講義微積分函數(shù)

1、第一章分析基礎(chǔ) 函數(shù) 極限 連續(xù) 研究對象 研究方法 研究橋梁函數(shù)與極限 第一章 二、函數(shù) 一、實數(shù)第一節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)三、初等函數(shù)一、 實數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 實數(shù)的連續(xù)性人們認識數(shù)是從自然數(shù)開始的,有了加法和減法,進而對數(shù)的認識擴展到整數(shù);引進除法后,就又進一步擴展到有理數(shù).到了有理數(shù)的時候,還是比較直觀的,因此,在一段時期中,人們認為有理數(shù)已經(jīng)充滿了整個數(shù)軸,但這個理念是錯誤的！無理數(shù)的發(fā)現(xiàn),引起了很大的震撼,可以說是數(shù)學(xué)史上數(shù)的里程碑.實數(shù)就是有理數(shù)和無理數(shù)的統(tǒng)稱.對于實數(shù),它對于四則運算下是封閉的;建立數(shù)軸后,它和數(shù)軸的點一一對應(yīng)的,并

2、且充滿整個數(shù)軸,是連成一片的,這就是實數(shù)的連續(xù)性.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 關(guān)于實數(shù)的一些通用記號自然數(shù)集整數(shù)集合有理數(shù)集 p 與 q 互質(zhì)實數(shù)集合 x 為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間無限區(qū)間點的 鄰域其中, a 稱為鄰域中心 , 稱為鄰域半徑 .半開區(qū)間去心 鄰域左 鄰域 :右 鄰域 :機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義域二、函數(shù)1. 函數(shù)的概念 定義1. 設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D 上的函數(shù) ,記為 f ( D ) 稱為值域 函數(shù)圖形:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 自變量因變量(對應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域)例如, 正弦函數(shù) 定義域 對應(yīng)規(guī)律的表示方法:解析法、圖象法

3、、列表法使表達式及實際問題都有意義的自變量集合.定義域值域又如, 絕對值函數(shù)定義域值 域機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1) 有界性使稱 使稱 說明: 還可定義有上界、有下界、無界 (見課本 P6 )(2) 單調(diào)性為有界函數(shù).在 I 上有界. 使若對任意正數(shù) M , 均存在 則稱 f ( x ) 無界.稱 為有上界稱 為有下界當(dāng)時,稱 為 I 上的稱 為 I 上的單調(diào)增函數(shù) ;單調(diào)減函數(shù) .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3) 奇偶性且有若則稱 f (x) 為偶函數(shù);若則稱 f (x) 為奇函數(shù). 說明: 若在 x = 0 有定義 ,為奇函數(shù)時,則

4、當(dāng)必有例如, 偶函數(shù)雙曲余弦 記機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 又如,奇函數(shù)雙曲正弦 記再如,奇函數(shù)雙曲正切 記機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (4) 周期性且則稱為周期函數(shù) ,若稱 l 為周期( 一般指最小正周期 ).周期為 周期為注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .例如, 常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x 為有理數(shù)x 為無理數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在逆映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為 f 的反函數(shù) .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其反函數(shù)(減)(減) .1) yf (x) 單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增 性質(zhì):

5、2) 函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱 .例如 ,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對稱 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 指數(shù)函數(shù)(2) 復(fù)合函數(shù) 則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由, 確定的復(fù)合函數(shù) , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 復(fù)合映射的特例 u 稱為中間變量. 注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件 不可少. 例如, 函數(shù)鏈 :函數(shù)但函數(shù)鏈不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .可定義復(fù)合機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩個以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如, 可定義復(fù)合函數(shù):4. 函數(shù)的四則運算機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5. 初等函數(shù)(1) 基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)

6、、反三角函數(shù)(2) 初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù) . 例如 ,并可用一個式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成 ,稱為初等函數(shù) .可表為故為初等函數(shù).( 自學(xué), P9 P13 )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 非初等函數(shù)舉例:符號函數(shù)當(dāng) x 0當(dāng) x = 0當(dāng) x 0取整函數(shù)當(dāng)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注：分段函數(shù)有可能是初等函數(shù)，也有可能不是初等函數(shù).例. 試說明下列初等函數(shù)是如何通過基本初等函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 得到的：解: 內(nèi)容小結(jié)1. 實數(shù)定義域?qū)?yīng)規(guī)律3. 函數(shù)的特性有界性, 單調(diào)性,奇偶性, 周期性4. 初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)2. 函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 基本初等函數(shù)1、冪函數(shù)2、指數(shù)函數(shù)3、對數(shù)函數(shù)4、三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)5、反三角函數(shù) 冪函數(shù),指數(shù)