“翻轉(zhuǎn)課堂”實(shí)驗(yàn)教學(xué)日記

1、“翻轉(zhuǎn)課堂”實(shí)驗(yàn)教學(xué)日記7/8/2013第一天的教學(xué)進(jìn)展地不如預(yù)計(jì)的順利，這既有硬件的問題，也有軟件的問題。硬件的問題是投影儀質(zhì)量太差，完全無法投影excel表格內(nèi)容，結(jié)果Kolb測試變成手抄練習(xí)。此外，一些學(xué)生所攜帶的筆記本電腦也過于陳舊，無法連上網(wǎng)絡(luò)也無法安裝Newtons Playground。軟件的問題既出在學(xué)生身上，也出在老師身上。從學(xué)生的角度講，學(xué)生還不能夠接受無領(lǐng)導(dǎo)小組討論的學(xué)習(xí)方式，同時(shí)第一次見面也難免略有生疏。從老師的角度來講，我指導(dǎo)小組討論的經(jīng)驗(yàn)不足，調(diào)節(jié)課堂氣氛的能力也不足。特別的，我采用了隨機(jī)數(shù)分組的辦法，這拆散了學(xué)生原有的小團(tuán)體，使得小組間的討論更加難以進(jìn)行。Newt

2、ons Playground的游戲形式調(diào)動了學(xué)生的積極性，活躍了小組的氛圍。學(xué)生的解決方案并非利用既有物理概念，而是利用一個(gè)工具進(jìn)行“暴力破解”。例如，需要使用配重解決的“秤”，學(xué)生會使用之前跳板的經(jīng)驗(yàn)，在秤的一端掉重物，然后利用重物改變秤平衡。這和回收的Kolb學(xué)習(xí)風(fēng)格測試結(jié)果相似，大多數(shù)學(xué)生依靠具體的經(jīng)驗(yàn)，而非抽象的概念。當(dāng)他們通過一定量關(guān)卡學(xué)會一個(gè)概念之后，會重復(fù)并創(chuàng)造性地使用這個(gè)概念，而不會去想有什么新的工具概念可以使用。這兒另一個(gè)重要的觀察是小組的互動。首先，性格的差異是非常明顯的。有些人比較外向，很快地就會成為小組的實(shí)際領(lǐng)導(dǎo)人，成為小組的“畫師”；有些人比較內(nèi)向，則較少地參與小組的

3、討論，甚至完全從團(tuán)隊(duì)中退出，自顧自玩起手機(jī)來了。其次，性別組成對于小組有著微妙的影響。全男性或者全女性的團(tuán)隊(duì)比較容易出現(xiàn)全組的互動；而混搭性別的小組則會出現(xiàn)男生解題女生圍觀的情況。在我意識到絕大多數(shù)組都變成一個(gè)人的獨(dú)角戲之后，我鼓勵(lì)團(tuán)隊(duì)內(nèi)更換操作鼠標(biāo)；這提高了組內(nèi)的互動。組內(nèi)非正式組織的成熟程度影響到小組討論的開展進(jìn)度，要成功展開翻轉(zhuǎn)教室，首先要培養(yǎng)小組內(nèi)的非正式組織。7/9/2013今天是正式教學(xué)的第一天，內(nèi)容是計(jì)數(shù)原理、排列和組合。因?yàn)槌鲱}較活，技巧性強(qiáng)，很容易唬住初學(xué)者，并使得他們產(chǎn)生畏難情緒。上午走之前看了一下學(xué)生的視頻留言和做題記錄，情況并不樂觀。首先，即使是我認(rèn)為的基礎(chǔ)練習(xí)題，對于

4、初學(xué)者來說也還是太難。有學(xué)生做了61道題，錯(cuò)了41道題；并且從做題時(shí)間來看，最后幾輪顯然在蒙。有學(xué)生留言抱怨“排列”這一講的視頻內(nèi)容和題目內(nèi)容差距太大。我看了一下視頻，果然太強(qiáng)調(diào)了概念而忽視了實(shí)例；而大部分學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格自我定義為“具象經(jīng)驗(yàn)”和“實(shí)驗(yàn)”，而我們的視頻則屬于“抽象概念”和“觀察”的教學(xué)風(fēng)格。因?yàn)楫?dāng)時(shí)我們的視頻不是以教學(xué)為導(dǎo)向的，因此出現(xiàn)這種情況也算意料之外、情理之中。其次，有的學(xué)生似乎出現(xiàn)了畏難情緒。有學(xué)生只做了20余道題，錯(cuò)了一大半，顯然在幾輪不能完成5題全對的目標(biāo)后他們就放棄嘗試了。針對這種情況，我對于教學(xué)計(jì)劃做了兩處調(diào)整。首先，我把德?lián)涞木毩?xí)從最后提到了最前。其次，我臨時(shí)增

5、加了一個(gè)習(xí)題演示的環(huán)節(jié)。結(jié)果表明，這兩個(gè)調(diào)整是有幫助的。到了教室，整體氛圍還是比較壓抑的。于是我決定德?lián)渥咂??？吹綋淇撕突I碼，顯然出乎他們的意料，課堂氣氛稍微活躍了一點(diǎn)（擺成圓桌可能也有幫助）。吸取昨天隨機(jī)分組的教訓(xùn)，我讓學(xué)生們自己分組，這也部分地活躍了氣氛，至少組內(nèi)大家都是朋友了。雖然我要求他們事先看了德?lián)涞囊?guī)則介紹，但是絕大多數(shù)學(xué)生還是完全不理解德州撲克的游戲順序和獲勝原則。但是兩輪過后，大家至少能打完整的一局了。這說明“看中學(xué)”和“干中學(xué)”還是有很大區(qū)別的。半小時(shí)德?lián)浯蛳聛?，課堂氣氛已經(jīng)活躍很多。在這里，我還想記錄一下教師介入程度對于教學(xué)的影響。魏俊本來是以觀察者的身份旁聽，但是第二組3

6、缺1，魏俊就暫時(shí)加入他們一桌。因此，就形成了我管兩桌，魏俊管一桌的實(shí)驗(yàn)。由于學(xué)生之前對于德?lián)涞臏?zhǔn)備不足，導(dǎo)致需要大量教師介入指導(dǎo)；此時(shí)，即使兩桌我也無暇兼顧，在細(xì)節(jié)上存在很多問題。最明顯的例子，第三組牌局至三巡，都不知道蓋牌和過牌的區(qū)別，顯然是我教學(xué)不夠細(xì)致的結(jié)果。相形之下，魏俊深度介入，每一輪牌都能進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)控和評論，大大提高了教學(xué)效果；盡管他的一些評論使用了遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于學(xué)生理解能力的術(shù)語（概率/頂對），整體而言第二組的學(xué)習(xí)速度是最快的。接下來我開始引導(dǎo)學(xué)生提問。從問題內(nèi)容來看，主要指向后勤問題。有些學(xué)生無法看視頻，有些學(xué)生無法登陸網(wǎng)站做題，有些學(xué)生抱怨視頻字太小（顯然我們忽略了在小型播放媒體上

7、，例如ipad，的字體顯示大小問題），聲音太輕?；緵]有關(guān)于知識點(diǎn)或者題的問題。從提問風(fēng)格來看，有些學(xué)生非?；钴S，會連續(xù)提問；有些學(xué)生比較靦腆，留到最后被我點(diǎn)名了才勉強(qiáng)提了一個(gè)問題。提問環(huán)節(jié)無所收獲，我只能展開臨時(shí)準(zhǔn)備的習(xí)題。第一題原題是從“equation”中抽5個(gè)字母組成一個(gè)新詞，其中出現(xiàn)“qu”的單詞有幾個(gè)。為了便于學(xué)生理解，我先問從“equation”中抽5個(gè)字母組成一個(gè)新詞，有多少種組法。讓我頗為意外的是，學(xué)生不能立即看出這是一個(gè)簡單的排列問題。在我的引導(dǎo)下，只有一個(gè)學(xué)生提出答案是C(8,5)A(5,5)。于是我說，另一種算法是A(8,5)；并繼續(xù)提問：這兩個(gè)算法答案一致么？繼續(xù)讓我

8、意外的是，學(xué)生沒有看出這兩個(gè)數(shù)是一樣的。于是，我讓他們討論這個(gè)問題。在巡視中，我發(fā)現(xiàn)問題的根源在于他們還不能熟練運(yùn)用組合數(shù)公式和排列數(shù)公式；無法正確計(jì)算C(8,5)和A(8,5)的數(shù)值。這就解釋了為什么他們做不出基礎(chǔ)練習(xí)題。當(dāng)學(xué)生連公式都用不順溜的時(shí)候，怎么能期望他們在時(shí)間壓力下解決靈活的問題？盡管我對于預(yù)習(xí)質(zhì)量的水分有備而來，但是如此程度還是讓我頗為驚訝。解決了這個(gè)基礎(chǔ)問題之后，我回到原題；并提示他們把這個(gè)問題拆解成先組合再排列的兩步解法。如我所料，第一步很快就被他們解決了，C(6,3)，但是第二步卻卡住了。盡管他們很快理解了問題的關(guān)鍵，即把qu看做一個(gè)整體，但是他們卻無法看到這將整個(gè)問題化

9、簡為一個(gè)A(4,4)的排列問題。最典型的一個(gè)例子是一個(gè)男生用撲克牌把這個(gè)例子在桌上展示了出來，展示時(shí)他下意識地一起移動”qu”，但是他卻不能發(fā)現(xiàn)他的移法用數(shù)學(xué)表示就是A(4,4)。當(dāng)學(xué)生沒有一定經(jīng)驗(yàn)積累時(shí)，從具象到抽象的轉(zhuǎn)化并不是那么顯而易見。第二題是“5人排隊(duì)，甲和乙不同時(shí)在隊(duì)列末端的排法有幾種”。學(xué)生們很快地發(fā)現(xiàn)，這題最好的解法是從全排列中減去甲和乙同時(shí)在隊(duì)列末端的情況；但是，他們卻花了相當(dāng)長時(shí)間才得出甲乙同時(shí)在末端的排法有12種。特別的，他們花了比意料中長的時(shí)間來得出剩余3人排法有A(3,3)的結(jié)論。但是“獨(dú)立”解出這道題給了他們許多信心，一些學(xué)生開始吐槽說“我們真是聰明”。這是意料之外

10、地收獲。這里我想記錄組內(nèi)討論氣場的變化。剛開始討論時(shí)，學(xué)生們還停留在“自己管自己算”的風(fēng)格。隨著時(shí)間的推移以及我的鼓勵(lì)，學(xué)生們開始相互交談，相互合作。比如在計(jì)算第二題時(shí)，第二組的男生A發(fā)現(xiàn)了做減法而非做加法是最好的辦法，而女生B發(fā)現(xiàn)了A(3,3)的算法。如果他們兩個(gè)自己解決這道題，估計(jì)是無法成功的。然后我才進(jìn)入了這次教學(xué)的正題，德?lián)涞臄?shù)學(xué)解釋。我先從起手分析入手，要求學(xué)生依次分析對A，對子和同花的組合數(shù)。對A旨在讓學(xué)生理解如何計(jì)算花色數(shù)；對子旨在讓學(xué)生理解如何計(jì)算牌型數(shù)以及牌型和花色是乘法原理。同花是這個(gè)公式的一個(gè)運(yùn)用。學(xué)生掌握地出人意料地快。事后看來，一方面是因?yàn)檫@個(gè)問題比較簡單，另一方面是

11、因?yàn)橐坏W(xué)生理解了公式【總組合數(shù)=牌型數(shù)*花色數(shù)】背后的直覺意義，運(yùn)用公式就變得簡單了。此時(shí)，我發(fā)現(xiàn)了之前小組討論中的幾個(gè)問題。首先，組內(nèi)出現(xiàn)了領(lǐng)袖型/壓倒性的人物。每個(gè)組都有一個(gè)到兩個(gè)人想的非常快，而其他的人則處于茫然的狀態(tài)。其次，我過度注重最后的答案，而忽視了其解法。因?yàn)榫ο拗?，我一般只聽答案對錯(cuò)來指導(dǎo)小組是否繼續(xù)討論。結(jié)果第三組的“領(lǐng)袖人物”雖然能夠利用其直覺正確建模，但是卻無法用數(shù)學(xué)語言表達(dá)（“我知道怎么做，就是寫不出來”）。于是，在分析得勝原則時(shí)，我下意識地增強(qiáng)了對于小組討論【流程】的控制，而非對于答案本身【結(jié)果】的控制。首先，我在聽到答案后，不告訴他們是否正確，而問他們?yōu)槭裁催@么

12、做，并引導(dǎo)他們用排列語言表達(dá)。其次，我會問組內(nèi)其他同學(xué)是否有不同解法，答案往往是肯定的；此時(shí)，我會要求他們組內(nèi)統(tǒng)一意見，相互說服。在增強(qiáng)流程控制后，小組內(nèi)的互動顯然更多了。組員之間會試圖相互理解對方算法和直覺，并能夠?qū)σ牲c(diǎn)提問和自我解答。增加的交流似乎沒有降低解題的速度，因?yàn)橛懈嗟哪X子加入到討論中，其優(yōu)勢在問題變得復(fù)雜后就顯現(xiàn)出來了。因此，雖然每個(gè)組員都無法單獨(dú)解出這些問題，但是作為一個(gè)集體，他們卻能夠完成任務(wù)。無論他們是否自己意識到這個(gè)現(xiàn)象，作為旁觀者的我實(shí)在是非常驚訝的。此外，我無意中觀察到了小組間的競爭。當(dāng)三個(gè)組中兩個(gè)解出同一個(gè)小題后，我會在黑板上寫出下一題的內(nèi)容。落后的那個(gè)小組會感到

13、壓力而增加努力（“啊，他們都（算）到葫蘆了，我們還在（算）四條”）。我的直覺是，這種組間競爭的壓力提高了學(xué)習(xí)效果。如果我們能引入更好地組間競爭機(jī)制，討論的效果可能會更好。最后，翻轉(zhuǎn)課堂對于教師的水平提出了很高的要求。教師不僅要控制解題流程，還要調(diào)節(jié)組內(nèi)討論氣場。即使只有三組12個(gè)學(xué)生，我都忙得不可開交。如果學(xué)生對于這種討論形式有更多的經(jīng)驗(yàn)，或許可以降低教師的干預(yù)強(qiáng)度；但是一個(gè)老師應(yīng)付40+的學(xué)生肯定是非常吃力的。7/10/2013今天的教學(xué)結(jié)果不如預(yù)期順利，體現(xiàn)了我作為教師經(jīng)驗(yàn)欠缺的短板。在開講前，我看了學(xué)生的視頻記錄和做題記錄。學(xué)生的正確率有所提高，并且學(xué)生在視頻下的留言也比較積極。于是我估

14、計(jì)學(xué)生們對于古典概型和獨(dú)立事件的掌握已經(jīng)OK了。剛開課時(shí)，我讓他們先給自己寫個(gè)悼詞，然后相互寫悼詞來暖場。這個(gè)寫作游戲的目的讓他們開始有寫personal statement的思路，并且意識到假借他人之手的PS是不能看的。這個(gè)游戲起到了很好的暖場作用，但是卻花費(fèi)了較長的時(shí)間。接下來的問答環(huán)節(jié)出現(xiàn)了讓我意料之外的情況。首先，學(xué)生問了關(guān)于獨(dú)立事件的概念。我們的視頻是通過條件概率來定義獨(dú)立事件的。一則學(xué)生還沒有學(xué)條件概率，二則學(xué)生還不能理解這種定義方式的微妙（subtlety）之處。這一問讓我頗有些手足無措，因?yàn)槲也恢烙煤唵蔚卣Z言怎么表述這個(gè)概念。情急之下，我說了一個(gè)不那么準(zhǔn)確但是更加容易理解的“

15、獨(dú)立”的定義，即“第一個(gè)事件發(fā)不發(fā)生和第二個(gè)事件發(fā)不發(fā)生沒有關(guān)系”。進(jìn)一步地，我使用之前申請的例子來鞏固獨(dú)立事件的 概念。如果學(xué)生申請7所學(xué)校，被每所學(xué)校錄取的概率是p，那么一所都不被錄取的概率是什么。學(xué)生給出了兩個(gè)答案，1-7p和(1-p)7。這說明他們沒有理解互斥事件和獨(dú)立事件的概念。不出所料，下一個(gè)問題就是關(guān)于互斥、對立和獨(dú)立的概念問題。同樣地，我所熟知的定義是公式定義，而非自然語言定義；這讓學(xué)生一下子難以接受。我使用拋一枚硬幣和重復(fù)拋一枚硬幣來解釋三個(gè)概念的區(qū)分，效果也不是太好。特別的，有個(gè)學(xué)生提出了三個(gè)事件是否存在對立的問題，也讓我頗為撓頭?？偨Y(jié)而言，問題主要出現(xiàn)在我的備課上。一方面

16、我沒有仔細(xì)回顧視頻內(nèi)容，導(dǎo)致視頻內(nèi)含有超綱材料；另一方面，由于第一節(jié)課沒有按照預(yù)想教授集合內(nèi)容，學(xué)生對于集合間的相互關(guān)系理解很薄弱，出現(xiàn)了“瑞士奶酪”式的知識缺陷。但是，這個(gè)也體現(xiàn)了概念和工具兩個(gè)教學(xué)目標(biāo)的不同特點(diǎn)。排列組合難在技巧上，學(xué)生通過多練習(xí)可以迅速掌握某幾種特殊的技巧。獨(dú)立難在概念上，除非經(jīng)過精密安排，否則練習(xí)并不能完全體現(xiàn)概念的微妙之處。加之學(xué)生學(xué)習(xí)風(fēng)格以經(jīng)驗(yàn)+體驗(yàn)為主，而我的講課風(fēng)格更加接近概念+聆聽，這就導(dǎo)致對于概念的學(xué)習(xí)更加艱難。在上課時(shí)我并沒有仔細(xì)體會到這一點(diǎn)，但是這個(gè)區(qū)別將會在這堂課上反復(fù)出現(xiàn)。由于暖場和提問所占據(jù)的時(shí)間大大超過我的預(yù)期，我試圖加速授課進(jìn)度。在使用成牌概率

17、作為古典概型的回顧之后，我希望用2人或3人局的全牌型組合數(shù)作為下風(fēng)牌的引子。在計(jì)算全牌型時(shí)，需要使用除掉A（n，n）種重復(fù)情況的技巧；使用這個(gè)技巧需要學(xué)生理解“對稱”的概念。我當(dāng)時(shí)完全沒有意識到這個(gè)概念的存在及其難度，但是學(xué)生卻發(fā)問不能理解我的公式。此時(shí)我犯下了又一個(gè)錯(cuò)誤，我并沒有仔細(xì)地講解為什么對稱導(dǎo)致的重復(fù)需要用除法而非減法；因?yàn)樗麄冎坝龅降那闆r都是用減法排除特殊情況（例如從同花順中排除皇家同花順）?，F(xiàn)在想來，我急進(jìn)的決定進(jìn)一步打擊了他們已經(jīng)被不理解獨(dú)立這一概念所摧殘的信心。然后我犯下了再一個(gè)錯(cuò)誤，就是引入了“模型”和“假設(shè)”的概念。盡管下風(fēng)牌決策法是模型的一個(gè)很好例證，但是大學(xué)生都未必

18、能夠完全理解的這兩個(gè)概念。我盡然寄希望于新高一的學(xué)生能在5分鐘內(nèi)接受，現(xiàn)在想來是可笑的。在扔給他們一堆難以理解的概念之后，終于進(jìn)入了應(yīng)用環(huán)節(jié)。第一個(gè)問題是，如果只有一個(gè)對手，自己手牌對K，對手手牌對A的概率是多少。所有組第一輪的算法都是利用組合數(shù)的古典概型。當(dāng)我要求他們使用獨(dú)立事件的概念后，出現(xiàn)了另一個(gè)意外的問題。有學(xué)生提問，第一張抽沒抽到A會影響第二張抽A的概率，這兩件事怎么會獨(dú)立呢？這其實(shí)是一個(gè)極好的問題。在一般的練習(xí)中（例如打靶或者拋擲硬幣），每個(gè)事件相同，每個(gè)事件的概率也相同；因此學(xué)生就認(rèn)為獨(dú)立事件兩個(gè)概率相同。而在這個(gè)問題中，事件A是50張中抽4張A，事件B是49張中抽3張B。這兩個(gè)

19、事件是獨(dú)立的，因此兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生（拿到對A）可以是兩個(gè)概率的簡單乘積。如此靈活（或者牽強(qiáng)）地運(yùn)用定義，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了學(xué)生的概念理解水平；即使我講了，他們也是囫圇吞棗，將信將疑。勉強(qiáng)過了第一個(gè)問題，第二個(gè)問題是，如果有兩個(gè)對手，至少有一個(gè)對手拿到對A的概率是多少？這個(gè)問題需要先分解，再兩次運(yùn)用獨(dú)立事件的定義，對于練習(xí)不充分的學(xué)生而言不能駕馭。有個(gè)組在討論卡殼的情況下，喪失了興趣，開始拿出lonely planet USA聊起天來。這說明學(xué)生的韌性和自制力還是不夠，在沒有監(jiān)督的情況下，一旦出現(xiàn)瓶頸，小組討論很快會變成小組聊天。這時(shí)就需要老師及時(shí)介入，提供必要指導(dǎo)，為學(xué)生答疑解難。尷尬的是，時(shí)間在這時(shí)

20、對于老師而言是不夠用的，因?yàn)槊總€(gè)組都會卡殼，每個(gè)組都有演化為聊天室的可能性。此外，此時(shí)小組討論的強(qiáng)度也會下降。雖然我們希望小組能夠在這種難題上對于個(gè)人提供支持，但是實(shí)地觀察的情況是小組變成聊天室是阻力更小的演化道路。由于時(shí)間問題，我對于下風(fēng)牌的討論不得不草草收場。接下來進(jìn)入德?lián)渚毩?xí)階段。我的要求是每個(gè)加注的人需要記錄下理由，然后一盤比賽結(jié)束后需要復(fù)盤討論。練習(xí)階段比較好的收獲是學(xué)生開始學(xué)會棄牌，這是他們使用概率的第一步；美中不足的是，許多加注的原因是賭一把的直覺，而非對于概率的計(jì)算。7/11/2013經(jīng)過前兩天的起伏，今天的教學(xué)成果算是中規(guī)中矩。因?yàn)榻裉斓囊曨l沒有練習(xí)題，所以很難知道學(xué)生的掌握

21、情況如何。但是更新的后臺系統(tǒng)可以讓我看到哪些學(xué)生看了視頻，哪些學(xué)生沒有看視頻。讓我頗為驚訝的是，有大約20%的學(xué)生連視頻都沒有看（至少沒有在我們的平臺上看）。此外，我觀察到平時(shí)討論表現(xiàn)積極的學(xué)生，刷的題也比較多；而平時(shí)討論打醬油的學(xué)生，試題做的也比較少。所以，討論不積極，并不完全是愿不愿意發(fā)言（個(gè)性），還可能是能不能發(fā)言（水平）的問題。今天有三位同學(xué)請假，每組一人。巧合的是，三個(gè)人在組內(nèi)的角色是不同的。第一組是雙頭的局面，有兩個(gè)學(xué)生主導(dǎo)，其他兩個(gè)學(xué)生醬油。雖然雙頭中的一頭缺席，但是組內(nèi)討論依然進(jìn)行的比較健康，甚至更為順利：因?yàn)橹鲗?dǎo)學(xué)生的做題速度降了下來，其他學(xué)生更多地參與到討論中來。第二組是獨(dú)

22、角戲，但是缺席的同學(xué)是配角，所以組內(nèi)討論基本未受影響。第三組也是獨(dú)角戲，但是主角缺席，整組的討論就屬于癱瘓狀態(tài)；即使我進(jìn)行了很多干預(yù)，組內(nèi)討論的速度和節(jié)奏還是偏慢。此外，她的缺席還暴露出組員沒有扎實(shí)掌握過去幾節(jié)課知識的問題。這進(jìn)一步反映出，在這個(gè)小組的交流還不是很順暢，問題沒有被提出，沒有被解決。這可能和這是一個(gè)全部由女生組成的小組有關(guān)。今天的暖場基本上是我的一言堂，講了一下如何在申請過程中networking的問題。這個(gè)暖場的效果比較差。但是學(xué)生在提問環(huán)節(jié)的表現(xiàn)卻進(jìn)步了。有一半的學(xué)生問出了和教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的問題。除了繼續(xù)上一輪的互斥，互斥對立和獨(dú)立的概念區(qū)分外，還有學(xué)生問到了條件概率和貝葉斯公

23、式。首先我繼續(xù)使用昨天的下風(fēng)牌的例子，讓學(xué)生用條件概率的計(jì)算自己有對K的情況下對手有對A的概率。由于學(xué)生還不能很好地拆解和定義事件，因此無法計(jì)算出條件概率。因此，我給出了第一步的提示，即(4/50)。學(xué)生在經(jīng)過討論后能夠得出正確的結(jié)論。接下來，我把抽象的條件概率公式寫出來，要求學(xué)生找出公式各個(gè)事件的具體含義。學(xué)生也能夠理解。然后，我讓學(xué)生用相同的方法計(jì)算自己有對10的情況下對手有對A的概率。我本以為學(xué)生能夠很快解決這個(gè)問題，但是他們依然無法正確地找出事件；盡管在我的提示下，他們能夠很快地找到正確的概率表達(dá)式。在這輪討論中，我發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)問題。第一個(gè)問題之前已經(jīng)有提及。第三組在失去小組領(lǐng)袖之后，暴

24、露出了之前存在的知識漏洞。第二個(gè)問題是第二組的小組領(lǐng)袖太強(qiáng)勢，其對組員的解釋也不是太仔細(xì)。因此，小組的其他成員出現(xiàn)了游離的狀態(tài)，其中一個(gè)男生在ipad上踢起實(shí)況足球。出現(xiàn)這個(gè)囧態(tài)，可能是因?yàn)樾〗M的兩個(gè)男生本來就不夠認(rèn)真（他們做題是最少的），也有可能是之前知識漏洞比較多，他們已經(jīng)無法繼續(xù)做題。當(dāng)然，我沒有花精力嚴(yán)肅課堂紀(jì)律也是一個(gè)原因。因此，我跳過小組“隊(duì)長”，直接向組員發(fā)問，發(fā)現(xiàn)他們和第三組的其他成員一樣，處于搭便車的狀態(tài)。因此，我要求“隊(duì)長”向其他兩人仔細(xì)解釋條件概率中事件的定義。當(dāng)我又轉(zhuǎn)回到這一桌時(shí)，我抽問組員，組員已經(jīng)能夠正確回答。接下來我開始講Outs。首先我讓學(xué)生找了例子的nut o

25、uts，即必勝牌。這個(gè)例子體現(xiàn)出了小組討論缺乏組織的問題。各個(gè)組大概都有一個(gè)人理解了這個(gè)問題應(yīng)該怎么找；但是他們更傾向于自己埋頭算，而不是和小組的其他成員討論。當(dāng)他們向我匯報(bào)成果時(shí)，其他小組成員還處于迷茫的狀態(tài)。我之前的模式是及時(shí)給第一個(gè)做出結(jié)果的學(xué)生反饋，并希望這個(gè)學(xué)生帶動其他學(xué)生討論；這個(gè)題說明，當(dāng)接觸一個(gè)全新的概念時(shí)，這個(gè)做法是不可行的，因?yàn)轭I(lǐng)先的學(xué)生會傾向于自己跑到終點(diǎn)，而非帶領(lǐng)隊(duì)友一起前進(jìn)。在算完nut outs后，我讓他們計(jì)算拿到outs的概率。使用和之前一樣的條件概率公式，學(xué)生依然有一定困難，但是速度快了一些。在實(shí)戰(zhàn)階段，學(xué)生還不能夠利用outs概率輔導(dǎo)決策。這不是特別讓人驚訝，

26、畢竟，outs是個(gè)生疏的概念，學(xué)生需要大量的訓(xùn)練才能使用。而我們基本沒有給任何的訓(xùn)練。7/12/2013最后一天的教學(xué)沒有太多驚喜。由于期望和方差在初中階段已經(jīng)教過，因此預(yù)習(xí)的內(nèi)容相對輕松。在提問階段，我被問到一個(gè)極其有深度的問題，為什么方差可以描述數(shù)據(jù)的波動性。在目前的水平下，我只能用不同分布的頻率直方圖來給他們一個(gè)直覺的解釋。提這個(gè)問題的女生已經(jīng)連續(xù)兩次提出看似簡單但是極有深度的問題，兩次我都沒有能夠非常好的應(yīng)對。我自詡對于概率的理解比高中教師好，但是當(dāng)被問到高于高中水平的問題，我怎么給出深入淺出的答案卻是我不曾想過的難題。接下來我介紹了PMF的概念，并要求他們計(jì)算伯努利分布的PMF和期望。當(dāng)我用翻硬幣的做例子時(shí)，盡管我使用了p作為1元朝上的概率，一些學(xué)生依然給出了1/2的答案。很快清理了伯努利分布之后，我要求學(xué)生寫出n=2的二項(xiàng)式分布的PMF。盡管這看上去是一個(gè)簡單的延伸，但是卻需要用到之前所學(xué)的全部內(nèi)容，包括組合數(shù)、概率和獨(dú)立事件。這