復(fù)習(xí)根判別式與韋達定理

1、元二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系復(fù)習(xí)課教學(xué)目標提高學(xué)生對于根的判別式的運用能力；提高學(xué)生對于根與系數(shù)關(guān)系的運用能力.教學(xué)重點和難點重點：會用根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系解題.難點：根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系的綜合題；不遺漏、不重復(fù)地列出所解問題應(yīng)具備的條件特別是容易忽略隱含條件.教學(xué)設(shè)計過程(一)復(fù)習(xí)1已知一元二次方程ax2+bx+c=0(aO).它的根的判別式是什么?用什么記號表示根的判別式?(b2-4ac,用表示)敘述一元二次方程根的判別式的性質(zhì).(一元二次方程ax2+bx+c=0(aO)當(dāng)厶。時，有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)4=0時，有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)AVO時，沒有實數(shù)根.反過來也成立，即有

2、兩個不相等的實數(shù)根時，厶。，有兩個相等的實數(shù)根時，4=0；沒有實數(shù)根時，0)2.(1)已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個根，那么x1+x2=?,x1x2=?(2)上述性質(zhì)的逆命題怎樣敘述?此逆命題是否成立?鈿果口工億一個一無二次才屋時西柢之和曲兩糧之機曲丄，郡玄遑-一克二皮方4巴3對于根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系的性質(zhì)，我們從正、反兩方面:即原命題與逆命題)都知道了，并初步做了有關(guān)練習(xí)，但涉及這兩個性質(zhì)的綜合性較強的問題，還需要訓(xùn)練.例1當(dāng)m分別滿足什么條件時，方程2x2-(4m+l)x+2m2-l=0,有兩個相等實根；(2)有兩個不相實根；(3)無實根；(4)有兩個實

3、根.解：=(4m+1)2-4X2XC2m2-1)=8m+9當(dāng)4=8m+9=0，即m二-9時，方程有兩個相等的實根；8當(dāng)4=8m+90，即m-9時，方程有兩個不等的實根；8當(dāng)4=8m+9V0，即mV-9時，方程沒有實根.8例2求證：關(guān)于x的方程x2+(m+2)x+2m-1=0有兩個不相等的實數(shù)根。分析：(1)要證方程有兩個不相等的實數(shù)根，就是證明其根的判別式要大于零.(2)對于一個含有字母的代數(shù)式，要判斷其正負，通常下面方法：通過配方變?yōu)椤耙粋€完全平方式+正數(shù)”或變?yōu)椤?()2-正數(shù)”解答過程略例3值.式,(1)已知關(guān)于x的方程3x2+6x-2=0的兩根為x,x,求丄+丄的12xx12分析：已知

4、方程，求兩根組成代數(shù)式的值。這里主要說明解題格學(xué)生完成過程.(2)已知關(guān)于x的方程3x2-mx-2=0的兩根為X，x?，且丄+丄二3，求m的值；求xi2+x22的值.xx12例4P為何值是，方程x2+3x+3+P(x2+x)=0(1)有兩個相等實根；(2)試作一個一元二次方程，使P的這些值是這個方程的根.分析：從根的判別式性質(zhì)，可求出P值，從而寫出所求的一元二次方程但根據(jù)方程根的性質(zhì)，可使解題過程簡單些.解：欲使方程x2+3x+3+p(x2+x)=0有等根，則方程(1+p)x2+(3+p)x+3=0的根的判別式應(yīng)等于零.即=(3+P)2-12(1+p)=0,整理，得p2-6p-3=0.由已知P

5、是所求方程的根，因此二次方程x2-6x-3=0就是所求方程.例5若a，卩是方程x2+x-1=0的兩根，求證：(l)a2=p+2,卩2=a+2求出以$：；和丫專為根的二次方程.分析：由根與系數(shù)關(guān)系及方程根的定義，列出有關(guān)等式，由此得出(1)的結(jié)論.TOC o 1-5 h z證明：由a,卩是方程x2+x-1=0的兩根，得a2+a-1=0,P2+P-1=0.由根與系數(shù)關(guān)系，得a+p=-1,ap=-1.由，得a=-P-1,式平方，得a2=p2+2p+1.由a2=p2+p+p+l=p2+P-l+p+2，把代入，得a2=0+p+2，所以a2=p+2.由P=-a-1,式平方，得p2=a2+2a+1,由卩2=

6、a2+a+a+l=a2+a-l+a+2，把代入，得卩2=0+a+2，所以p2=a+2sti+匕丄_(a+1戶_口上4琴叢斗1十肖咅+2目斗】Pa+14+lHfl+1)+(0,即4(-m+1)0，所以m0，把，結(jié)合在一起，當(dāng)0m10,x20，所以x1+x20及x1x20,即2-Tni02m-1但是僅憑條件，還不足以說明兩根都是正數(shù)，還必須有條件ANO,即=4(-m+l)0.由，得不等式組201伽-10,4(一啊+!)孑山X答：當(dāng)Vml時，原方程有兩個正數(shù)根.注意：如果忽略了條件，即答.Vm時原方程有兩個正數(shù)根，這個答案就錯了例如取m=4,原方程為x2-4x+7=0,但是這個方程的根的判別式.=(

7、-4)2-4x7=-8a,孑.這三個料唇在一起-2a0.焉朮住1為一工丈-尹A,-丄孑ii7、：A,a.綏旨-lWac七匚時，原方健至護商一牛正棍(四)小結(jié)1在用根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系解題時，不要忽略隱含條件，像例3第(4)問中的條件0.2在計算時,也不要忽略算式隱含的條件，像例3第中隱含的條件m0.(五)作業(yè)求作一個一元二次方程，使其根與已知方程ax2+bx+c=0的根的比為m.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a主0)的二根之比為2:3,求證：6b2=25ac.已知u=16x2+12x+39,u=9x2-2x+11,求：對于二次式u+ku是一個完全平方式的常數(shù)k的值.c為實數(shù)，且x2

8、-3x+c=0中有根一相反數(shù)是方程x2+3x-c=0的一個根，求方程x2-3x+c=0的根.k是什么值時，關(guān)于x的方程(k2-1)x2-6(xk-1)x+72=0有兩個不相等的正整數(shù)根.作業(yè)的答案或提示1.詛己肛才程時兩槨対幻班所求淖世的兩楸為角爭.則有0】云護嘰，匾胞機.斯儀角十廠(a,十ns=-豎,禺血=mQ|a2=打-*釁黑才看沖:星十詈耐+=th即cijr2+m2c-&.2由于原方程兩根之比為2：3,所以可設(shè)兩根為2k，3k，于是7愍詩寵話缺瞭詢叱27七E-_416fl姑融閾“二茨三胡式対式分解的坯舎運用叩的例臨可掃式，成為完全平寸的帝伸亠晝3.X賤-16兀$十12工斗39十竟9衛(wèi)衛(wèi)-

9、2工十11)2佰-婦J4X1B十臥H站十1M20,翔2十1十12=0,毎桜Jt=一4川4.設(shè)a是x2-3x+c=0的一個根，且是方程x2+3x-c=0的根，則有|-Cr23尬+F0l（+-c）-c=otff2-Sff+?=0Tit-3a_vn（h-得2c=0,所以c=0，代入x2-3x+c=0,得x2-3x=0,解此方程得xl=0,x2=3.5.因為方程要有兩個根，此方程必定是一元二次方程，二次項系數(shù)必定不是零即k2-l主0得k定1，又因為兩實根不相等，厶。.即-6(3k-1)2-4x72(k2-1)0,得k#3.-丁門山円5(3A-l)+6(-3)旳12-&交K兩麗L2(k2_xy?即可十+申1，韭使心也都是血數(shù)，即嚴且嚴kl.要使x1,x2都是整數(shù)，必須k+1能整除12,且k-1能整除6.由k+1能整除12,k+1可為1,2,3,4,6,12即k可為0,1,2,3,5,11.由k-1能整除6,k-1可為1,2,3,6即k可為2,3,4,7.由，的共同解為k=2,k=3,但由知k主3,所以只能取k=2.答：k=2時，原方程有兩個不相等的正整數(shù)根.注意：不要忽略原題中一些關(guān)鍵詞所含的條件.像“兩個”，限定了k#1，像“不相等”,限定了0,即&3，像“正整數(shù)”，限定了k+1可為1,2,3,4,6,12且k-1可為1,2,3,6.課堂教學(xué)設(shè)計說明1在復(fù)習(xí)舊知識時，把根