《高斯消元法簡介》教案

1、高斯消元法簡介教案一、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：了解高斯消元法過程與方法：直接演示說明，學(xué)習(xí)做簡單練習(xí)情感，態(tài)度和價(jià)值觀：進(jìn)一步體會(huì)解方程組的根本思想消元，通過高斯消元的學(xué)習(xí)增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力二、重點(diǎn)與難點(diǎn)：高斯消元法三、課型新授課四、教學(xué)過程：1在前面的幾節(jié)課，已經(jīng)用加減消元和代入消元法求解二元或者三元一次方程組，其基本的思想就是從已知的方程導(dǎo)出未知數(shù)較少的方程組，直到最后得到一個(gè)一元一次方程，這種做法可適用于一般的n元線性方程組（線性方程組），但是由于未知數(shù)的增加，我們希望我們的消元是有規(guī)律的，以避免混亂，下面介紹高斯消元法2例1：解方程組孔_xz_2*3_5些=10-2巧+7不+6屯-12x4

2、=63不_2xz-5x3-17x4=31-5石-2x2+9x3+27x4=-63解：把第一個(gè)方程的2倍，-3倍，5倍分別加到第2,3,4個(gè)方程上，可以消去2,3,4個(gè)方程的未知數(shù)不入一a一2x、一5x4=105x2+2x3-22“=26x2+x3_2x4=1-7a一+2x4=-13為了使以后少出現(xiàn)分?jǐn)?shù)運(yùn)算，交換第二，三個(gè)方程的位置咼一x2一2-3一5x4=10 x,+x3-2x4=15a+2x3-22x4=26-7x2一+2x4=-13把第2個(gè)方程的5倍，7倍分別加到第3,4個(gè)方程，可以消去第3,4個(gè)方程未知數(shù)打一x2一2x3一5x4=10TOC o 1-5 h z忑+厲一2x4=1-3.v3

3、-12x4=216x3一12“=一6丄整理一下方程，第3個(gè)方程的左右兩邊乘以亍，第4個(gè)方程左右兩邊乘以6孔一x2一2x3一5x4=10 x、+x3一2x4=1x3+4x4=一7屯-2x4=-1把第3個(gè)方程的倍加到第4個(gè)方程，可以消去第4個(gè)方程的未知數(shù)兀兀一x2一2x3一5x4=10X、+x3一2x4=1“+4x4=-7-6“=6把第4個(gè)方程兩邊除以6TOC o 1-5 h zA】一x2一2x3一5x4=10 x2+x3_2x4=1+4x4=-7些=一1把第4個(gè)方程=一1的5,2,4分別加到第1,2,3個(gè)方程xl一x2一2x3=5x2+=-1“=-3x4=一1把第3個(gè)方程=一3的2倍，倍分別加到

4、第1,2個(gè)方程把第2個(gè)方程的1倍加到第一個(gè)方程A1=1=23=-3所以這個(gè)方程組的解是-1x2=1=2說明：以上自上而下求解方程組的過程就是高斯消元法利用高斯消元法任意的n元一次方程組都是町以有規(guī)律的得以求解消元時(shí)要注意要讓每一個(gè)方程的主元(第一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為1,以便消元)注意未知數(shù)的位置*高斯消元法其實(shí)在我國的數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中早就有記載，叫高斯消元法西方人的叫法，實(shí)際比九章算術(shù)晚了1000多年2.練習(xí)：利用高斯消元法解方程組x+2y=3Jx-3，=一2(1)I；=3.解：略3練習(xí)：利用高斯消元法解方程組x+y+乙=63x-y+=42x+3v=124.練習(xí)：利用高斯消元法解方程組2石一x2

5、+“+3“=-4xA+3x2-A)+4斗=62石_2xz+3x3-=3(1)3石+2x3+2.v4=3X一2xz+3屯一x4=-6xt+x2-x3+=72xt-x2+x3=1x2+x4=3解：略數(shù)學(xué)家【人物介紹】物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家卡爾邛里德里希高斯高斯1(JohannCarlFriedrichGauss)(1777年4月30口一1855年2月23口)，生于不倫瑞克，卒于哥廷根，德國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、人地測量學(xué)家。高斯1777年4月30口生于不倫瑞克的一個(gè)工匠家庭，1855年2月23口卒于哥廷根。幼時(shí)家境貧困，但聰敏異常，受一貴族資助才進(jìn)學(xué)校受教育。17951798年在格丁根人學(xué)學(xué)習(xí)

6、1798年轉(zhuǎn)入照爾姆施泰特大學(xué)，翌年因證明代數(shù)基本定理獲傅士學(xué)位。從1807年起擔(dān)任格丁根人學(xué)教授兼格丁根天文臺(tái)臺(tái)長直至逝世。高斯的成就遍及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在數(shù)論、非歐幾何、微分幾何、超幾何級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)論以及橢圓函數(shù)論等方面均有開創(chuàng)性貢獻(xiàn)。他十分注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，并且在對天文學(xué)、k地測量學(xué)和磁學(xué)的研究中也偏重于用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究。1792年，15歲的高斯進(jìn)入Braunschweig學(xué)院。在那里，高斯開始對高等數(shù)學(xué)作研究。獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理的一般形式、數(shù)論上的二次互反律”(LawofQuadraticReciprocity)質(zhì)數(shù)分布定理(primenumertheorem)、及算術(shù)幾何平均(a

7、ritlimetic-geometiicmean)。1795年高斯進(jìn)入哥廷根人學(xué)。1796年，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上極重要的結(jié)果,就是正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法。5年以后，高斯又證明了形如Ferniat素?cái)?shù)”邊數(shù)的正多邊形可以由尺規(guī)作出。1855年2月23口清晨，高斯于睡夢中去世。生平高斯是一對普通夫婦的兒子。他的母親是一個(gè)貧窮石匠的女兒，雖然十分聰明，但卻沒有接受過教育，近似于文盲。在她成為高斯父親的第二個(gè)孌子之前，她從事女傭工作。他的父親曾做過園丁，工頭，商人的助手和一個(gè)小保險(xiǎn)公司的評估師。當(dāng)高斯三歲時(shí)便能夠糾正他父親的借債賬目的事情，已經(jīng)成為一個(gè)軼事流傳至今。他曾說，他在麥仙

8、翁堆上學(xué)會(huì)計(jì)算。能夠在頭腦中進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，是上帝賜予他一生的天賦。高斯用很短的時(shí)間計(jì)算出了小學(xué)老師布置的任務(wù)：對自然數(shù)從1到100的求和。他所使用的方法是：對50對構(gòu)造成和101的數(shù)列求和為(1+100,2+99,3+98)，同時(shí)得到結(jié)果：5050o這一年，高斯9歲。當(dāng)高斯12歲時(shí)，已經(jīng)開始懷疑元素幾何學(xué)中的基礎(chǔ)證明。當(dāng)他16歲時(shí)，預(yù)測在歐氏幾何之外必然會(huì)產(chǎn)生一門完全不同的幾何學(xué)。他導(dǎo)出了二項(xiàng)式定理的一般形式，將其成功的運(yùn)用在無窮級(jí)數(shù)，并發(fā)展了數(shù)學(xué)分析的理論。高斯的老師Bmettner與他助手MartinBands很早就認(rèn)識(shí)到了高斯在數(shù)學(xué)上異乎尋常的天賦，同時(shí)HerzogCarlWillie

9、linFerdmaiidvonBraunschweig也對這個(gè)天才兒童留卜了深刻印象。于是他們從高斯14歲起，便資助其學(xué)習(xí)與生活。這也使高斯能夠在公元1792-1795年在Carolmum學(xué)院(今天Braunschweig學(xué)院的前身)學(xué)習(xí)。18歲時(shí)，高斯轉(zhuǎn)入哥廷根人學(xué)學(xué)習(xí)。在他19歲時(shí)，第一個(gè)成功的用尺規(guī)構(gòu)造出了規(guī)則的17角形。高斯于公元1805年10月5口與來自Braunschweig的JohaimaElisabethRosiiiaOsthoff小姐(1780-1809)結(jié)婚。在公元1806年8月21口迎來了他生命中的第一個(gè)孩子約瑟。此后，他又有兩個(gè)孩子。Wilhelmine(1809-18

10、40)和Louis(18091810)。1807年高斯成為哥廷根人學(xué)的教授和當(dāng)?shù)靥煳呐_(tái)的臺(tái)長。雖然高斯作為一個(gè)數(shù)學(xué)家而聞名于世，但這并不意味著他熱愛教書。盡管如此，他越來越多的學(xué)生成為有影響的數(shù)學(xué)家，如后來聞名于世的RicliardDedekind和黎曼。高斯墓地：高斯非常信教且保守。他的父親死于1808年4月14口，晚些時(shí)候的1809年10月11口，他的第一位妻子Johaima也離開人世。次年8月4口高斯迎娶第二位妻子FiiedericaWillielmiiie(1788-1831)。他們又有三個(gè)孩子：Eugen(1811-1896),Willielin(1813-1883)和Therese

11、(1816-1864)o1831年9月12日她的第二位妻子也死去,1837年高斯開始學(xué)習(xí)俄語。1839年4月18口，他的母親在哥廷根逝世，享年95歲。高斯于1855年2月23口凌晨1點(diǎn)在哥廷根去世。他的很多散布在給朋友的書信或筆記中的發(fā)現(xiàn)于1898年被發(fā)現(xiàn)。貢獻(xiàn)18歲的高斯發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布定理和最小二乘法。通過對足夠多的測量數(shù)據(jù)的處理后，可以得到一個(gè)新的、概率性質(zhì)的測量結(jié)果。在這些基礎(chǔ)之上，高斯隨后專注于曲面與曲線的計(jì)算，并成功得到高斯鐘形曲線(正態(tài)分布曲線)。其函數(shù)被命名為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(或高斯分布)，并在概率計(jì)算中大量使用。在高斯19歲時(shí)，僅用沒有刻度的尺子與圓規(guī)便構(gòu)造出了正17邊形邙可基米德

12、與牛頓均未畫出)。并為流傳了2000年的歐氏幾何提供了自占希臘時(shí)代以來的第一次重要補(bǔ)充。高斯在計(jì)算的谷神星軌跡時(shí)總結(jié)了復(fù)數(shù)的應(yīng)用，并且嚴(yán)格證明了每一個(gè)n階的代數(shù)方程必有n個(gè)復(fù)數(shù)解。在他的第一本著名的著作數(shù)論中，作出了二次互反律的證明，成為數(shù)論繼續(xù)發(fā)展的重要基礎(chǔ)。在這部著作的第一章，導(dǎo)出了三角形全等定理的概念。高斯在他的建立在最小二乘法基礎(chǔ)上的測量平差理論的幫助卞，結(jié)算出天體的運(yùn)行軌跡。并用這種方法，發(fā)現(xiàn)了谷神星的運(yùn)行軌跡。谷神星于1801年由意人利天文學(xué)家皮亞齊發(fā)現(xiàn)，但他因病耽誤了觀測，失去了這顆小行星的軌跡。皮亞齊以希臘神話中“豐收女神”(Ceres)來命名它，即谷神星(Planetoide

13、nCeres),并將以前觀測的位置發(fā)表出來，希塑全球的天文學(xué)家一起尋找。高斯通過以前的三次觀測數(shù)據(jù)，計(jì)算出了谷神星的運(yùn)行軌跡。奧地利天文學(xué)家HeniiichOlbers在高斯的計(jì)算出的軌道上成功發(fā)現(xiàn)了這顆小行星。從此高斯名揚(yáng)天卜。高斯將這種方法著述在著作天體運(yùn)動(dòng)論(Th亡oiiaMotusCoiporumCoelestiuminsectiombusconicissolemambientium)中。高斯設(shè)計(jì)的漢諾威人地測量的三角網(wǎng)為了獲知任意一年中復(fù)活節(jié)的口期，高斯推導(dǎo)了復(fù)活節(jié)口期的計(jì)算公式。在1818年至1826年之間高斯主導(dǎo)了漢諾威公國的人地測量工作。通過他發(fā)明的以最小二乘法為基礎(chǔ)的測量平差

14、的方法和求解線性方程組的方法，顯著的提高了測量的精度。出于對實(shí)際應(yīng)用的興趣，他發(fā)明了口光反射儀，可以將光束反射至人約450公里外的地方。高斯后來不止一次地為原先的設(shè)計(jì)作出改進(jìn)，試制成功被廣泛應(yīng)用于人地測量的鏡式六分儀。高斯親自參加野外測量工作。他白天觀測，夜晚計(jì)算。五六年間，經(jīng)他親自計(jì)算過的大地測量數(shù)據(jù)，超過100萬次。當(dāng)高斯領(lǐng)導(dǎo)的三角測量外場觀測已走上正軌后，高斯就把主要精力轉(zhuǎn)移到處理觀測成杲的計(jì)算上來，并寫出了近20篇對現(xiàn)代人地測量學(xué)具有重人意義的論文。在這些論文中，推導(dǎo)了由橢圓面向圓球面投影時(shí)的公式，并作出了詳細(xì)證明，這套理論在今天仍有應(yīng)用價(jià)值。漢諾威公國的人地測量工作直到1848年才結(jié)

15、束，這項(xiàng)人地測量史上的巨大工程，如果沒有高斯在理論上的仔細(xì)推敲，在觀測上力圖合理精確，在數(shù)據(jù)處理上盡量周密細(xì)致的出色表現(xiàn)，就不能完成。在當(dāng)時(shí)條件卜布設(shè)這樣人規(guī)模的人地控制網(wǎng)，精確地確定2578個(gè)三角點(diǎn)的人地坐標(biāo)，可以說是一項(xiàng)了不起的成就。為了用橢圓在球面上的正形投影理論以解決大地測量中出現(xiàn)的問題，在這段時(shí)間內(nèi)高斯亦從爭了曲面和投影的理論，并成為了微分幾何的重要理論基礎(chǔ)。他獨(dú)立地提出了不能證明歐氏幾何的平行公設(shè)具有物理的，必然性，至少不能用人類的理智給出這種證明。但他的非歐幾何理論并未發(fā)表。也許他是出于對同時(shí)代的人不能理解這種超常理論的擔(dān)憂。相對論證明了宇宙空間實(shí)際上是非歐幾何的空間。高斯的思想

16、被近100年后的物理學(xué)接受了。高斯試圖在漢諾威公國的大地測量中通過測量Haiz的BrockenThuiingerWald的Iiiselsbeig哥廷根的HolienHagen三個(gè)山頭所構(gòu)成的三角形的內(nèi)角和，以驗(yàn)證非歐幾何的正確性，但未成功。高斯的朋友鮑耶的兒子雅諾斯在1823年證明了非歐幾何的存在，高斯對他勇于探索的精神表示了贊揚(yáng)。1840年，羅巴切夫斯基又用德文寫了平行線理論的幾何研究一文。這篇論文發(fā)表后，引起了高斯的注意，他非常重視這一論證，積極建議哥廷根犬學(xué)聘請羅巴切夫斯基為通信院士。為了能直接閱讀他的著作，從這一年開始，63歲的高斯開始學(xué)習(xí)俄語，并最終掌握了這門外語。最終高斯成為和微分

17、幾何的始祖(高斯，雅諾斯、羅巴切夫斯基)中最重要的一人。出于對實(shí)際應(yīng)用的興趣，高斯發(fā)明了口光反射儀?？诠夥瓷鋬x可以將光束反射至犬約450公里外的地方。高斯后來不止一次地為原先的設(shè)計(jì)作出改進(jìn)，試制成功了后來被廣泛應(yīng)用于人地測量的鏡式六分儀。19世紀(jì)30年代，高斯發(fā)明了磁強(qiáng)計(jì)，辭去了天文臺(tái)的工作，而轉(zhuǎn)向物理研究。他與韋伯(1804-1891)在電磁學(xué)的領(lǐng)域共同工作。他比韋伯年長27歲，以亦師亦友的身份進(jìn)行合作。1833年，通過受電磁影響的羅盤指針，他向韋伯發(fā)送了電報(bào)。這不僅僅是從韋伯的實(shí)驗(yàn)室與天文臺(tái)之間的第一個(gè)電話電報(bào)系統(tǒng)，也是世界首創(chuàng)。盡管線路才8T米長。1840年他和韋伯畫出了世界第一張地球磁

18、場圖，而且定出了地球磁南極和磁北極的位置，并于次年得到美國科學(xué)家的證實(shí)。高斯和韋伯共同設(shè)計(jì)的電報(bào)高斯研究數(shù)個(gè)領(lǐng)域，但只將他思想中成熟的理論發(fā)表。他經(jīng)常提醒他的同事，該同事的結(jié)論已經(jīng)被自己很早的證高斯明，只是因?yàn)榛A(chǔ)理論的不完備性而沒有發(fā)表。批評者說他這樣是因?yàn)闃O愛出風(fēng)頭。實(shí)際上高斯只是一部瘋狂的打字機(jī)，將他的結(jié)果都記錄起來。在他死后，有20部這樣的筆記被發(fā)現(xiàn)，才證明高斯的宣稱是事實(shí)。一般認(rèn)為，即使這20部筆記，也不是高斯全部的筆記。下薩克森州和哥廷根人學(xué)圖書館已經(jīng)將高斯的全部著作數(shù)字化并置于互聯(lián)網(wǎng)上。高斯的肖像已經(jīng)被印在從1989年至2001年流通的10德國馬克的紙幣上。著作1799年：關(guān)于代

19、數(shù)基本定理的博士論文(DoktoraibeituberdenFundamentalsatzderAlgebra)1801年：算術(shù)研究(DisquisitionesAiithineticae)1809年：天體運(yùn)動(dòng)論(TheoriaMotusCoipommCoelestiuminsectiombusconicissolemambientium)1827年：曲面的一般研究(Disquisitionesgeneralescircasuperficiescurvas)1843-1844年：高等人地測量學(xué)理論(上)(UnteisuchungeiiuberGegenstandederHoherenGeoda

20、sie,Teil1)1846-1847年：高等人地測量學(xué)理論(I、)(UnteisuchungeiiuberGegenstandederHoherenGeodasie,Teil2)【物理單位】高斯簡稱高(Gs,G),非國際通用的磁感應(yīng)強(qiáng)度或磁通量的單位。為紀(jì)念德國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家高斯而命名。一段導(dǎo)線，若放在磁感應(yīng)強(qiáng)度均勻的磁場中，方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直的長直導(dǎo)在線通有1電磁系單位的穩(wěn)恒電流時(shí)，在每厘米長度的導(dǎo)線受到電磁力為1達(dá)因，則該磁感應(yīng)強(qiáng)度就定義為1高斯。高斯是很小的單位，10000高斯等于1特斯拉(T)o高斯是常見非法定計(jì)量單位，特斯拉是法定計(jì)量單位.【歷史名詞高斯】即法屬科西嘉島（Corse）,中古時(shí)期應(yīng)是被稱作高斯（Goth）。拿破侖即是出生于此，故亦有人稱拿破侖為高斯人。梅里美的高龍巴講的就是高斯人的經(jīng)典故事。本人不擅長做史料研究，只是在觀看電影阿提拉的時(shí)候，對電影里面的“高斯人”產(chǎn)生興趣，簡單地查了點(diǎn)資料，做了點(diǎn)推理，所以這個(gè)解釋不見得完全正確，但是百度百科這里缺乏這方面的知識(shí)，權(quán)作補(bǔ)充，希冀行家補(bǔ)正。居牖客注【計(jì)算機(jī)應(yīng)用程序】高斯程序（Gaussian）,Gaussian是做半經(jīng)驗(yàn)計(jì)算和從頭計(jì)算使用最廣泛的量子化學(xué)軟件，可以研究：分子能量和結(jié)構(gòu)，過渡態(tài)的能量和結(jié)構(gòu)，化學(xué)鍵以及反應(yīng)能量，分子軌道,偶極矩和多極矩，原子電荷和電勢，