湖南大學微積分32-第32講一元微積分應用五

1、高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程 一元微積分學 大 學 數(shù) 學（一）第三十二講 一元微積分的應用(五)腳本編寫：劉楚中 平面曲線的曲率第六章 一元微積分的應用本章學習要求：熟練掌握求函數(shù)的極值、最大最小值、判斷函數(shù)的單調性、判斷函數(shù)的凸凹性以及求函數(shù)拐點的方法。能運用函數(shù)的單調性、凸凹性證明不等式。掌握建立與導數(shù)和微分有關的數(shù)學模型的方法。能熟練求解相關變化率和最大、最小值的應用問題。知道平面曲線的弧微分、曲率和曲率半徑的概念，并能計算平面曲線的弧微分、曲率、曲率半徑和曲率中心。掌握建立與定積分有關的數(shù)學模型的方法。熟練掌握“微分元素法”，能熟練運用定積分表達和計算一些幾何量與物理量：平面圖形的面

2、積、旋轉曲面的側面積、平行截面面積為已知的幾何體的體積、平面曲線的弧長、變力作功、液體的壓力等。能利用定積分定義式計算一些極限。第六章 一元微積分的應用第 七 節(jié) 平面曲線的曲率一、曲率的概念二、曲率的計算公式三、參數(shù)方程下曲率的計算公式四、曲率圓、曲率中心 我們已經(jīng)討論過曲線的凹凸性 , 知道如判定曲線的彎曲程度 . 而在許多實際問題中何判斷曲線的彎曲方向 , 但是還不能描述和都必須考慮曲線的彎曲程度 , 例如 , 道路的彎道設計 , 梁的彎曲程度 , 曲線形的切削工具的設計等等 .你認為應該如何描述曲線的彎曲程度 ?單位弧長上的轉角一、曲率的概念例1解求半徑為 R 的圓上任意一點處的曲率

3、. 如圖所示 , 在圓上任取一點 M , 則故即圓上點的曲率處處相同：半徑越小的圓 , 彎曲得越厲害 .設曲線方程為則在曲線上點處的曲率為二、曲率的計算公式證如圖所示 ,曲線在故又從而例2解直線上任意一點處的曲率均為零 .俗話說 , 直線不彎曲 .例3解哪一點曲率最大 , 哪一點曲率最小 .利用參數(shù)方程求導法求出故得駐點故在各象限中+由此可得 :將它們代入曲率計算公式中即可得：三、參數(shù)方程下曲率的計算公式例4解會出現(xiàn)導數(shù)的分母為零的情形 , 相同 , 對稱 , 故原問題可以轉為求曲線圖形關于在有些實際問題中 , 現(xiàn)在問你一下 : (假設單位是統(tǒng)一的)如果告訴你一條曲線在點 M 處的曲率為 你能

4、想象出它的彎曲程度嗎？如果告訴你有一個半徑為 5 的圓 , 你能想象出該圓上任何一點處的彎曲程度嗎？由此及前面講的例題1 , 你有什么想法？曲率圓曲率半徑曲率中心處可用一個相應的圓來描述曲線的彎曲程度作其法線, 在法線指向曲線凹向的一側上取一點 Q ,使以 Q 為中心 , R 為半徑所作的圓稱為曲線在點M 處的曲率圓 , 圓心 Q 稱為曲率中心 , R 稱為曲率半徑 .三、曲率圓、曲率中心曲率圓與曲線在點 M 處相切 , 且在點 M 處兩者曲率相同 . 曲率圓與曲線在點 M 處具有相同的一、二階導數(shù) . 當討論曲線在點 M 處與一、二階導數(shù)有關的局部性質時, 可以通過討論其相應的曲率圓的局部性質來實現(xiàn) .曲率圓的性質則曲線在點曲率中心的坐標證則曲線在點由于故有其斜率為曲線在點 M 處切線的斜率為從而 , 有(1)(2)由 (1) , (2) 兩式消去由于曲率圓總是位于曲線凹