucoul21r0 er2202 3e2r03e2me23me4 2 rr 222aa0000所以 3 Ry 電子ucoul1rs電子電荷均勻分布在球內(nèi)的自具能為r0 4r3 4r 2 u2 0

34、coul dr3r3 e24 2 r5 0 355 r0所以 6 Ry 電子ucoul25rs電子的能為以上兩部分之和26ucoul ucoul ucoul126 3 rs5rs所以 9 1 Ry 電子ucoul5 rs(c)參看圖 6.5，用贗勢Vps r 代替離子實(shí)勢e2Vps r 0,r rcr rc,r于是電子與離子實(shí)間斥侖能為0er r drucoul421rrc e r r 2220c3 e2 r2 1 c 2 r0 r0 電子分布在半徑為 rc 利 r0 的兩球之間的自具能為0 41 r r r4rdrucoul3322c3rrc2 3 e5 r0這里略去了rc r0 的高次項(xiàng)于

35、是總靜電能為ucoul ucoul ucoul123 e2 r2 3 e21 c 2 r0 r0 5 r013r2a9c0 Ry電子 r35 r aa00c09 13r2aRy 電子ucoul c0r 35 rssu ukin ucoul uex(d)93r2 2.210.916 aRy 電子 c0 r 25rr3r ssss27由 dudr 0 ，解出r 的平衡值，ss9 19 r2adudr4.420.916 c0 0r35 r 2r 4r 2sssss 0.814 1.82 r 1 O a2rarsc00c對于金屬鈉，已知rs 3.93 ，如果將rc 0.95 代入上式，則有r 0.81

36、4 1.82 0.95 4.07s0.53與rs 3.93 符合甚好.68金屬的體彈性模量和聲速試證明電子氣體在絕對零度下動(dòng)能對其體彈性模量的貢獻(xiàn)為B 1 nmv2F3式中 n 是電子濃度，m 是電子質(zhì)量， vF 是中的聲速在可壓縮流體中聲速為速度用以上結(jié)果可以求出金屬v B 1 2 其中 是流體的質(zhì)量密度由此證明單價(jià)金屬的聲速為1 2 mv 3M vFM 是金屬離子的質(zhì)量上式稱為玻姆-解(Bohm-staver)關(guān)系在 T0 K 時(shí)，金屬中電子的動(dòng)能為U 3 N0F5 3 N 2 3 2 F2mV而體彈性模量為3d 2d 2U B V 0 NV F dV 25dV 2 2 N 1nmv2FF

37、3 V328利用單價(jià)金屬的質(zhì)量密度 nM ，金屬中的聲速為 B 1 2 1 2 1nmv2 v 3F1 2 m 3M vF69天體物理學(xué)中的氣體的質(zhì)量M 2 1033 g ，試估計(jì)(a)已知中的電子數(shù)在中可以離化這個(gè)數(shù)目的電子，并限制在半徑為2 109 cm能量(b)在相對論極限下， mc2 ，電子能量和的球內(nèi). 試求以電子伏表示的的關(guān)系為 pc kc 試證明在這個(gè)極限下的能大致為 F c N V ；1 1 3 (c)如果上述數(shù)目的電子限制在半徑為 l0km 的脈沖星內(nèi)，試證明能約為 108 eV這個(gè)數(shù)值說明了為什么可以認(rèn)為脈沖星主要是由中子而不是由質(zhì)子和電子組成的因?yàn)樵趎 p e 的反應(yīng)中出

38、的能量僅為0.8106 eV這個(gè)能中子衰變只進(jìn)行到產(chǎn)生和0.8106 eV 的量以使許多電子形成能相當(dāng)?shù)碾娮訚舛葹橹惯@時(shí)中子、質(zhì)子和電子濃度達(dá)到平衡解(a)首先估計(jì)中的電子數(shù)目 N，由于質(zhì)子數(shù)約等于中子數(shù)，故有2 1033MN 2M2 1.67 1024 6 1056PMP 為質(zhì)子質(zhì)量在中，可以電離這個(gè)數(shù)目的電子，這些電子分布在半徑為2 109 cm 的球內(nèi)，于是電子濃度為6 1056 1.810 cm283n 4 2109 33能為10542 9 102822 3 28 2 3 n 1.8102233F2m 2.3104 eV(b)在相對論極限下，有29 pc kc F kF c c 3 n

39、 3cn21 31 3粗略地有 N 1 3 F c V(c)將 N 61056 代人半徑為 10 km 的脈沖星中，得 6 c N103 1010 eV V 4F1036 30.8106 eV 的能量，因而不能使很多電子形成 高達(dá) 108eVF但中子衰變只能所以，脈沖星主要由中子組成，又稱為中子星.的610弛豫時(shí)間在的電子論中，一個(gè)電子在任意無窮小時(shí)間間隔 dt 內(nèi)受到一次碰撞的幾率為dt .證明，一個(gè)在給定時(shí)刻選定的隨機(jī)的電子，其在這以前的 t 秒內(nèi)未受到碰撞的幾率是et ，在這以后的 t 秒內(nèi)不受碰撞的幾率仍是et 證明，一個(gè)電子連續(xù)兩次碰撞間的時(shí)間間隔分布在tt dt 內(nèi)的幾率是dt e

40、t 證明，內(nèi)(a)可以得到，在任何時(shí)刻，追溯到上一次碰撞(或距離下一次碰撞)的平均時(shí)間對所有電子來說平均是 證明，由(a)可以得到，一個(gè)電子連續(xù)兩次碰撞間的平均時(shí)間 由(c)表明，在任何時(shí)刻，從上一次碰撞到下一次碰撞間則時(shí)間 T 對所有電子平均為 2 ，試解釋這和(d)的結(jié)論并不分布的推導(dǎo))解(a)在時(shí)刻t 0 ，任選一個(gè)電子，令 p0 t 為該電子在以后的 t 秒內(nèi)不受碰撞的幾率，即電子在0 t 期間不受碰撞的幾率，這里t 0 則該電子在時(shí)間間隔t t dt 內(nèi)受到碰撞的幾率為(詳細(xì)的解釋應(yīng)包含對 T 的幾率t p t dt p t dtp00030 dp0 t p0 t dt解此微分方程得

41、p0 t et 注意， p0 t 滿足歸一化條件 p(0)1現(xiàn)在可考慮電子在 t 0 以前的時(shí)間間隔 t 內(nèi)不受到碰撞的幾率，設(shè)為p1 t p1 t 也就是電子在 t0 期間不受碰撞的幾率，這里 t0于是有t dt p t p t dtp111dp1 t p1 t dtt et p1或?qū)憺閠 e tt 0p1所以，電子在給定時(shí)刻以前或以后的 t 秒內(nèi)不受碰撞的幾率都是et ，如圖(66)所示(b)為求出電子連續(xù)兩次碰撞的時(shí)間間隙分布在t t dt 的幾率，令電子發(fā)生上一次碰撞的時(shí)刻為 t0于是由(a)，電子在時(shí)間 t 內(nèi)沒有受到碰撞的幾率是p0 t 電子在t t dt 受到碰撞的幾率是t p

42、t dt p t dtp000 dt t p t dt et p0031這也就是電子連續(xù)兩次碰撞之間的時(shí)間間隔分布在t t dt 的幾率(c)由(a)可知，電子在指定時(shí)刻 t0 以前的時(shí)間t t dt 內(nèi)發(fā)生上一次碰撞的 dt t dt p t t 幾率是 pe.于是，電子距上一次碰撞的平均時(shí)間為 11dt00tt dx xe xte up其中 x t ， 表示在時(shí)刻t 0 以前的時(shí)間 .同理，電子到下一次碰撞的平均時(shí)間為t dt te xe xdx tdown 00由此可見，在指定時(shí)刻 t0，電子距上一次碰撞或下一次碰撞的平均時(shí)間都是 (d)由(b)可知，電子連續(xù)兩次碰撞之間的時(shí)間間隔處在

43、t t dt 的幾率是 dt t e于是電子連續(xù)兩次碰撞間的平均時(shí)間為 t dt t te xe xdx 00(e)內(nèi)(c)可知，從上一次碰撞到下一次碰撞的平均時(shí)間為T 2tuptdown但電子在t t dt 時(shí)間間隔內(nèi)受到一次碰撞的幾率總是dt ，和上一次碰撞在多久之前發(fā)生無關(guān)現(xiàn)求T 的幾率分布，從而計(jì)算 T 在 t0 時(shí)刻一個(gè)隨機(jī)的電子，電子在t t dt 時(shí)間間隔內(nèi)受到下一次碰dtt 撞的幾率為e上一次碰撞發(fā)生在下一次碰撞的 T 秒前，上一次碰撞發(fā)生 dTt T 在t T t T dT 的幾率為e要求兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，于是聯(lián)接幾率為二者之積，即dTdtdTdtt T t T eee 時(shí)間

44、差(以上一次碰撞到下一次碰撞)發(fā)生在T T dT 的幾率為積分32dTdte dT TeT TT 20于是上一次碰撞到下一次碰撞的平均時(shí)間 T 為dT02T T TeT dxx e2 x0 2其中 x T .由此可見，電子以上一次碰撞到下一次碰撞的平均時(shí)間是 ，而電子連續(xù)兩次碰撞間的時(shí)間間隔則是 顯然，在指定的時(shí)刻 t0 平均必有一次碰撞發(fā)生離上一次碰撞的平均時(shí)間是 ，到達(dá)下一次碰撞的平均時(shí)間也是 ，連續(xù)兩次碰撞之間的平均時(shí)間仍是 (c)的結(jié)論和(d)并不611焦考慮在均勻溫度下處在均勻靜電場 E 內(nèi)的金屬，一個(gè)電子受到一次碰撞后，經(jīng)過時(shí)間 t 又受到第二次碰撞按照模型，由于電子碰撞后的平均速

45、率和它自上一次碰撞以來從電場和獲得的能量無關(guān)，電子在各次碰撞中能量并不守恒(a)設(shè)第一次碰撞和第二次碰撞之間的時(shí)間間隔為 t，證明在第二次碰撞中，電子所交給離子的平均能量損失是eEt 2方向平均)，(b)用例題 6.10(b)的結(jié)果，證明每個(gè)電子在每次碰撞2m (就第一次碰撞后電子運(yùn)動(dòng)的所有給離子的平均能量損失是eEt 22m 因此，在每立方厘米的體積中，每秒鐘的平均能量損失是ne2 m E2 E2 . 對長度為L、橫截面積為 A 的金屬線，導(dǎo)出其功率損耗為 I2R，這里 I 是流過的電流，只是金屬結(jié)的電阻解(a)考慮在時(shí)刻 t0 受到碰撞的一群電子，碰撞后電子的速度方向是隨機(jī)的，故平均速度為

46、零電子的平均動(dòng)能為1 mv20 Ek02由金屬溫度決定在下一時(shí)刻，由于電場的加速，電子從電場中獲得的速度為33eE t mv t v0電子的動(dòng)能為2 211 eE e E Et mvt mv mvt 222t0 k022m2m對所有電子取平均，由于 v0 0 ，故有e2 E21Ek t mv0 22t22m 1 mv2 因而電子所交0而在第二次碰撞后，電子的平均動(dòng)能又減少為 Ek02e2 E22給離子的平均能量為t 2m(b)由例題 6.10(b)知道，對一個(gè)給定的電子，在時(shí)間t t dt 內(nèi)受到碰撞的幾dtt 率為e于是，平均每次碰撞的能量損失是 e2 E2t 2 e2 E2t dt 02t e 2m2m e E 2 2 22 2e Ex e dx22 x2mm0現(xiàn)計(jì)算每立方厘米的功率損耗 P， e2E2 2 n mP 這里 n 是電子濃度，1 是時(shí)間內(nèi)一個(gè)電子碰撞的次數(shù)于是有 ne2 E EP 2m jE j2其中 E j 是金屬電阻率對于長度為 L、橫截面積為 A 的金屬線，功率損耗為L2P j LA 2AjA RI 2式中 R L A 是金屬線的電阻， I Aj 是流過金屬線的電流34612交流電導(dǎo)率試用電子的漂移速度方程m dv v eE dt 證明在頻率 下金屬的交流電導(dǎo)率為 01 i 其中, 0 ne m .2證明設(shè)電場