2023年最新的韋達定理公式8篇

1、第 PAGE31 頁 共 NUMPAGES31 頁2023年最新的韋達定理公式8篇逐漸被遺忘的數(shù)學財富韋達定理 摘要:韋達定理是由十六世紀著名的杰出數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)的，它描述了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系。韋達定理的內(nèi)容具有靈活性、應用廣泛性、條件放縮性等特點，在一元二次方程中是一個重點。所以，它能培養(yǎng)學生邏輯思維能力、靈活解決問題能力等。但是，由于各種客觀原因，韋達定理已正式得退出學生的教科書，并且逐漸被教師所遺忘。這就造成我們學生們也將失去認識這筆數(shù)學財富的機會。所以，我認為教師應借機向?qū)W生傳授有關(guān)韋達定理的知識點。 關(guān)鍵詞：一元二次方程 韋達定理 引言 在平時的教學過程中，教師們經(jīng)常會

2、碰到一些需要運用韋達定理的相關(guān)題目。但是，由于教科書中已經(jīng)刪除了該塊內(nèi)容，導致講解此類題目時有很大的困難，學生理解起來也會有很多的迷惑之處。比如前段時間，在初三的一次輔導中，學生碰到了一題考查一元二次不等式的題目，題意如下： 已知不等式的解集為，則不等式的解集為_ 本題主要考查學生一元二次不等式與一元二次方程的轉(zhuǎn)化，以及整體思想和轉(zhuǎn)換思想的能力。學生要是按照平時的方程解法去做，解題難度會比較大，即使能力強的學生也要花上很長時間才能將解題過程寫完整。但是，如果學生能理解并且應用韋達定理的話，此題的解題思路就會顯而易見，并能簡化解題過程。所以，我認為借助幾種典型的題型來講解和歸納韋達定理的重要性，

3、是很有必要與意義的。 正文 任給一個一元二次方程，設他的兩根為，利用求根公式 得到根和系數(shù)的關(guān)系：，這就是著名的韋達定理。它描述了方程的根和系數(shù)之間的關(guān)系，是一元二次方程解法的補充。接下來，我們來歸納一下韋達定理在我們教學中幾種典型題型應用。 一已知方程的一根，求另一根 例1. 已知關(guān)于的方程的一根為，求另一根和的值。 解析：由韋達定理可知，所以，所以。 【注釋】本題要是按照平時的做法，先將帶入方程中，求出k值，再用求根公式去求另外一個解，雖然也能得到正確的答案。但是由于方程的根帶有根號，計算時難度會加大，而且學生的出錯率也會隨之增加。但該題由韋達定理求解，明顯能減少學生計算量，也能提高正確性

4、。 二對復雜系數(shù)的一元二次方程求解 例2.已知方程的兩個解為，請求出的值？ 解析：根據(jù)韋達定理可得，所以學生很容易得出，所以。 【注釋】：在本題中出現(xiàn)了另一個字母a，部分學生可能比較迷茫，不知道怎么求解。若學生直接采用求根公式進行求解，計算量會很大，而且出現(xiàn)了字母a，可能導致部分學生無法簡化根的形式而出錯。但是，此題采用韋達定理求解，就能跳過繁瑣的計算，直接求出答案。 三，已知兩根，構(gòu)造新的一元二次方程 例3.已知某一元二次方程的兩根為，二次項系數(shù)為2，請確定該方程的表達式。 解析：設所求方程為， 由韋達定理可得，。 解得， 所以所求一元二次方程為。 例4.已知方程，求一個一元二次方程，使它的

5、根分別比第一個方程的兩根大2. 解析：設所求方程的兩個根為，且， 由韋達定理可得，則 所以。 【注釋】：上面兩題題型考查學生如何構(gòu)造方程，需要學生有較強的理解和抽象思維能力。但是，初中學生的抽象能力與構(gòu)造能力很薄弱，很難找到此題的切入點。倘若學生能采用韋達定理，其解題思路是很明顯的，而且講解時學生也很容易理解，能很大程度上降低了難度。 四利用整體思想求代數(shù)式的值 例5.已知關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根滿足，求實數(shù)的值。 解析：因為， 所以 即。 根據(jù)韋達定理可知。 所以。 解得 檢驗:當m=5時，舍去 所以。 例6.若是方程的兩個實數(shù)根，求（1）的值（2）的值. 解析：（1）由韋達定理可知，

6、則 。 （2） 【注釋】：上面兩題型主要考查了學生韋達定理和整體代入的數(shù)學思想，這樣就能簡化代數(shù)式，方便計算。要是學生先將方程的根求出來的話，再代入代數(shù)式求值的話，這個過程計算會比較煩，特別是例5中海含有另外一個字母，會降低學生學習的興趣。 5在一元二次不等式中的求解 例7.已知不等式的解集為，則不等式的解集為_ 解析：由韋達定理可得， 從而推導得出， 所以可化為，即 解為 【注釋】：本題由于是一選擇題，利用數(shù)學中的特殊值法很容易得出答案，但要是能完整寫出解題過程的話難度較大，一般的學生很難找到頭緒。但是，利用韋達定理進行求解的話，能幫助學生容易找到解題的思路和頭緒，并且計算過程也能優(yōu)化。 6

7、在等式證明中的應用 例7.設實數(shù)滿足 求證：中至少有一個數(shù)為1. 解析：不妨設，則由題意可得 所以由韋達定理可知，為方程的解。 所以中至少有一個數(shù)為1，從條件易知具有對稱性 所以中至少有一個為1. 【注釋】：韋達定理除了應用在一元二次方程中，也在許多證明中有很大的體現(xiàn)。比方該題，雖然有很強的對稱性，但是想要證明得到結(jié)論并非易事。采用韋達定理能幫助解題者理清思路，明確目標，幫助解決問題。 結(jié)論 韋達定理在現(xiàn)行的教科書和作業(yè)題中的作用還是很大的，特別是在一元二次方程中的作用。所以，在現(xiàn)行的教材改革過程中，我們一線教師也應該注重那些被逐漸忽略的數(shù)學財富，比方韋達定理等，以上是我對韋達定理的一些見解。

8、 韋達定理公式(2) 韋達定理及其應用 【內(nèi)容綜述】 設一元二次方程有二實數(shù)根，則， 。 這兩個式子反映了一元二次方程的兩根之積與兩根之和同系數(shù)a，b，c的關(guān)系，稱之為韋達定理。其逆命題也成立。韋達定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數(shù)學競賽中有著廣泛的應用。本講重點介紹它在五個方面的應用。 【要點講解】 1求代數(shù)式的值 應用韋達定理及代數(shù)式變換，可以求出一元二次方程兩根的對稱式的值。 例1 若a，b為實數(shù)，且，求的值。 思路 注意a，b為方程的二實根；（隱含）。 說明 此題易漏解a=b的情況。根的對稱多項式，等都可以用方程的系數(shù)表達出來。一般地，設，為方程的二根，則有遞推關(guān)系。 其

9、中n為自然數(shù)。由此關(guān)系可解一批競賽題。 附加：本題還有一種最基本方法即分別解出a，b值進而求出所求多項式值，但計算量較大。 例2 若，且，試求代數(shù)式的值。 思路 此例可用上例中說明部分的遞推式來求解，也可以借助于代數(shù)變形來完成。 2構(gòu)造一元二次方程 如果我們知道問題中某兩個字母的和與積，則可以利用韋達定理構(gòu)造以這兩個字母為根的一元二次方程。 例3 設一元二次方程的二實根為和。 （1）試求以和為根的一元二次方程； （2）若以和為根的一元二次方程仍為。求所有這樣的一元二次方程。 3證明等式或不等式 根據(jù)韋達定理（或逆定理）及判別式，可以證明某些恒等式或不等式。 例4 已知a，b，c為實數(shù)，且滿足條

10、件：，求證a=b。 說明 由“不等導出相等”是一種獨特的解題技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法較第一種煩瑣，且需一定的跳躍性思維。 4研究方程根的情況 將韋達定理和判別式定理相結(jié)合，可以研究二次方程根的符號、區(qū)間分布、整數(shù)性等。關(guān)于方程 的實根符號判定有下述定理： 方程有二正根，ab0； 方程有二負根，ab0，ac0； 方程有異號二根，ac 韋達定理公式(3) 模塊一 根的判別式 1、定義：運用配方法解一元二次方程過程中得到，顯然只有當時，才能直接開平方得： 注：一元二次方程只有當系數(shù)、滿足條件時才有實數(shù)根這里叫做一元二次方程根的判別式 2、判別式與根的關(guān)系 在實數(shù)范圍內(nèi)

11、，一元二次方程的根由其系數(shù)、確定，它的根的情況（是否有實數(shù)根）由確定 設一元二次方程為，其根的判別式為：則 方程有兩個不相等的實數(shù)根 方程有兩個相等的實數(shù)根 方程沒有實數(shù)根 練習：運用判別式，判定方程實數(shù)根的個數(shù) 【例1】 不解方程，判斷下列方程的根的情況： （1）； （2）（） 【鞏固】不解方程，判別一元二次方程的根的情況是（ ） A有兩個不相等的實數(shù)根 B沒有實數(shù)根 C有兩個相等的實數(shù)根 D無法確定 【鞏固】不解方程判定下列方程根的情況： （1）； （2）； （3）； （4）；（5）；（6）； （7）； （8） 【例2】 已知，是不全為0的3個實數(shù)，那么關(guān)于的一元二次方程的根的情況（ ）

12、A有2個負根 B有2個正根 C有2個異號的實根 D無實根 利用判別式建立等式、不等式，求方程中參數(shù)值或取值范圍 【例3】 取什么值時，關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根 【鞏固】如果關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么的取值范圍是（ ） A B C D 【鞏固】方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是 【鞏固】若關(guān)于的二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是 【鞏固】若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的最小整數(shù)值為 【鞏固】已知方程有實數(shù)根，求的范圍 【例4】 關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍 【鞏固】關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍（ ） 【鞏固】已知關(guān)于

13、的方程有兩個不相等的實數(shù)根，化簡： 【鞏固】已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍 【鞏固】為何值時，方程有實數(shù)根 【例5】 關(guān)于的方程有實數(shù)根，則整數(shù)的最大值是 【鞏固】若方程有實數(shù)根，求：正整數(shù) 【例6】 已知關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，且、為實數(shù)，則_ 【鞏固】當為何值時，方程有實根？ 【例7】 已知，為正數(shù)，若二次方程有兩個實數(shù)根，那么方程的根的情況是（ ） A有兩個不相等的正實數(shù)根 B有兩個異號的實數(shù)根 C有兩個不相等的負實數(shù)根 D不一定有實數(shù)根 【鞏固】若方程只有一個實數(shù)根，那么方程（ ） A沒有實數(shù)根 B有2個不同的實數(shù)根 C有2個相等的實數(shù)根 D實數(shù)根的個數(shù)

14、不能確定 通過判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題 【例8】 對任意實數(shù)，求證：關(guān)于的方程無實數(shù)根 【鞏固】求證：關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根 【鞏固】已知實數(shù)、滿足，求證：一元二次方程必有實根 【鞏固】證明：無論實數(shù)、取何值時，方程都有實數(shù)根 【鞏固】已知：方程沒有實數(shù)根，且，求證：有兩個實數(shù)根 模塊二 韋達定理 如果的兩根是，則，（隱含的條件：）特別地，當一元二次方程的二次項系數(shù)為1時，設，是方程的兩個根，則， 利用韋達定理求代數(shù)式的值 【例9】 不解方程，求兩根之和與兩根之積 【鞏固】設方程的兩個根為、，不解方程求下列各式的值 （1）； （2）； （3） 【鞏固】已知方程的兩個根為、 （1

15、） ； （2）； （3）； （4） 【鞏固】已知、是方程的兩根，求的值 利用韋達定理求參數(shù)的值 【例10】方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是 【例11】若、是方程的兩個根，則 【鞏固】若方程的一個根為，則它的另一根等于 ，等于 【鞏固】關(guān)于的方程的一個根為，則另一個根是 ， 【鞏固】方程的兩個根之比為，則 【鞏固】已知是方程的一個根，求另一個根和的值 【例12】已知方程的兩個根的平方和是，求的值。 【鞏固】已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實根、，且，求的值 【鞏固】設、是方程的兩個不同的實根，且，則的值是 【鞏固】已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根、 （1）求的取值范圍。（2）是否存在實數(shù)，

16、使方程的實數(shù)根互為相反數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由 【例13】是否存在常數(shù)，使關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根、，滿足，如果存在，試求出所有滿足條件的值；如果不存在在，請說明理由 利用韋達定理構(gòu)造一元二次方程 【例14】已知兩個數(shù)的和為，積為，求這兩個數(shù) 【鞏固】以和為根，二次項系數(shù)為的一元二次方程為 【鞏固】求作一個一元二次方程，使它的兩根分別是各根的負倒數(shù)若方程的一個根是另一個根的倍，則、的關(guān)系是（） A. B. C. D. 【例15】方程沒有實數(shù)根，那么的最小正整數(shù)值是 【例16】一元二次方程中，且，則兩個根的符號（ ） A.同為正 B.同為負 C. 一正一負 D.同號 【例17

17、】如果方程的兩個根的平方和等于，那么 【例18】若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則 【例19】已知實數(shù)和滿足和，求的值 【例20】已知、是三角形的三邊長，求證：沒有實數(shù)根 課后練習： 1、關(guān)于的二次方程有兩個實數(shù)根，求的取值范圍 2、已知方程的兩個實數(shù)根是、，同時方程的兩實數(shù)根是，則的值等于（ ） A. B. C. D. 3、已知、是一元二次方程的兩根，那么代數(shù)式的值為 4、已知方程沒有實數(shù)根 求證：方程一定有兩個不相等的實數(shù)根 5、當是什么實數(shù)時，關(guān)于的二次方程與都有實數(shù) 韋達定理公式(4) 根的判別式和韋達定理是實系數(shù)一元二次方程的重要基礎知識，利用它們可進一步研究根的性質(zhì)，也可以將一些

18、表面上看不是一元二次方程的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程來討論.1 判別式的應用例1 （1987年武漢等四市聯(lián)賽題）已知實數(shù)a、b、c、R、P滿足條件PR1，Pc+2b+Ra=0.求證：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有實根.證明 =（2b）2-4ac.若一元二次方程有實根，必須證0.由已知條件有2b=-（Pc+Ra），代入，得 =（Pc+Ra）2-4ac=（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac=（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）.（Pc-Ra）20，又PR1，a0，（1）當ac0時，有0；（2）當ac0時，有=（2b）2-4ac0.（1）、（2）證明了0，故方程ax2+2bx+c=0必有實

19、數(shù)根.例2 （1985年寧波初中數(shù)學競賽題）如圖21-1，k是實數(shù)，O是數(shù)軸的原點，A是數(shù)軸上的點，它的坐標是正數(shù)a.P是數(shù)軸上另一點,坐標是x,xa，且OP2=kPAOA.（1） k為何值時，x有兩個解x1，x2（設x1x2）；此處無圖（2） 若k1，把x1，x2，0，a按從小到大的順序排列，并用不等號“”連接.解 （1）由已知可得x2=k（a-x）a，即x2+kax-ka2=0，當判別式0時有兩解，這時 =k2a2+4ka2=a2k（k+4）0.a0， k（k+4）0，故k-4或k0.（2）x10 x2a. 例3（1982年湖北初中數(shù)學競賽題）證明不可能分解為兩個一次因式之積.分析 若視原

20、式為關(guān)于x的二次三項式，則可利用判別式求解.證明 將此式看作關(guān)于x的二次三項式，則判別式 =顯然不是一個完全平方式，故原式不能分解為兩個一次因式之積.例3 （1957年北京中學生數(shù)學競賽題）已知x，y，z是實數(shù)，且x+y+z=a， 求證：0 x 0y 0z分析 將代入可消去一個字母，如消去z，然后整理成關(guān)于y的二次方程討論.證明 由得z=a-x-y，代入整理得此式可看作關(guān)于y的實系數(shù)一元二次方程，據(jù)已知此方程有實根，故有 =16（x-a）2-16（4x2-4ax+a2）00 x同理可證：0y，0z.例5設a1，a2，a3，b是滿足不等式（a1+a2+a3）22（）+4b的實數(shù).求證：a1a2+

21、a2a3+a3a13b.證明 由已知可得0.設則a3是實數(shù)， 故0，即有（a1+a2）2（）-2a1a2+4b+r2（）-（a1+a2）2+4b.于是（a1+a2）2（）+2b，a1a2b.同理有a2a3b，a3a1b.三式相加即得a1a2+a2a3+a3a13b.例6 設a、b、c為實數(shù)，方程組與均無實數(shù)根.求證:對于一切實數(shù)x都有證明 由已知條件可以推出a0，因為若a=0，則方程組至少有一個有實數(shù)解. 進一步可知，方程ax2+bx+c=x無實根，因此判別式=0，于是 （b-1）2+（b+1）-8ac0.即 4ac-b21.2 韋達定理的應用例7 （1899年匈牙利數(shù)學奧林匹克競賽題）假設x

22、1、x2是方程x2-（a+d）x+ad-bc=0的根.證明這時是方程的根.證明 由已知條件得=a3+d3+3abc+3bcd，由韋達定理逆定理可知，、是方程的根.例8已知兩個系數(shù)都是正數(shù)的方程a1x2+b1x+c1=0， a2x2+b2x+c2=0， 都有兩個實數(shù)根，求證：（1） 這兩個實數(shù)根都是負值；（2） 方程 a1a2x2+b1b2x+c1c2=0 也有兩個負根.證明 方程有兩個實數(shù)根，0. 同理0. 又a1、b1、c1都是正數(shù)，0，0.由此可知方程的兩根是負值.同樣可證方程的兩根也是負值.顯然a1c14a1c1代入，得0， 由0，得 =0，方程也有兩個實數(shù)根.又a1a20，b1b20，

23、c1c20，0， 0.由此可知方程的兩個根也是負值.例9（1983年上海初中數(shù)學競賽題）對自然數(shù)n，作x的二次方程x2+（2n+1）x+n2=0，使它的根為n和n.求下式的值：+解 由韋達定理得=而 =（n3），原式=+=例10（1989年全國初中聯(lián)賽試題）首項不相等的兩個二次方程（a-1）x2-（a2+2）x+（a2+2a）=0 及（b-1）x2-（b2+2）x+（b2+2b）=0 （其中a，b為正整數(shù)）有一公共根，求的值.解 由題得知，a，b為大于1的整數(shù)，且ab.設x0是方程的公共根，則x01，否則將x=1代入得a=1，矛盾.得x0代入原方程，并經(jīng)變形得 及 所以a，b是關(guān)于t的方程相異

24、的兩根，因此于是 ab-（a+b）=2，即（a-1）（b-1）=3.由 或解得 或例11 （仿1986年全國高中聯(lián)賽題）設實數(shù)a，b，c滿足 求證:1a9.證明 由得bc=a2-8a+7.-得 b+c=所以實數(shù)b，c可看成一元二次方程的兩根，則有0，即0，即（a-1）（a-9）0，1a9.例12 （1933年福建初中數(shù)學競賽題）求證：對任一矩形A，總存在一個矩形B，使得矩形A和矩形B的周長和面積比都等于常數(shù)k（k1）.分析 設矩形A及B的長度分別是a，b及x，y，為證明滿足條件的矩形B存在，只須證明方程組 （k，a，b為已知數(shù)）有正整數(shù)解即可.再由韋達定理，其解x，y可以看作是二次方程z2-k

25、（a+b）z+kab=0的兩根.k1，故判別式 =k2（a+b）2-4kabk2（a+b）2-4k2ab=k2（a-b）20，上述二次方程有兩實根z1，z2.又z1+z2=k（a+b）0，z1z2=kab0，從而，z10，z20，即方程組恒有x0，y0的解，所以矩形B總是存在的.練習二十一1 填空題（1） 設方程的兩根為m，n（mn），則代數(shù)式的值是_;（2） 若r和s是方程x2-px+q=0的兩非零根,則以r2+和為根的方程是_;（3） 已知方程x2-8x+15=0的兩根可以寫成a2+b2與a-b,其中a與b是方程x2+px+q=0的兩根,那么|p|-q=_.2.選擇題(1)若p,q都是自然

26、數(shù),方程px2-qx+1985=0的兩根都是質(zhì)數(shù),則12p2+q的值等于( ).(A)404 (B)1998 (C)414 (D)1996(2)方程的較大根為r,的較小根為s,則r-s等于( ).(A) (B)1985 (C) (D)(3)x2+px+q2=0(p0)的兩個根為相等的實數(shù)，則x2-qx+p2=0的兩個根必為（ ）.(A) 非實數(shù) (B)相等兩實數(shù) (C)非實數(shù)或相等兩實數(shù) (D)實數(shù)（4） 如果關(guān)于方程mx2-2（m+2）x+m+5=0沒有實數(shù)根，那么關(guān)于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x+m=0的實根個數(shù)為(A)2 (B)1 (C)0 (D)不確定3（1983年杭州競賽）

27、設a10，方程a1x2+b2x+c1=0的兩個根是1-a1和1+a1；a1x2+b1x+c2=0的兩個根是和；a1x2+b1x+c1=0的兩根相等，求a1，b1，c1，b2，c2的值.4.常數(shù)a是滿足1a50的自然數(shù).若關(guān)于x的二次方程(x-2)2+(x-a)2=x2的兩根都是自然數(shù),試求a的值.5.設x2、x2為正系數(shù)方程ax2+bx+c=0的兩根，x1+x2=m，x1x2=n2，且m，n.求證:(1) 如果mn，那么方程有不等的實數(shù)根；(2) 如果mn，那么方程沒有實數(shù)根.6求作一個以兩正數(shù)，為根的二次方程，并設，滿足7（1987年全國初中競賽題）當a，b為何值時，方程x2+（1+a）x+

28、（3a2+4ab+4b2+2）=0有實根？8（1985年蘇州初中數(shù)學競賽題）試證：1986不能等于任何一個整系數(shù)二次方程ax2+bx+c=0的判別式的值.9（第20屆全蘇中學生數(shù)學競賽題）方程x2+ax+1=b的根是自然數(shù)，證明a2+b2是合數(shù).10（1972年加拿大試題）不用輔助工具解答：（1） 證滿足的根在和197.99494949間；（2） 同（1）證1.41421356.練習二十一1.(1)(2)(3)3.2.C B A.3.4.x=a+2由于x為自然數(shù)，可知a為完全平方數(shù)即a=1，4，9，16，25，36，49.5.略6.3x2-7x+2=0.7.因為方程有實根,所以判別式8.設19

29、86=4k+2(其中k是自然數(shù)).令=b2-4ac=4k+2,這時b2能被2整除,因而b也能被2整除.取b2t,這時b2=4t2,且4t2-4ac=4k+2.這時等式左邊的數(shù)能被4整除,而右邊的數(shù)不能被4整除,得出矛盾,故命題得證.10.由，可得x2-198x+1=0,其根 韋達定理公式(5) 韋達定理：對于一元二次方程，如果方程有兩個實數(shù)根，那么 說明：定理成立的條件 1.不解方程寫出下列方程的兩根和與兩根差 （1） （2） （3） 2. 如果一元二次方程的兩根互為相反數(shù)，那么= ；如果兩根互為倒數(shù)，那么= . 3. 若兩數(shù)和為3，兩數(shù)積為4，則這兩數(shù)分別為 4. 已知方程的兩根為，那么=

30、5. 若方程的一個根是，則另一根是 ，的值是 6. 已知方程的兩根為、，且,求下列各式的值: （1）= ； （2）= ； （3）= ； （4）= 7.已知關(guān)于的方程，是否存在負數(shù)，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于4？若存在，求出滿足條件的的值；若不存在，說明理由。 8.關(guān)于的方程有一個正根，一個負根，則的值是（ ） （A）0 （B）正數(shù) （C）8 （D）4 9.已知方程=0的兩根是，那么（ ） (A )7 (B) 3 (C ) 7 (D) 3 10.已知方程的兩根為，那么=（ ） (A ) (B) (C )3 (D) 3 11. 若方程的兩根互為相反數(shù)，則的值是（ ） (A )5或2 (B) 5

31、 (C ) 2 (D) 5或2 12.若方程的兩根是，那么的值是（ ） (A ) (B) 6 (C ) (D) 13.分別以方程=0兩根的平方為根的方程是（ ） （A） （B） （C） （D） 韋達定理公式(6) 解一元二次方程（3） 公式法解一元二次方程推導 ax2+bx+c=0 x2+=0 x2+=- x2+ =-+ (x+)2 = x= 根的判別式(b2-4ac) 方程有兩個不相等的實數(shù)根. 方程有兩個相等的實數(shù)根(或說方程有一個實數(shù)根). 方程沒有實數(shù)根. 例：關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是_. 思路分析：方程有實數(shù)根，但具體不知道有多少個根，所以有. 解： 因為方程有實數(shù)

32、根， 即： 例：方程的根的情況是( ). A、只有一個實數(shù)根. B、有兩個相等的實數(shù)根. C、有兩個不相等的實數(shù)根. D、沒有實數(shù)根 練習當m為何值時，方程x2（2m+2）x+m2+5=0（20分） （1）有兩個不相等的實數(shù)根；（2）有兩個相等的實數(shù)根；（3）沒有實數(shù)根 公式法解一元二次方程 例：解方程： 公式法解一元二次方程的步驟： 解： 、把一元二次方程化為一般形式： () 、確定的值. 、求出的值. 、若，則把及的值代入 求根公式，求出和，若，則方程無解。 練習用公式法解方程 13x2+5x2=0 23x22x1=0 38（2x）=x2 練習用公式法解方程 （1）2x2-7x+30 （2

33、） x2-7x-10 (3) 2x2-9x+80 (4) 9x2+6x+10 根與系數(shù)的關(guān)系-韋達定理 如果一元二次方程的兩根分別為x1、x2，則有： 例：已知一元二次方程的兩根，則_， _. 解：根據(jù)韋達定理得： 例：(利用根與系數(shù)的關(guān)系求值)若方程的兩根為，則的值為_. 解：根據(jù)韋達定理得： 利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形： ， 例利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造新方程 理論：以兩個數(shù)為根的一元二次方程是。 例 解方程組 x+y=5 xy=6 解：顯然，x，y是方程z2-5z+60 的兩根 由方程解得 z1=2,z2=3 原方程組的解為 x1=2,y1=3 x2=3,y2=2 練習若

34、是方程的兩個根，則的值為( ) A B C D 練習若方程的兩根之差為1，則的值是 _ ?？碱}型及其相應的知識點： (1)、利用一元二次方程的一個已知根求系數(shù)及求另一個根問題： 例1：關(guān)于的一元二次方程有一根為0，則的值為_. 例2：一元二次方程的一個根為，則另一個根為_. 例3.、是方程的兩個根，不解方程，求下列代數(shù)式的值： （1） （2） （3） 課堂練習 一、填空題 1.利用求根公式解一元二次方程時，首先要把方程化為_，確定_的值，當_時，把a,b,c的值代入公式，x1，2=_求得方程的解. 2.方程3x28=7x化為一般形式是_，a=_,b=_,c=_,方程的根x1=_,x2=_. 二、選擇題 1.用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正確的是 A.x1、2= B.x1、2= C.x1、2= D.x1、2= 2.方程x2+3x=14的解是 A.x= B.x= C.x= D.x= 3.下列各數(shù)中，是方程x2(1+)x+=0的解的有 1+ 1 1 A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 4.方程x2+()x+=0的解是 A.x1=1,x2= B.x